AM@两种余项型泰勒公式的对比和总结@常用函数的麦克劳林公式

文章目录

    • abstract
    • 两种余项型泰勒公式的对比和总结
    • Maclaurin公式
    • 常用函数的Maclaurin公式
    • 推导
      • 求极限
      • 按幂展开

abstract

  • 泰勒公式的两种余项型(Penao&Lagrange)泰勒公式的对比和总结
  • 常用的Maclaurin公式列举(Peano余项型为主)

两种余项型泰勒公式的对比和总结

  • Taylor公式Lagrange型Peano项Note
    条件 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有 n n n阶连续导数, ( a , b ) (a,b) (a,b)内存在 n + 1 n+1 n+1阶导数 x = x 0 x=x_0 x=x0处存在 n n n阶导数前者对 f ( x ) f(x) f(x)要求较高
    余项 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1 f ( n + 1 ) ( θ x ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(θx)(xx0)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ(0,1) R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= o ( ( x − x 0 ) n ) o((x-x_0)^{n}) o((xx0)n)前者余项具体,后者仅表达了高阶无穷小
    用途可用于区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上,例如证明不等式或等式,估计逼近误差仅用于 x 0 x_0 x0的邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0),例如讨论极值,求解 x → x 0 x\to{x_0} xx0时的极限后者用在某些条件下的求极限问题上,可以带来方便

Maclaurin公式

  • 这里主要讨论Peano型Maclaurin公式(一般不要求计算误差精度,Peano型足够使用)
  • f ( x ) f(x) f(x)= f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^2 f(0)+f(0)x+2!1f′′(0)x2+ ⋯ \cdots + 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n n!1f(n)(0)xn+ R n ( x ) R_n(x) Rn(x)(1),两种余项分别为:
    • R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)(1-1)
    • R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1 f ( n + 1 ) ( θ x ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(θx)(xx0)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ(0,1)(1-2)

常用函数的Maclaurin公式

  • 主要掌握展开公式的前几项(2到5项,一般3项)就足够一般的应用,

  • 只要知道公式(1),和 f ( x ) f(x) f(x)的高阶导数,在必要的时候可以自行计算更多的项

    1. e x e^{x} ex= 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n} 1+x+2!1x2++n!1xn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
    2. sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x3!1x3+5!1x57!1x7+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! x 2 n − 1 \frac{(-1)^{n}}{(2n-1)!}x^{2n-1} (2n1)!(1)nx2n1+ o ( x 2 n − 1 ) o(x^{2n-1}) o(x2n1)
    3. cos ⁡ x \cos{x} cosx= 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^{6} 12!1x2+4!1x46!1x6+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} (2n)!(1)nx2n+ o ( x 2 n ) o(x^{2n}) o(x2n)
    4. ln ⁡ ( 1 + x ) \ln{(1+x)} ln(1+x)= x − x 2 2 + x 3 3 − x 5 5 x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5} x2x2+3x35x5+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n − 1 x n n (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} (1)n1nxn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
    5. ( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m= 1 + m x + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2 1+mx+2!m(m1)x2+ ⋯ \cdots + m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^{n} n!m(m1)(mn+1)xn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
  • 其中偶(奇)函数的展开式也是偶(奇)函数

    • 上述公式3,4有时也写作
      • sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x3!1x3+5!1x57!1x7+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} (2n+1)!(1)nx2n+1+ o ( x 2 n + 2 ) o(x^{2n+2}) o(x2n+2)
        • 余项前的一项的幂是奇次幂 k k k即可( 2 n + 1 2n+1 2n+1 2 n − 1 2n-1 2n1),Peano余项的幂次数可以 o ( x k ) o(x^{k}) o(xk) o ( x k + 1 ) o(x^{k+1}) o(xk+1)
      • cos ⁡ x \cos{x} cosx= 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^{6} 12!1x2+4!1x46!1x6+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} (2n)!(1)nx2n+ o ( x 2 n + 1 ) o(x^{2n+1}) o(x2n+1)
        • 余项前的一项的幂是偶次幂,通常表示为 2 n 2n 2n,Peano余项的幂次数可以是 o ( x 2 n ) o(x^{2n}) o(x2n) o ( x 2 n + 1 ) o(x^{2n+1}) o(x2n+1)
  • 其中余项不是 x n x^{n} xn的公式都是经过简并后的公式(把值为0的项隐后剩下的项重新编排 i = 0 , 1 , 2 , i=0,1,2, i=0,1,2,)

  • 注意到,上述公式挂等号的前提是带上余项,反之,带上余项的展开式可以直接被展开函数参与某这些运算(比如求极限)

推导

  • 按照 f ( x ) f(x) f(x) n n n阶导数公式和 f ( x ) f(x) f(x) n n n阶Maclaurin公式推导即可

  • sin ⁡ x \sin{x} sinx为例推导:

    • f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)= ( sin ⁡ x ) ( n ) (\sin{x})^{(n)} (sinx)(n)= sin ⁡ ( x + n π 2 ) \sin{(x+\frac{n\pi}{2})} sin(x+2);(2-1)
    • f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f(n)(0)= ( sin ⁡ x ) ( n ) ∣ x = 0 (\sin{x})^{(n)}|_{x=0} (sinx)(n)x=0= sin ⁡ ( n π 2 ) \sin{(\frac{n\pi}{2})} sin(2)(2-2)
    n n n f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f(n)(0)
    00
    1 1 1 1
    20
    3-1
    40
    51
    60
    ⋯ \cdots ⋯ \cdots

    根据上述列举和三角函数的知识可知, f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f(n)(0), n = 0 , 1 , 2 , ⋯ n=0,1,2,\cdots n=0,1,2,会循环得取4个数 0 , 1 , 0 , − 1 0,1,0,-1 0,1,0,1,j记为序列(S1)有Maclaurin公式可知, f ( n ) ( 0 ) = 0 f^{(n)}(0)=0 f(n)(0)=0的项也是0,这些项可以被简并不写

    • 这样一来,由序列(S1),保留下来的项的幂的次数就不是连续的了,相邻项的次数相差2而不是1

    • 不妨设 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x)= ∑ i = 0 n a i x n \sum_{i=0}^{n}a_ix^{n} i=0naixn,

      • k k k个非0项分别为 a 1 , a 3 , ⋯ , a 2 k − 1 a_1,a_3,\cdots,a_{2k-1} a1,a3,,a2k1, a 2 i − 1 , i = 1 , ⋯ , k a_{2i-1},i=1,\cdots,k a2i1,i=1,,k都是非0项
      • 另一方面, f ( x ) = a 0 , a 2 , ⋯ , a 2 k f(x)=a_0,a_2,\cdots,a_{2k} f(x)=a0,a2,,a2k都是0
      • ∑ i = 0 k a 2 k − 1 \sum_{i=0}^{k}a_{2k-1} i=0ka2k1= ∑ i = 0 2 k a i \sum_{i=0}^{2k}a_{i} i=02kai即消去0项之前, 2 k − 1 2k-1 2k1阶泰勒多项式和 2 k 2k 2k阶泰勒多相式相等(余项可以表示为 o ( x 2 k ) o(x^{2k}) o(x2k)
      • 为了便于讨论,将 p n ( x ) p_n(x) pn(x)消去0项后的公式记为 q m ( x ) q_m(x) qm(x)= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 + ⋯ x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7}+\cdots x3!1x3+5!1x57!1x7+的项,第 m = 1 , 2 , ⋯ m=1,2,\cdots m=1,2,项记为 b m b_m bm,它们全部对应于非零项,并且容易归纳出: q n ( x ) q_{n}(x) qn(x)的通项 b m = ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! x 2 m − 1 b_m=\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1} bm=(2m1)!(1)m1x2m1,次数 2 m − 1 2m-1 2m1表示该项对应于 p n ( x ) p_n(x) pn(x)中的 2 m − 1 2m-1 2m1次幂的项(非0),而 n = 2 m n=2m n=2m项则是零项
      • 此时将 q m ( x ) q_m(x) qm(x)表示为 q m ( x ) q_m(x) qm(x)= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x3!1x3+5!1x57!1x7+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! x 2 m − 1 \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1} (2m1)!(1)m1x2m1
      • m = k m=k m=k,可以得到 2 k − 1 2k-1 2k1泰勒多项式
      • sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x3!1x3+5!1x57!1x7+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! x 2 m − 1 \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1} (2m1)!(1)m1x2m1+ R 2 m R_{2m} R2m(3)
    • Lagrange余项:由式(1-2),(2-1),可知 R 2 m ( x ) R_{2m}(x) R2m(x)= sin ⁡ ( θ x + ( 2 m + 1 ) π 2 ) ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1 \frac{\sin(\theta{x}+(2m+1)\frac{\pi}{2})}{(2m+1)!}x^{2m+1} (2m+1)!sin(θx+(2m+1)2π)x2m+1(4)

      • t ( x ) t(x) t(x)= sin ⁡ ( θ x + ( 2 m + 1 ) π 2 ) \sin(\theta{x}+(2m+1)\frac{\pi}{2}) sin(θx+(2m+1)2π)= sin ⁡ ( θ x + m π + π 2 ) \sin(\theta{x}+m\pi+\frac{\pi}{2}) sin(θx++2π)
        • m m m为奇数时, t ( x ) t(x) t(x)= sin ⁡ ( θ x + π + π 2 ) \sin(\theta{x+\pi+\frac{\pi}{2}}) sin(θx+π+2π)= sin ⁡ ( θ x − π 2 ) \sin(\theta{x}-\frac{\pi}{2}) sin(θx2π)= − cos ⁡ θ x -\cos\theta{x} cosθx
        • m m m为偶数时, t ( x ) t(x) t(x)= sin ⁡ ( θ x + π 2 ) \sin(\theta{x}+\frac{\pi}{2}) sin(θx+2π)= cos ⁡ θ x \cos\theta{x} cosθx
        • 可以用 ( − 1 ) m (-1)^{m} (1)m归纳上述符号变化,从而 t ( x ) t(x) t(x)= ( − 1 ) m cos ⁡ θ x (-1)^{m}\cos{\theta{x}} (1)mcosθx
      • 从而 R 2 m ( x ) R_{2m}(x) R2m(x)= ( − 1 ) m cos ⁡ θ x ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1 (-1)^{m}\frac{\cos{\theta{x}}}{(2m+1)!}x^{2m+1} (1)m(2m+1)!cosθxx2m+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ(0,1)(4-1)
    • 若取 m = 1 m=1 m=1,得近似公式 sin ⁡ x ∼ x \sin{x}\sim{x} sinxx

      • 代入(4-1),可知,此时误差为 ∣ R 2 ∣ = ∣ − cos ⁡ θ x 3 ! x 3 ∣ ⩽ ∣ x ∣ 3 6 |R_2|=|-\frac{\cos\theta{x}}{3!}x^3|\leqslant{\frac{|x|^{3}}{6}} R2=3!cosθxx36x3,其中 ∣ cos ⁡ θ x ∣ ⩽ 1 |\cos\theta{x}|\leqslant{1} cosθx1
    • m = 2 m=2 m=2,则可得到 3 3 3次泰勒多项式 ( x − x 3 3 ! ) (x-\frac{x^3}{3!}) (x3!x3),误差 ∣ R 2 m ∣ ⩽ 1 5 ! ∣ x ∣ 5 |R_{2m}|\leqslant{\frac{1}{5!}|x|^{5}} R2m5!1x5

    • m = 3 m=3 m=3,则可得 5 5 5次泰勒多项式 ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! ) (x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}) (x3!x3+5!x5),误差不超过 1 7 ! ∣ x ∣ 7 \frac{1}{7!}|x|^{7} 7!1x7

在这里插入图片描述

求极限

  • lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − x cos ⁡ x sin ⁡ 3 x \lim\limits_{x\to{0}}\frac{\sin{x}-x\cos{x}}{\sin^{3}x} x0limsin3xsinxxcosx=A

    • sin ⁡ 3 x ∼ x 3 \sin^3{x}\sim{x^3} sin3xx3替换分母

    • 解法1:利用等价无穷小替换分母,在利用洛必达法则求解

    • 解法2:利用带有Peano余项的Maclaurin公式

      • sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) x3!x3+o(x3);
      • cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + o ( x 2 ) \cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2) cosx=12!x2+o(x2); x cos ⁡ x = x − x 3 2 ! + o ( x 3 ) x\cos{x}=x-\frac{x^3}{2!}+o(x^{3}) xcosx=x2!x3+o(x3)
      • 于是 sin ⁡ x − x cos ⁡ x \sin{x}-x\cos{x} sinxxcosx= x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) − ( x + x 3 2 ! + o ( x 3 ) ) x-\frac{x^3}{3!}+o(x^{3})-(x+\frac{x^3}{2!}+o(x^3)) x3!x3+o(x3)(x+2!x3+o(x3))= 1 3 x 3 + o ( x 3 ) \frac{1}{3}x^3+o(x^{3}) 31x3+o(x3)
        • α ( x ) \alpha(x) α(x)的高阶无穷小 o ( α ( x ) ) , o 1 ( α ( x ) ) o(\alpha(x)),o_1(\alpha(x)) o(α(x)),o1(α(x))之间的和差运算结果仍然是 α ( x ) \alpha(x) α(x)的高阶无穷小( lim ⁡ o ( α ( x ) ± o 1 ( α ( x ) ) ) α ( x ) \lim\frac{o(\alpha(x)\pm{o_1(\alpha(x))})}{\alpha(x)} limα(x)o(α(x)±o1(α(x)))=0)
      • A = lim ⁡ x → 0 1 3 x 3 + o ( x 3 ) x 3 A=\lim\limits_{x\to{0}}\frac{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)}{x^3} A=x0limx331x3+o(x3)= 1 3 \frac{1}{3} 31

按幂展开

f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 2 x + 4 f(x)=x^3+3x^2-2x+4 f(x)=x3+3x22x+4的按 ( x + 1 ) (x+1) (x+1)的升幂展开(升幂排列)

  • 即按 ( x − ( − 1 ) ) (x-(-1)) (x(1))的展开, x 0 = − 1 x_0=-1 x0=1,得到 g ( x ) g(x) g(x)= ∑ i = 0 3 a i ( x + 1 ) i \sum_{i=0}^{3}a_i(x+1)^{i} i=03ai(x+1)i= ∑ i = 0 3 a i ( x − ( − 1 ) ) i \sum_{i=0}^{3}a_i(x-(-1))^{i} i=03ai(x(1))i

  • 计算 f ( k ) ( x 0 ) f^{(k)}(x_0) f(k)(x0);

    • 由于 f ( x ) f(x) f(x)是个 n = 3 n=3 n=3次的多项式,其泰勒展开也是3次的

    • a i = f ( n ) ( x 0 ) i ! a_i=\frac{f^{(n)}(x_0)}{i!} ai=i!f(n)(x0), i = 0 , 1 , 2 , 3 i=0,1,2,3 i=0,1,2,3

      • a 0 = f ( x 0 ) a_0=f(x_0) a0=f(x0)= 8 8 8

      • f ′ ( x ) = 3 x 2 + 6 x − 2 ; f ′ ( − 1 ) = − 5 f'(x)=3x^2+6x-2;f'(-1)=-5 f(x)=3x2+6x2;f(1)=5

      • f ′ ′ ( x ) = 6 x + 6 ; f ′ ′ ( − 1 ) = 0 f''(x)=6x+6;f''(-1)=0 f′′(x)=6x+6;f′′(1)=0

      • f ( 3 ) ( x ) = 6 ; f ( 3 ) ( − 1 ) = 6 f^{(3)}(x)=6;f^{(3)}(-1)=6 f(3)(x)=6;f(3)(1)=6

      • f ( k ) ( x ) = 0 ; ( k ⩾ 4 ) f^{(k)}{(x)}=0;(k\geqslant 4) f(k)(x)=0;(k4)

        • 所以 R = R 4 ( x ) = 0 R=R_4(x)=0 R=R4(x)=0
  • f ( x ) = f ( − 1 ) + f ′ ( − 1 ) 1 ! ( x + 1 ) f(x)=f(-1)+\frac{f'(-1)}{1!}(x+1) f(x)=f(1)+1!f(1)(x+1)+ f ′ ′ ( − 1 ) 2 ! ( x + 1 ) 2 \frac{f''(-1)}{2!}(x+1)^2 2!f′′(1)(x+1)2+ f ( 3 ) ( − 1 ) 3 ! ( x + 1 ) 3 + R 4 ( x ) \frac{f^{(3)}(-1)}{3!}{(x+1)^3}+R_4(x) 3!f(3)(1)(x+1)3+R4(x)= 8 − 5 ( x + 1 ) + ( x + 1 ) 3 8-5(x+1)+(x+1)^3 85(x+1)+(x+1)3

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golang 图像验证码

为什么base64图片 for RESTful 服务 Data URIs 支持大部分浏览器,IE8之后也支持.小图片使用base64响应对于RESTful服务来说更便捷安装golang包 go get -u github.com/mojocn/base64Captcha对于中国大陆Gopher go get golang.org/x/image 失败解决方案: mkdir -p $GOPATH/src/g…

【C++ Primer Plus学习记录】复合类型总结

数组、结构和指针是C的3种复合类型。 数组可以在一个数据对象中存储多个同种类型的值。通过索引或者下标&#xff0c;可以访问数组中各个元素。 结构可以将多个不同类型的值存储在同一个数据对象中&#xff0c;可以使用成员运算符&#xff08;.&#xff09;来访问其中的成员。…

虚拟音频设备软件 Loopback mac中文版软件介绍

创建虚拟音频设备以从应用程序和音频输入设备获取声音&#xff0c;然后将其发送到音频处理应用程序&#xff0c;它就是—Loopback for Mac&#xff0c;Loopback mac为您提供高端工作室混音板的强大功能&#xff0c;有了它在Mac上传递音频会变得很容易。 Loopback for mac中文版…

Flink之窗口触发机制及自定义Trigger的使用

1 窗口触发机制 窗口计算的触发机制都是由Trigger类决定的,Flink中为各类内置的WindowsAssigner都设计了对应的默认Trigger. 层次结构如下: Trigger ProcessingTimeoutTriggerEventTimeTriggerCountTriggerDeltaTriggerNeverTrigger in GlobalWindowsContinuousEventTimeTrigge…

LuatOS-SOC接口文档(air780E)-- ir - 红外遥控

ir.sendNEC(pin, addr, cmd, repeat, disablePWM)# 发送NEC数据 参数 传入值类型 解释 int 使用的GPIO引脚编号 int 用户码&#xff08;大于0xff则采用Extended NEC模式&#xff09; int 数据码 int 可选&#xff0c;引导码发送次数&#xff08;110ms一次&#xff0…

Vue3.0里为什么要用 Proxy API 替代 defineProperty API ?

一、Object.defineProperty 定义&#xff1a;Object.defineProperty() 方法会直接在一个对象上定义一个新属性&#xff0c;或者修改一个对象的现有属性&#xff0c;并返回此对象 为什么能实现响应式 通过defineProperty 两个属性&#xff0c;get及set get 属性的 getter 函…

Swift使用Embassy库进行数据采集:热点新闻自动生成器

概述 爬虫程序是一种可以自动从网页上抓取数据的软件。爬虫程序可以用于各种目的&#xff0c;例如搜索引擎、数据分析、内容聚合等。本文将介绍如何使用Swift语言和Embassy库编写一个简单的爬虫程序&#xff0c;该程序可以从新闻网站上采集热点信息&#xff0c;并生成一个简单…

GCC优化相关

文章目录 优化选项博文链接 单独设置某段代码优化等级博文链接 优化选项 -O/-O0:无优化(默认)-O1:使用能减少目标文件大小以及执行时间并且不会使编译时间明显增加的优化。该模式在编译大型程序的时候会花费更多的时间和内存。在-O1 下&#xff0c;编译会尝试减少代码体积和代码…

Sarscape5.6版本中导入外部控制点、写入精密轨道文件与GACOS用于大气相位

SARscape中导入外部GCP点用于轨道精炼 https://www.cnblogs.com/enviidl/p/16524645.html在SAR处理时&#xff0c;有时会加入GCP点文件&#xff0c;SAR处理中用到的控制点分为两类&#xff1a;用于校正地理位置的几何控制点&#xff08;Geometry GCP&#xff09;和用于轨道精炼…