2.概念与计算

2.1 图的定义

图(graph)$G$ 是一个有序的三元组，记作 $G=<V(G),E(G),\psi (G)>$。
$V(G)$ 是顶点集。$E(G)$ 是边集。$\psi (G)$ 是关联函数，；例如 ${\psi }_G(e)=v_i{v}_j$。
$N_G(v)$ 表示点 $v$ 的一阶邻域点。

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相邻：与同一个顶点关联的两条边是相邻的。
环：两个端点重合的边称为环。
连杆：端点不重合的边成为连杆。
$k$ 重边：连接同一对顶点的 $k$ 条边。
单边：一对顶点之间只有一条边。
简单图：无环无重边

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度：与顶点 $v$ 关联的边的数目，记作 $d(v)$。
度序列：$(d(v_1),d(v_2),...,d(v_v))$
孤立点：度为 $0$。
悬挂点：度为 $1$。
悬挂边：与悬挂点相关联的边。
偶点：度为偶数的顶点。
奇点：度为奇数的顶点。
最小度 $\delta (G)$：图 $G$ 顶点度的最小值。
最大度 $\Delta (G)$：图 $G$ 顶点度的最大值。

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握手引理：${\sum }_{v\in V}=2ϵ$。
例题：空间中不存在有奇数个面并且每个面只有奇数个棱的多面体。
思路：将面抽象为点，两面之间的棱为边，则转化成了有奇数个点且每个点都是奇数度的图，与握手引理矛盾，得证。

例题：证明非负整数序列 $(d_1,d_2,...,d_v)$ 是某个图的度序列当且仅当 ${\sum }_{i=1}^v{d}_i$ 是偶数。
思路：先画出 $v$ 个孤立点，然后选序列中度大于 $1$ 的点连环直至将每个点仍需添加的度为 $0$ 或 $1$。然后将两两选择度为 $1$ 的点。能连通即可得证。

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图序列：简单图的度序列。
判断是否为图序列：非负整数序列 $(d_1,d_2,...,d_v)(d_1\ge d_2\ge ...\ge d_v)$ 是图序列当且仅当 ${\sum }_{i=1}^v{d}_i$ 是偶数，并且对一切整数 $k(1\le k\le v-1$，有 ∑ i = 1 k ≤ k ( k − 1 ) ≤ ∑ i = k + 1 v m i n { k , d i } \sum_{i=1}^{k} \leq k(k-1) \leq \sum_{i=k+1}^{v}min \{k,d_i\} ∑i=1k​≤k(k−1)≤∑i=k+1v​min{k,di​}.
例题：(1,2,2,4,5);(1,2,3,3,4,5);(1,2,3,4,4,5) 三个是否是图序列？
思路：第一个不是图序列，当点数为 $5$ 时，不存在度为 $5$ 的简单图。第二个是图序列。 第三个不是图序列，先画出度为 $5$ 的点的连边，然后只有三个点还能连边，需要的度依次为 $2,3,3$，简单图中的三个点不可能连出度为 $3$ 的连边情况。

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同构：若两个图顶点之间建立一一对应的关系，且任意一对顶点的边数对应相同，则称两图是同构的。

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2.2 子图和连通分支

2.2.1 子图

子图：设 $H$ 和 $G$ 为两个图。若 $V(H)\subseteq V(G)$ 且 $E(H)\subseteq E(G)$，则 $H$ 为 $G$ 的子图。记作 $H\subseteq G$。
相等：设 $H$ 和 $G$ 为两个图。若 $V(H)=V(G)$ 且 $E(H)=E(G)$，则 $H$ 为 $G$ 相等。记作 $H=G$。
真子图：若 $H\subseteq G$ 且 $H\ne G$，则称 $H$ 是 $G$ 的真子图，记作 $H\subset G$。
支撑(生成)子图：若 $V(H)=V(G)$ 且 $E(H)\subseteq E(G)$，则称 $H$ 是 $G$ 的支撑子图或生成子图。
基础简单图：对图 $G$ 去除重边和环后的图 $H$。

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2.2.2 导出子图

导出子图：设 $V^{\prime }$ 是 $V(G)$ 的非空子集，以 $V^{\prime }$ 为顶点集，以 $E^{\prime }=uv\in E(G)|u,v\in V^{\prime }$ 为边集的 $G$ 的子图称为 G 的由 $V^{\prime }$ 导出的子图，记作 $G[V^{\prime }]$，简称为 $G$ 的导出子图。

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2.2.3 连通分支

途径的起点/终点/长度/逆转/衔接/节：$W=v_o{e}_1{v}_1{e}_2...e_k{v}_k$，这里 $v_i\in V(0\le i\le k),e_j=v_{j-1}{v}_j\in E(1\le j\le k)$，$v_0$ 称为 $W$ 的起点，$v_k$ 称为 $W$ 的终点，之间的 $v$ 称为 $W$ 的内部点。$W$ 称为 $G$ 的 $(v_0,v_k)$ 途径。$k$ 为 $W$ 的长度。逆转如字面意思。衔接意味对于两个不同的 $W$，其中一条 $W$ 的终点为另一个 $W$ 的起点，则两条 $W$ 可以衔接。节是 $W$ 序列中的子集。

迹：途径 $w$ 的边互不相同，则称 $W$ 为迹。若起点终点相同，则 $W$ 为闭迹。
链：途径 $w$ 的顶点互不相同，则称 $W$ 为链。一个顶点也称为一条链。
圈：起点、内部点互不相同的闭迹称为圈，长为 $k$ 的圈称为 $k$ 圈。根据 $k$ 的奇偶性，相应地称 $k$ 圈为奇圈和偶圈。
连通：若图 $G$ 中存在 $(u,v)$ 链，则顶点 $u$ 和 $v$ 在图 $G$ 中是连通的。
连通分支(数)：$V$ 的非空划分 $(V_1,V_2...,V_{\omega })$，导出子图 $G[V_1],G[V_2],...,G[V_{\omega }]$ 称为 $G$ 的连通分支。$\omega (G)$ 为图 $G$ 的连通分支数。

2.2.4 举例

距离：图 $G$ 中所有 $(u,v)$ 链的最短链，记为 $d(u,v)$，被称之为 $u,v$ 之间的距离。
例题：设 $G$ 是连通图，且 $G$ 中至少有一对顶点不相邻，证明存在 $u,v,w\in V$，使 $uv,vw\in E$，但 $uw\notin E$。
思路：设 $x,y\in V$ 且 $xy\notin E$。因 $G$ 连通，故 $G$ 中存在最短 $(x,y)$ 链 $P=x{v}_1{v}_2...y$。
由 $P$ 的最短性可知 $x{v}_2\notin E$，于是令 $u=x,v=v_1,w=v_2$，则有$uv\in E,vw\in E$ 但 $uw\notin E$。

2.3 重要图类

2.3.1 完全图

完全图：含有 $C_n^2$ 条边，且每对顶点都相邻的简单图，记作 $K_n$。
空图：边集为空的图。
平凡图：图中只有一个顶点。
非平凡图：除了平凡图以外的图。
例题：在任意 $6$ 个人聚会上，要么有 $3$ 个人相互认识，要么有 $3$ 个人相互不认识。
思路：先构造 $6$ 阶完全图 $K_6$，其中 $V=v_1,v_2,...,v_6$。$v_i$ 代表第 $i$ 个人。
若 $v_i$ 与 $v_j$ 互相认识，则染这条边为红色边，否则为蓝色边。于是问题转成了图中必定存在同色三角形问题。因此得证。