AM@两种余项型泰勒公式的对比和总结@常用函数的麦克劳林公式

文章目录

    • abstract
    • 两种余项型泰勒公式的对比和总结
    • Maclaurin公式
    • 常用函数的Maclaurin公式
    • 推导
      • 求极限
      • 按幂展开

abstract

  • 泰勒公式的两种余项型(Penao&Lagrange)泰勒公式的对比和总结
  • 常用的Maclaurin公式列举(Peano余项型为主)

两种余项型泰勒公式的对比和总结

  • Taylor公式Lagrange型Peano项Note
    条件 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有 n n n阶连续导数, ( a , b ) (a,b) (a,b)内存在 n + 1 n+1 n+1阶导数 x = x 0 x=x_0 x=x0处存在 n n n阶导数前者对 f ( x ) f(x) f(x)要求较高
    余项 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1 f ( n + 1 ) ( θ x ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(θx)(xx0)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ(0,1) R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= o ( ( x − x 0 ) n ) o((x-x_0)^{n}) o((xx0)n)前者余项具体,后者仅表达了高阶无穷小
    用途可用于区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上,例如证明不等式或等式,估计逼近误差仅用于 x 0 x_0 x0的邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0),例如讨论极值,求解 x → x 0 x\to{x_0} xx0时的极限后者用在某些条件下的求极限问题上,可以带来方便

Maclaurin公式

  • 这里主要讨论Peano型Maclaurin公式(一般不要求计算误差精度,Peano型足够使用)
  • f ( x ) f(x) f(x)= f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^2 f(0)+f(0)x+2!1f′′(0)x2+ ⋯ \cdots + 1 n ! f ( n ) ( 0 ) x n \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n n!1f(n)(0)xn+ R n ( x ) R_n(x) Rn(x)(1),两种余项分别为:
    • R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)(1-1)
    • R n ( x ) R_n(x) Rn(x)= f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1 f ( n + 1 ) ( θ x ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (n+1)!f(n+1)(θx)(xx0)n+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ(0,1)(1-2)

常用函数的Maclaurin公式

  • 主要掌握展开公式的前几项(2到5项,一般3项)就足够一般的应用,

  • 只要知道公式(1),和 f ( x ) f(x) f(x)的高阶导数,在必要的时候可以自行计算更多的项

    1. e x e^{x} ex= 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n} 1+x+2!1x2++n!1xn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
    2. sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x3!1x3+5!1x57!1x7+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! x 2 n − 1 \frac{(-1)^{n}}{(2n-1)!}x^{2n-1} (2n1)!(1)nx2n1+ o ( x 2 n − 1 ) o(x^{2n-1}) o(x2n1)
    3. cos ⁡ x \cos{x} cosx= 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^{6} 12!1x2+4!1x46!1x6+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} (2n)!(1)nx2n+ o ( x 2 n ) o(x^{2n}) o(x2n)
    4. ln ⁡ ( 1 + x ) \ln{(1+x)} ln(1+x)= x − x 2 2 + x 3 3 − x 5 5 x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5} x2x2+3x35x5+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n − 1 x n n (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} (1)n1nxn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
    5. ( 1 + x ) m (1+x)^{m} (1+x)m= 1 + m x + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2 1+mx+2!m(m1)x2+ ⋯ \cdots + m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^{n} n!m(m1)(mn+1)xn+ o ( x n ) o(x^{n}) o(xn)
  • 其中偶(奇)函数的展开式也是偶(奇)函数

    • 上述公式3,4有时也写作
      • sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x3!1x3+5!1x57!1x7+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} (2n+1)!(1)nx2n+1+ o ( x 2 n + 2 ) o(x^{2n+2}) o(x2n+2)
        • 余项前的一项的幂是奇次幂 k k k即可( 2 n + 1 2n+1 2n+1 2 n − 1 2n-1 2n1),Peano余项的幂次数可以 o ( x k ) o(x^{k}) o(xk) o ( x k + 1 ) o(x^{k+1}) o(xk+1)
      • cos ⁡ x \cos{x} cosx= 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^{6} 12!1x2+4!1x46!1x6+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} (2n)!(1)nx2n+ o ( x 2 n + 1 ) o(x^{2n+1}) o(x2n+1)
        • 余项前的一项的幂是偶次幂,通常表示为 2 n 2n 2n,Peano余项的幂次数可以是 o ( x 2 n ) o(x^{2n}) o(x2n) o ( x 2 n + 1 ) o(x^{2n+1}) o(x2n+1)
  • 其中余项不是 x n x^{n} xn的公式都是经过简并后的公式(把值为0的项隐后剩下的项重新编排 i = 0 , 1 , 2 , i=0,1,2, i=0,1,2,)

  • 注意到,上述公式挂等号的前提是带上余项,反之,带上余项的展开式可以直接被展开函数参与某这些运算(比如求极限)

推导

  • 按照 f ( x ) f(x) f(x) n n n阶导数公式和 f ( x ) f(x) f(x) n n n阶Maclaurin公式推导即可

  • sin ⁡ x \sin{x} sinx为例推导:

    • f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)= ( sin ⁡ x ) ( n ) (\sin{x})^{(n)} (sinx)(n)= sin ⁡ ( x + n π 2 ) \sin{(x+\frac{n\pi}{2})} sin(x+2);(2-1)
    • f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f(n)(0)= ( sin ⁡ x ) ( n ) ∣ x = 0 (\sin{x})^{(n)}|_{x=0} (sinx)(n)x=0= sin ⁡ ( n π 2 ) \sin{(\frac{n\pi}{2})} sin(2)(2-2)
    n n n f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f(n)(0)
    00
    1 1 1 1
    20
    3-1
    40
    51
    60
    ⋯ \cdots ⋯ \cdots

    根据上述列举和三角函数的知识可知, f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f(n)(0), n = 0 , 1 , 2 , ⋯ n=0,1,2,\cdots n=0,1,2,会循环得取4个数 0 , 1 , 0 , − 1 0,1,0,-1 0,1,0,1,j记为序列(S1)有Maclaurin公式可知, f ( n ) ( 0 ) = 0 f^{(n)}(0)=0 f(n)(0)=0的项也是0,这些项可以被简并不写

    • 这样一来,由序列(S1),保留下来的项的幂的次数就不是连续的了,相邻项的次数相差2而不是1

    • 不妨设 p n ( x ) p_{n}(x) pn(x)= ∑ i = 0 n a i x n \sum_{i=0}^{n}a_ix^{n} i=0naixn,

      • k k k个非0项分别为 a 1 , a 3 , ⋯ , a 2 k − 1 a_1,a_3,\cdots,a_{2k-1} a1,a3,,a2k1, a 2 i − 1 , i = 1 , ⋯ , k a_{2i-1},i=1,\cdots,k a2i1,i=1,,k都是非0项
      • 另一方面, f ( x ) = a 0 , a 2 , ⋯ , a 2 k f(x)=a_0,a_2,\cdots,a_{2k} f(x)=a0,a2,,a2k都是0
      • ∑ i = 0 k a 2 k − 1 \sum_{i=0}^{k}a_{2k-1} i=0ka2k1= ∑ i = 0 2 k a i \sum_{i=0}^{2k}a_{i} i=02kai即消去0项之前, 2 k − 1 2k-1 2k1阶泰勒多项式和 2 k 2k 2k阶泰勒多相式相等(余项可以表示为 o ( x 2 k ) o(x^{2k}) o(x2k)
      • 为了便于讨论,将 p n ( x ) p_n(x) pn(x)消去0项后的公式记为 q m ( x ) q_m(x) qm(x)= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 + ⋯ x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7}+\cdots x3!1x3+5!1x57!1x7+的项,第 m = 1 , 2 , ⋯ m=1,2,\cdots m=1,2,项记为 b m b_m bm,它们全部对应于非零项,并且容易归纳出: q n ( x ) q_{n}(x) qn(x)的通项 b m = ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! x 2 m − 1 b_m=\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1} bm=(2m1)!(1)m1x2m1,次数 2 m − 1 2m-1 2m1表示该项对应于 p n ( x ) p_n(x) pn(x)中的 2 m − 1 2m-1 2m1次幂的项(非0),而 n = 2 m n=2m n=2m项则是零项
      • 此时将 q m ( x ) q_m(x) qm(x)表示为 q m ( x ) q_m(x) qm(x)= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x3!1x3+5!1x57!1x7+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! x 2 m − 1 \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1} (2m1)!(1)m1x2m1
      • m = k m=k m=k,可以得到 2 k − 1 2k-1 2k1泰勒多项式
      • sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} x3!1x3+5!1x57!1x7+ ⋯ \cdots + ( − 1 ) m − 1 ( 2 m − 1 ) ! x 2 m − 1 \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1} (2m1)!(1)m1x2m1+ R 2 m R_{2m} R2m(3)
    • Lagrange余项:由式(1-2),(2-1),可知 R 2 m ( x ) R_{2m}(x) R2m(x)= sin ⁡ ( θ x + ( 2 m + 1 ) π 2 ) ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1 \frac{\sin(\theta{x}+(2m+1)\frac{\pi}{2})}{(2m+1)!}x^{2m+1} (2m+1)!sin(θx+(2m+1)2π)x2m+1(4)

      • t ( x ) t(x) t(x)= sin ⁡ ( θ x + ( 2 m + 1 ) π 2 ) \sin(\theta{x}+(2m+1)\frac{\pi}{2}) sin(θx+(2m+1)2π)= sin ⁡ ( θ x + m π + π 2 ) \sin(\theta{x}+m\pi+\frac{\pi}{2}) sin(θx++2π)
        • m m m为奇数时, t ( x ) t(x) t(x)= sin ⁡ ( θ x + π + π 2 ) \sin(\theta{x+\pi+\frac{\pi}{2}}) sin(θx+π+2π)= sin ⁡ ( θ x − π 2 ) \sin(\theta{x}-\frac{\pi}{2}) sin(θx2π)= − cos ⁡ θ x -\cos\theta{x} cosθx
        • m m m为偶数时, t ( x ) t(x) t(x)= sin ⁡ ( θ x + π 2 ) \sin(\theta{x}+\frac{\pi}{2}) sin(θx+2π)= cos ⁡ θ x \cos\theta{x} cosθx
        • 可以用 ( − 1 ) m (-1)^{m} (1)m归纳上述符号变化,从而 t ( x ) t(x) t(x)= ( − 1 ) m cos ⁡ θ x (-1)^{m}\cos{\theta{x}} (1)mcosθx
      • 从而 R 2 m ( x ) R_{2m}(x) R2m(x)= ( − 1 ) m cos ⁡ θ x ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1 (-1)^{m}\frac{\cos{\theta{x}}}{(2m+1)!}x^{2m+1} (1)m(2m+1)!cosθxx2m+1, θ ∈ ( 0 , 1 ) \theta\in(0,1) θ(0,1)(4-1)
    • 若取 m = 1 m=1 m=1,得近似公式 sin ⁡ x ∼ x \sin{x}\sim{x} sinxx

      • 代入(4-1),可知,此时误差为 ∣ R 2 ∣ = ∣ − cos ⁡ θ x 3 ! x 3 ∣ ⩽ ∣ x ∣ 3 6 |R_2|=|-\frac{\cos\theta{x}}{3!}x^3|\leqslant{\frac{|x|^{3}}{6}} R2=3!cosθxx36x3,其中 ∣ cos ⁡ θ x ∣ ⩽ 1 |\cos\theta{x}|\leqslant{1} cosθx1
    • m = 2 m=2 m=2,则可得到 3 3 3次泰勒多项式 ( x − x 3 3 ! ) (x-\frac{x^3}{3!}) (x3!x3),误差 ∣ R 2 m ∣ ⩽ 1 5 ! ∣ x ∣ 5 |R_{2m}|\leqslant{\frac{1}{5!}|x|^{5}} R2m5!1x5

    • m = 3 m=3 m=3,则可得 5 5 5次泰勒多项式 ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! ) (x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}) (x3!x3+5!x5),误差不超过 1 7 ! ∣ x ∣ 7 \frac{1}{7!}|x|^{7} 7!1x7

在这里插入图片描述

求极限

  • lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − x cos ⁡ x sin ⁡ 3 x \lim\limits_{x\to{0}}\frac{\sin{x}-x\cos{x}}{\sin^{3}x} x0limsin3xsinxxcosx=A

    • sin ⁡ 3 x ∼ x 3 \sin^3{x}\sim{x^3} sin3xx3替换分母

    • 解法1:利用等价无穷小替换分母,在利用洛必达法则求解

    • 解法2:利用带有Peano余项的Maclaurin公式

      • sin ⁡ x \sin{x} sinx= x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) x3!x3+o(x3);
      • cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + o ( x 2 ) \cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2) cosx=12!x2+o(x2); x cos ⁡ x = x − x 3 2 ! + o ( x 3 ) x\cos{x}=x-\frac{x^3}{2!}+o(x^{3}) xcosx=x2!x3+o(x3)
      • 于是 sin ⁡ x − x cos ⁡ x \sin{x}-x\cos{x} sinxxcosx= x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) − ( x + x 3 2 ! + o ( x 3 ) ) x-\frac{x^3}{3!}+o(x^{3})-(x+\frac{x^3}{2!}+o(x^3)) x3!x3+o(x3)(x+2!x3+o(x3))= 1 3 x 3 + o ( x 3 ) \frac{1}{3}x^3+o(x^{3}) 31x3+o(x3)
        • α ( x ) \alpha(x) α(x)的高阶无穷小 o ( α ( x ) ) , o 1 ( α ( x ) ) o(\alpha(x)),o_1(\alpha(x)) o(α(x)),o1(α(x))之间的和差运算结果仍然是 α ( x ) \alpha(x) α(x)的高阶无穷小( lim ⁡ o ( α ( x ) ± o 1 ( α ( x ) ) ) α ( x ) \lim\frac{o(\alpha(x)\pm{o_1(\alpha(x))})}{\alpha(x)} limα(x)o(α(x)±o1(α(x)))=0)
      • A = lim ⁡ x → 0 1 3 x 3 + o ( x 3 ) x 3 A=\lim\limits_{x\to{0}}\frac{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)}{x^3} A=x0limx331x3+o(x3)= 1 3 \frac{1}{3} 31

按幂展开

f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 2 x + 4 f(x)=x^3+3x^2-2x+4 f(x)=x3+3x22x+4的按 ( x + 1 ) (x+1) (x+1)的升幂展开(升幂排列)

  • 即按 ( x − ( − 1 ) ) (x-(-1)) (x(1))的展开, x 0 = − 1 x_0=-1 x0=1,得到 g ( x ) g(x) g(x)= ∑ i = 0 3 a i ( x + 1 ) i \sum_{i=0}^{3}a_i(x+1)^{i} i=03ai(x+1)i= ∑ i = 0 3 a i ( x − ( − 1 ) ) i \sum_{i=0}^{3}a_i(x-(-1))^{i} i=03ai(x(1))i

  • 计算 f ( k ) ( x 0 ) f^{(k)}(x_0) f(k)(x0);

    • 由于 f ( x ) f(x) f(x)是个 n = 3 n=3 n=3次的多项式,其泰勒展开也是3次的

    • a i = f ( n ) ( x 0 ) i ! a_i=\frac{f^{(n)}(x_0)}{i!} ai=i!f(n)(x0), i = 0 , 1 , 2 , 3 i=0,1,2,3 i=0,1,2,3

      • a 0 = f ( x 0 ) a_0=f(x_0) a0=f(x0)= 8 8 8

      • f ′ ( x ) = 3 x 2 + 6 x − 2 ; f ′ ( − 1 ) = − 5 f'(x)=3x^2+6x-2;f'(-1)=-5 f(x)=3x2+6x2;f(1)=5

      • f ′ ′ ( x ) = 6 x + 6 ; f ′ ′ ( − 1 ) = 0 f''(x)=6x+6;f''(-1)=0 f′′(x)=6x+6;f′′(1)=0

      • f ( 3 ) ( x ) = 6 ; f ( 3 ) ( − 1 ) = 6 f^{(3)}(x)=6;f^{(3)}(-1)=6 f(3)(x)=6;f(3)(1)=6

      • f ( k ) ( x ) = 0 ; ( k ⩾ 4 ) f^{(k)}{(x)}=0;(k\geqslant 4) f(k)(x)=0;(k4)

        • 所以 R = R 4 ( x ) = 0 R=R_4(x)=0 R=R4(x)=0
  • f ( x ) = f ( − 1 ) + f ′ ( − 1 ) 1 ! ( x + 1 ) f(x)=f(-1)+\frac{f'(-1)}{1!}(x+1) f(x)=f(1)+1!f(1)(x+1)+ f ′ ′ ( − 1 ) 2 ! ( x + 1 ) 2 \frac{f''(-1)}{2!}(x+1)^2 2!f′′(1)(x+1)2+ f ( 3 ) ( − 1 ) 3 ! ( x + 1 ) 3 + R 4 ( x ) \frac{f^{(3)}(-1)}{3!}{(x+1)^3}+R_4(x) 3!f(3)(1)(x+1)3+R4(x)= 8 − 5 ( x + 1 ) + ( x + 1 ) 3 8-5(x+1)+(x+1)^3 85(x+1)+(x+1)3

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Sarscape5.6版本中导入外部控制点、写入精密轨道文件与GACOS用于大气相位

SARscape中导入外部GCP点用于轨道精炼 https://www.cnblogs.com/enviidl/p/16524645.html在SAR处理时,有时会加入GCP点文件,SAR处理中用到的控制点分为两类:用于校正地理位置的几何控制点(Geometry GCP)和用于轨道精炼…

多测师肖sir_高级金牌讲师___ui自动化之selenium001

一、认识selenium (1)selenium是什么? a、selenium是python中的一个第三方库 b、Selenium是一个应用于web应用程序的测试工具,支持多平台,多浏览器,多语言去实现ui自动化测试,我们现在讲的Sel…

Atlassian Confluence OGNL表达式注入RCE CVE-2021-26084

影响版本 All 4.x.x versions All 5.x.x versions All 6.0.x versions All 6.1.x versions All 6.2.x versions All 6.3.x versions All 6.4.x versions All 6.5.x versions All 6.6.x versions All 6.7.x versions All 6.8.x versions All 6.9.x versions All 6.1…

RK3568笔记四:基于TensorFlow花卉图像分类部署

若该文为原创文章,转载请注明原文出处。 基于正点原子的ATK-DLRK3568部署测试。 花卉图像分类任务,使用使用 tf.keras.Sequential 模型,简单构建模型,然后转换成 RKNN 模型部署到ATK-DLRK3568板子上。 在 PC 使用 Windows 系统…

使用telegram机器人发送通知

文章目录 背景1 创建机器人2 与机器人的会话3 调用API让机器人发送消息 背景 在训练深度学习模型时,除了粗略估计外,很难预测训练何时结束。此外,我们可能还想随时随地查看训练情况,如果每次都需要登录回服务器的话并不方便。因此…

wordpress网站部署了ssl证书之后就排版混乱了

刚给自己的小网站部署了SSL证书,之后就发现https访问主页竟然乱套了。在手机上访问却是正常的。 直接上解决方案: 编辑网站根目录下的wp-config.php文件 在自定义文本处添加以下代码: if ($_SERVER[HTTP_X_FORWARDED_PROTO] https) $_SE…

PHP-FFMpeg 操作音视频

✨ 目录 🎈 安装PHP-FFMpeg🎈 视频中提取一张图片🎈 视频中提取多张图片🎈 调整视频大小🎈 视频添加水印🎈 生成音频波形🎈 音频转换🎈 给音频添加元数据🎈 拼接多个音视…

利用ArcGIS获取每一个冰川的中心位置经纬度坐标:要素转点和要素折点转点的区别

问题概述:下图是天山地区的冰川的分布,我们可以看到每一条冰川是一个面要素,要求得到每一个冰川(面要素)的中心经纬度坐标。 1.采用要素转点功能 选择工具箱的【数据管理工具】-【要素】-【要素转点】。完成之后再采用…

计算机基础知识36

数据库数据的演变史 ATM:1. 把数据都存在了文件中,文件名不规范 kevin|123 kevin123 kevin*123 2. 存储数据的文件越来越多,放在db文件夹,占用空间,查询存储不方便,速度慢 # 数据库软件能解…