容斥原理简述

文章目录

- - 1. 问题引入
  - 2. 公式
  - 3. 证明
  - 参考

1. 问题引入

主要用来解决集合的计数问题。

最常见的应用题，A活动多少人，B活动多少人，AB两活动多少人之类的。

两三个集合的时候还能画图进行识别，三个以上的集合则看不太出来了。

2. 公式

$\left\vert A_1 \cup A_2 \cup A_3...\cup A_m \right\vert = \sum_{1\le i \le m}\left\vert A_i \right\vert - \\ \sum_{1\le i \lt j \le m} \left\vert A_i \cap A_j\right\vert + \\ \sum_{1 \le i \lt j \lt k \le m} \left\vert A_i \cap A_j \cap A_k\right\vert- ...\\ +(-1)^{m-1}\left\vert A_1 \cap A_2 \cap A_3 ...\cap A_m\right\vert =\\ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \sum_{1 \lt i_1 \lt i_2 \lt ... \lt i_k \le n} |A_{i_1} \cap A_{i_2}...A_{i_k}|$

3. 证明

引入1
$\left \vert \bigcup_{i = 1}^n{A_i} \right\vert = \left\vert A_1\cup A_2...A_i\right\vert$
引入2 德摩根定理
$\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B \\ \overline{A \cap B} =\overline A \cup \overline B$

数学归纳法

当 n = 2 时
$\left\vert A_1 \cup A_2 \right\vert = \left\vert A_1\right\vert + \left\vert A_2\right\vert - \left\vert A_1 \cap A_2\right\vert$
成立。
假设当 $\ge 2, s \in N^*)$ 时，结论成立。则当 $n = s + 1$

$\left\vert \bigcup_{i=1}^{n}A_i\right\vert = \left\vert \bigcup_{i=1}^{s+1}A_i \right\vert= \left\vert \big(\bigcup _{i =1}^s A_i\big) \cup A_{s+1}\right\vert \\= \\ \left\vert \bigcup_{i=1}^s A_i\right\vert + \left\vert A_{s+1}\right\vert - \left\vert \big( \bigcup_{i=1}^s A_i\big)\cap A_{s}\right\vert \\ = \\ \left\vert \bigcup_{i=1}^s A_i \right\vert \ + \left\vert A_{s+1}\right\vert -\left\vert \bigcup _{ i=1}^s(A_i \cap A_{s+1}) \right\vert \\=\\ \sum_{1 \le i_1 \le s+1}\left\vert A_i\right\vert + \sum_{k =2}^{s}(-1)^{k-1} \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \lt i_3 .. \le s} \left\vert A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3}... \cap A_{i_k}\right\vert + \sum_{k=2}^{s+1}(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1 \lt i_2... \lt i_k \le s+1 }|A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3}..A_{i_k}| \\= \\ \sum_{1 \le i \le s+1}| A_{i}| +\sum_{k =2}^{s}(-1)^{k-1} \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \lt i_3 .. i_k\le s} \left\vert A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3}... \cap A_{i_k}\right\vert +\sum_{k =2}^{s}(-1)^{k-1} \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \lt i_3 .. \le i_k \le s+1} \left\vert A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3}... \cap A_{i_k}\right\vert +(-1)^s |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap... A_{s+1}| \\= \\ \sum_{1 \le i \le s+1}|A_{i}| + \sum_{k=2}^{s+1}(-1)^{k-1}\sum_{1 \le i_1 \lt i_2 ..i_k \le s+1}|A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap... A_{i_k}| \ + (-1)^s |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap... A_{s+1}| \\ \\= \\ \sum_{k=1}^{s+1}(-1)^{k-1} \sum_{1 \le i_1 \lt i_2 \lt i_3... \lt i_k \le s+1}|A_{i_1} \cap A_{i_2}...\cap A_{i_k}|$
成立得证。