时间复杂度

复杂度的概念：

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

时间复杂度的概念：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

而这种数学表达式通常是使用大O的渐进表示法。

大O的渐进表示法：

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推到大O渐进表示法：

//请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i){for (int j = 0; j < N; ++j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数：

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010

分析，由于此处的基本操作是三个循环：且因为时间复杂度的本质是算法中的基本操作的执行次数。

所以，本代码的时间复杂度是 2*N+N*N+10

但是按照大O渐进表示法的规则，取数学表达式中的最大一项，且若最大一项是常数，则用1表达，若最大一项有系数，则删除系数。

所以以上代码用大O渐进表示法表示为 O（N^2）


//嵌套循环for (int i = 0; i < N; ++i){for (int j = 0; j < N; ++j){++count;}}//普通循环1：for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}//普通循环2：int M = 10;while (M--){++count;}

大O渐进表示法的关系和大小：

一般来说，大O渐进表示法的表达式是：O（N）、O（N^2）、O（1）

其中的N表达的是某一算法中的基本操作的运行次数。
1也表示一种次数，但不是表示运行一次，而是使用数学关系式计算出，时间复杂度最后是一个常数，又因为计算机的cpu功能，处理和运行一个时间复杂度是常数的代码，它的运行和处理速度是非常快的，哪怕这个常数是一亿。
需要注意，O(N)、O(N^2)、O(1)中，运行性能和速度的大小关系是：O(1) > O(N) > O(N^2)

注意：这个常数必须要在类型（如int、long long、long）的范围内，不然会溢出。

其他的代码的时间复杂度：

在一个长度为N数组中搜索一个数据X：

const char * strchr ( const char * str, int character )
{while(*str){if(*str == character)return str;}++str;}

根据时间复杂度的本质，"算法中的基本操作的执行次数，就是时间复杂度"，而本代码中的多次运行的操作是移动，移动指针查找是数组中的元素是否是我们需要的。

所以从指针开始遍历数组，直到找到需要的元素，这一段查找确认的次数就是时间复杂度。

而找到元素，这个是难以确认的，我们不知道元素是否在哪，所以这里有一种不确定性。

而对于这种不确定性，我们选择了一种最坏的结果，那就是没有找到元素，而没有找到元素就是要先将数组用指针遍历一遍，所以，这个代码的时间复杂度就转化为了：要把指针移动几次，才能将数组遍历一遍。

而数组的长度是N，那么指针则需要遍历N次，才能将数组遍历完一遍。

交换位置（冒泡排序）：

void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end)//每次交换所需要的趟数{int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}}

根据时间复杂度的本质，"算法中的基本操作的执行次数，就是时间复杂度"，而本代码中的多次运行的操作是每次交换所需要的趟数！