5.7 约束优化最优性理论应用实例
5.7.1 仿射空间的投影问题
考虑优化问题
min x ∈ R n 1 2 ∣ ∣ x − y ∣ ∣ 2 2 , s . t . A x = b \min_{x{\in}R^n}\frac{1}{2}||x-y||_2^2,\\ s.t.{\quad}Ax=b x∈Rnmin21∣∣x−y∣∣22,s.t.Ax=b
其中 A ∈ R m × n , b ∈ R m , y ∈ R n A{\in}R^{m \times n},b{\in}R^m,y{\in}R^n A∈Rm×n,b∈Rm,y∈Rn为给定的矩阵和向量，这里不妨设矩阵A是行满秩的，这个问题可以看成仿射平面 { x ∈ R n ∣ A x = b } \{x{\in}R^n|Ax=b\} {x∈Rn∣Ax=b}的投影问题
对于等式约束，我们引入拉格朗日乘子 λ ∈ R m \lambda{\in}R^m λ∈Rm，构造拉格朗日函数
L ( x , λ ) = 1 2 ∣ ∣ x − y ∣ ∣ 2 + λ T ( A x − b ) L(x,\lambda)=\frac{1}{2}||x-y||^2+\lambda^T(Ax-b) L(x,λ)=21∣∣x−y∣∣2+λT(Ax−b)
因为只有仿射约束，估 S l a t e r Slater Slater条件满足， x ∗ x^* x∗为一个全局最优解，当且仅当存在 λ ∗ ∈ R m \lambda^*{\in}R^m λ∗∈Rm使得
{ x ∗ − y + A T λ = 0 A x ∗ = b \left\{ \begin{matrix} x^*-y+A^T\lambda=0\\ Ax^*=b \\ \end{matrix} \right. {x∗−y+ATλ=0Ax∗=b
由上述KKT条件第一式，等号左右两边同时左乘 A A A可得
A x ∗ − A y + A A T λ = 0 Ax^*-Ay+AA^T\lambda=0 Ax∗−Ay+AATλ=0
注意到 A x ∗ = b Ax^*=b Ax∗=b以及 A A T AA^T AAT是可逆矩阵，因此可以解出乘子
λ = ( A A T ) − 1 ( A y − b ) \lambda=(AA^T)^{-1}(Ay-b) λ=(AAT)−1(Ay−b)
代入回去可以得到
x ∗ = y − A T ( A A T ) − 1 ( A y − b ) x^*=y-A^T(AA^T)^{-1}(Ay-b) x∗=y−AT(AAT)−1(Ay−b)
5.7.2 线性规划问题
考虑线性规划问题
min x ∈ R n c T x , s . t . A x = b , x ≥ 0 (5.7.1) \min_{x{\in}R^n}{\quad}c^Tx,\\ s.t.{\quad}Ax=b,\\ x{\ge}0\tag{5.7.1} x∈RnmincTx,s.t.Ax=b,x≥0(5.7.1)
其中 A ∈ R m × n , b ∈ R m , c ∈ R n A{\in}R^{m \times n},b{\in}R^m,c{\in}R^n A∈Rm×n,b∈Rm,c∈Rn分别为给定的矩阵和向量
拉格朗日函数可以写为
L ( x , s , v ) = c T x + v T ( A x − b ) − s T x = − b T v + ( A T v − s + c ) T x , s ≥ 0 L(x,s,v)=c^Tx+v^T(Ax-b)-s^Tx\\ =-b^Tv+(A^Tv-s+c)^Tx,s{\ge}0 L(x,s,v)=cTx+vT(Ax−b)−sTx=−bTv+(ATv−s+c)Tx,s≥0
其中 s ∈ R n , v ∈ R m s{\in}R^n,v{\in}R^m s∈Rn,v∈Rm，由于线性规划是凸问题且满足 S l a t e r Slater Slater条件的，因此对于任意一个全局最优解 x ∗ x^* x∗，我们有如下KKT条件
{ c + A T v ∗ − s ∗ = 0 , A x ∗ = b x ∗ ≥ 0 s ∗ ≥ 0 s ∗ x ∗ = 0 (5.7.2) \left\{ \begin{matrix} c+A^Tv^*-s^*=0,\\ Ax^*=b \\ x^*{\ge}0\\ s^*{\ge}0\\ s^*x^*=0 \end{matrix} \right.\tag{5.7.2} ⎩ ⎨ ⎧c+ATv∗−s∗=0,Ax∗=bx∗≥0s∗≥0s∗x∗=0(5.7.2)
我们设原始问题和对偶问题最优解函数值分别为 p ∗ p^* p∗和 d ∗ d^* d∗，则根据 p ∗ p^* p∗取值情况，有如下三种可能
（1）如果 − ∞ < p ∗ < + ∞ ( 有界 ) -\infty<p^*<+\infty(有界) −∞<p∗<+∞(有界)，那么原始问题可行而且存在最优解，由 S l a t e r Slater Slater条件知强对偶原理成立，因此有 d ∗ = p ∗ d^*=p^* d∗=p∗，即对偶问题也是可行的且存在最优解
（2）如果 p ∗ = − ∞ p^*=-\infty p∗=−∞，那么原始问题可行，但目标函数值无下界，由弱对偶原理知 d ∗ ≤ p ∗ = − ∞ d^*{\le}p^*=-\infty d∗≤p∗=−∞，即 d ∗ = − ∞ d^*=-\infty d∗=−∞，因为对偶问题是对目标函数极大化，所以此时对偶问题不可行
（3）如果 p ∗ = + ∞ p^*=+\infty p∗=+∞，那么原始问题无可行解，注意到 S l a t e r Slater Slater条件对原始问题不成立，此时对偶问题既可能是函数值无界（ d ∗ = + ∞ d^*=+\infty d∗=+∞）也可能无可行解（ d ∗ = − ∞ d^*=-\infty d∗=−∞），我们说，不可能出现 − ∞ < d ∗ < + ∞ -\infty<d^*<+\infty −∞<d∗<+∞的情形，这是因为如果对偶问题可行且存在最优解，那么可对对偶问题应用强对偶原理，进而导出原始问题也存在最优解，这矛盾了
5.7.3 基追踪
min x ∈ R n ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 , s . t . A x = b (5.7.3) \min_{x{\in}R^n}||x||_1,\\ s.t.{\quad}Ax=b\tag{5.7.3} x∈Rnmin∣∣x∣∣1,s.t.Ax=b(5.7.3)
利用分解 x i = x i + − x i − x_i=x_i^+-x_i^- xi=xi+−xi−，其中 x i + = m a x { x i , 0 } , x i − = max { − x i , 0 } x_i^+=max\{x_i,0\},x_i^-=\max\{-x_i,0\} xi+=max{xi,0},xi−=max{−xi,0}分别表示 x x x的正部和负部，问题5.7.3的一种等价形式可以写成
min ∑ i x i + + x i − , s . t . A x + − A x − = b , x + , x − ≥ 0 \min{\sum_i}x_i^++x_i^-,\\ s.t.{\quad}Ax^+-Ax^-=b,\\ x^+,x^-{\ge}0 mini∑xi++xi−,s.t.Ax+−Ax−=b,x+,x−≥0
进一步的，令 y = [ x i + , x i − ] T ∈ R 2 n y=[x_i^+,x_i^-]^T{\in}R^{2n} y=[xi+,xi−]T∈R2n，我们将问题5.7.3转化为如下线性规划问题
min y ∈ R 2 n 1 T y , s . t . [ A , − A ] y = b , y ≥ 0 \min_{y{\in}R^{2n}}1^Ty,\\ s.t.{\quad}[A,-A]y=b,\\ y{\ge}0 y∈R2nmin1Ty,s.t.[A,−A]y=b,y≥0
其中 1 = ( 1 , 1 , ⋯ , 1 ) T ∈ R 2 n 1=(1,1,\cdots,1)^T{\in}R^{2n} 1=(1,1,⋯,1)T∈R2n
那么根据一般线性规划的最优性条件，等价于求解
{ 1 + [ A , − A ] T v ∗ − s ∗ = 0 , [ A , − A ] y ∗ = b y ∗ ≥ 0 s ∗ ≥ 0 s ∗ y ∗ = 0 (5.7.4) \left\{ \begin{matrix} 1+[A,-A]^Tv^*-s^*=0,\\ [A,-A]y^*=b \\ y^*{\ge}0\\ s^*{\ge}0\\ s^*y^*=0 \end{matrix} \right.\tag{5.7.4} ⎩ ⎨ ⎧1+[A,−A]Tv∗−s∗=0,[A,−A]y∗=by∗≥0s∗≥0s∗y∗=0(5.7.4)
同样的，我们也可以直接推导5.7.3的最优性条件，拉格朗日函数为
L ( x , v ) = ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 + v T ( A x − b ) L(x,v)=||x||_1+v^T(Ax-b) L(x,v)=∣∣x∣∣1+vT(Ax−b)
x ∗ x^* x∗为全局最优解当且仅当存在 v ∗ ∈ R m v^*{\in}R^m v∗∈Rm使得
{ 0 ∈ ∂ ∣ ∣ x ∗ ∣ ∣ 1 + A T v ∗ , A x ∗ = b (5.7.5) \left\{ \begin{matrix} 0{\in}\partial||x^*||_1+A^Tv^*,\\ Ax^*=b \\ \end{matrix} \right.\tag{5.7.5} {0∈∂∣∣x∗∣∣1+ATv∗,Ax∗=b(5.7.5)
最优性条件5.7.4和5.7.5本质上是等价的
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