Leetcode.4 寻找两个正序数组的中位数

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Leetcode.4 寻找两个正序数组的中位数 hard

题目描述

给定两个大小分别为 $m$ 和 $n$ 的正序（从小到大）数组 $n u m s 1$ 和 $n u m s 2$ 。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

算法的时间复杂度应该为 $O (l o g (m + n))$ 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

$n u m s 1. l e n g t h = m$
$n u m s 2. l e n g t h = n$
$\leq m \leq 1000$
$\leq n \leq 1000$
$\leq m + n \leq 2000$
$-10^6 \leq nums1[i], nums2[i] \leq 10^6$

解法：二分

我们设 $n u m s 1, n u m s 2$ 的元素个数分别为 $m, n$ 。

由于我们是要找中位数，所以我们只需要找中间那个数，也就是第 $(m + n + 1) /2$ 个数。

我们令 $k = (m + n + 1) /2$ 。

由于 $n u m s 1, n u m s 2$ 是排好序的，也就是我们要从这两个排好序的数组中，找出第 $k$ 小的元素。

假设我们从 $n u m s 1$ 中选出前 $m_1$ 个元素，那么就要从 $n u m s 2$ 中选出前 $m_2 = k - m_1$ 个元素。

如果我们在 $n u m s 1$ 中确定了前 $m_1$ 个元素，那么 $m_2$ 自然也确定了。

此时我们就可以使用二分，枚举从 $n u m s 1$ 中选出元素个数 $m_1$ 。

初始时 $l = 0, r = m$ 。

此时 $m_1$ 确定了，那么 $m_2 = k - m_1$ 自然也确定了，我们就进行如下判断：

在这里插入图片描述

1.如果 $nums1[m_1] < nums2[m_2-1]$ 。

那么在 $n u m s 1$ 中比 $nums1[m_1]$ 小的元素最多有 $nums1[0],nums1[1],nums1[2],...,nums1[m_1-1]$ ，一共有 $m_1$ 个。

那么在 $n u m s 2$ 中比 $nums1[m_1]$ 小的元素最多有 $nums2[0],nums2[1],nums2[2],...,nums2[m_2-2]$ ，一共有 $m_2 - 1$ 个。

所以一共有 $m_1 + m_2 - 1 = k - 1$ 个元素比 $nums1[m_1]$ 小，所以左侧 $nums1[0],nums1[1],nums1[2],...,nums1[m_1-1]$ 都不可能是第 $k$ 个元素，故 $l = m_1 + 1$ 。

2.如果 $nums1[m_1] \geq nums2[m_2-1]$ 。

那么在 $n u m s 1$ 中比 $nums1[m_1]$ 小的元素最多有 $nums1[0],nums1[1],nums1[2],...,nums1[m_1-1]$ ，一共有 $m_1$ 个。

那么在 $n u m s 2$ 中比 $nums1[m_1]$ 小的元素最多有 $nums2[0],nums2[1],nums2[2],...,nums2[m_2-2],nums2[m_2-1]$ ，一共有 $m_2$ 个。

所以一共有 $m_1 + m_2 = k$ 个元素比 $nums1[m_1]$ 小，所以当前 $nums1[m_1 - 1]$ ，可以作为第 $k$ 个元素，所以 $r = m_1$ 。

时间复杂度： $O (l o g (m + n))$

C++代码：

class Solution {
public:double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {int m = nums1.size() , n = nums2.size();//我们枚举的一定是元素个数少的那个数组,否则会数组越界if(m > n) return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);int k = (m + n + 1) / 2;int l = 0 , r = m;while(l < r){int m1 = (l + r)>>1;int m2 = k - m1;if(nums1[m1] < nums2[m2 - 1]){l = m1 + 1;}else r = m1;}int m1 = l , m2 = k - l;//针对如下的特殊情况需要特判/* 5 6 71 2 3 41 2 34 5 6 7*/int a = max(m1 <= 0 ? -1e9:nums1[m1 - 1],m2 <= 0 ? -1e9 : nums2[m2 - 1]);if((m + n) & 1) return a;int b = min(m1 >= m ? 1e9 : nums1[m1],m2 >= n ? 1e9 : nums2[m2]);return (a + b) / 2.0;}
};