abstract

• 显函数和隐函数
  • 一个函数可以有不同的表示方式,而公式法中又有不同的方式描述同一个函数,例如表示成显函数或者隐函数
  • 然而某些函数只能表示成隐函数(难以显化)
• 隐函数求导
• 参数式函数求导

显函数

• 函数$y=f(x)$(0)表示两个变量$y,x$之间的对应关系,其中$y,x$分别称为因变量和自变量
• 等号左端的是因变量符号,而等号右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,该式子能确定对应的函数值,这种方式表达的函数称为显函数
• 例如函数$y=-x$(f1)

隐函数

• 一般地,若变量$x,y$满足一个方程$F(x,y)=0$(1),在一定条件下,当$x$取区间内的任一值时,相应地总有满足这个方程地唯一的$y$值存在,那么说方程(1)在该区间内确定了一个隐函数

• 方程(1)也可以表示为$F(x,y(x))=0$

• 例如$x+y=0$(f2),$xy=e$

隐函数显化

• 将一个隐函数(1)化为显函数(0),称为隐函数的显化
• 不是所有隐函数都容易或能够显化,但由于函数的定义,$y,x$存在确定关系,方程(1)所确定的隐函数仍然可以表示为(或设为)显函数的形式:$y=y(x)$

隐函数求导

• 虽然隐函数不一定能显化,但我们还是希望能够对隐函数求导
• 通常的办法是对隐函数两边对自变量求导
• 若方程包含$y$的式子或者项记为$f(y)$,则将其对$x$求导应视为复合函数求导:$f(y)=f(y(x))$对$x$求导的导数:$y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$f^{\prime }\cdot y^{\prime }$
• 例如$y^5$对$x$求导:$5y^4\cdot y^{\prime }$
• 而隐函数高阶导类似的,继续对方程两边求导,必要时将一阶导的结果代入二阶导的算式中

对数求导法

• 对$y=f(x)$两边同时取对数,在求出$y$的导数

幂指函数求导

• 这种方法经常用在包含幂指函数的方程中简化求导过程
  • $y=u^v,(u>0)$,$u=u(x),v=v(x)$都可导
    • $\ln y=v\ln u$
    • $\frac{1}{y}{y}^{\prime }$=$v^{\prime }\ln u+v\frac{1}{u}{u}^{\prime }$
  • $y^{\prime }=y(v^{\prime }\ln u+v\frac{1}{u}{u}^{\prime })$=$u^v(v^{\prime }\ln u+v\frac{u^{\prime }}{u})$
• 另一种操作手法是将幂指函数$y=u^v$变形为指数函数$e^{\ln u^v}$=$e^{v\ln u}$
  • 这种手法将幂指函数处理成复合函数,运用复合函数求导法也可得到上述结论

乘法链函数及其分式函数求导

• 另一类形是多项式(因式分解形式):$y=f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$,对其两边取对数,$\ln y$=$\ln f_1(x)+\ln f_2(x)+\cdots +\ln f_n(x)$=${\sum }_{i=1}^n\ln f_i(x)$

  • 这使得乘积函数函数变成加和形式,因而求导更加方便:
  • $\frac{1}{y}{y}^{\prime }$=${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{f_i(x)}{f}_i^{\prime }(x)$

• $g=\frac{{\prod }_{i=1}^n{f}_i(x)}{{\prod }_{i=1}^m{g}_i(x)}$依然有效:

  • $\ln g={\sum }_{i=1}^n\ln f_i(x)-{\sum }_{i=1}^m\ln g_i(x)$

• 这种方法不仅可以用于幂指型隐函数和显函数求导(注意根式也时幂的一种表现形式)

例子

例

• 以求$y=a^x$的导函数为例,使用对数求导法(伯努利求导法)

• $y=a^x$,两边取对数$\ln y=\ln a^x=x\ln a$

• 两边同时对$x$求导,$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\ln a$,整理:$y^{\prime }=y\ln a=a^x\ln a$即,$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

例

• $e^y+xy-e=0$所确定的隐函数$y=y(x)$的导数$y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$
• 两边求导,得$e^y{y}^{\prime }+1y+x{y}^{\prime }=0$;整理可得$y^{\prime }=-\frac{y}{x+e^y}$,$(x+e^y\ne 0)$

例

• $y=(x+1)(x+2)$,$y>0$
  • $\ln y$=$\ln (x+1)+\ln (x+2)$
  • $\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$
  • $y^{\prime }$=$y(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2})$=$(x+2)+(x+1)$=$2x+3$
• 若将$y$展开为多项式形式$y=x^2+3x+2$,结果也是一样的,只不过当乘积项较多时,对数求导法会更加简单

例

• $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}$,$y=\sqrt{f(x)}$=$f(x{)}^{\frac{1}{2}}$的导数

  • 令$f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x)$分别为$x-1$,$x-2$,$x-3$,$x-4$

• 当$x>4$,则$f(x)>0$

  • 两边取对数$\ln y=\frac{1}{2}\ln f(x)$=$\frac{1}{2}(\ln (x-1)+\ln (x-2)-\ln (x-3)-\ln (x-4))$
  • 两边对$x$求导:$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4})$即$y^{\prime }=\frac{y}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4})$

• 当$x<1$时$f(x)>0$,和第一种情形相同

• 当$x<1$,$2<x<3$时,$f(x)>0$,和第一种情形相同

• 若$1<x<2$,$3<x<4$,此时$f(x)<0$,不能直接用对数求导法

  • 但是$g=-y=-f(x)$,则$g>0$,可以用对数求导法求出$g^{\prime }$,从而$y^{\prime }=-g^{\prime }$

参数方程确定的函数及其导数

引言

• 从研究物体运动的轨迹开始引入参数方程
• 以抛射运动为例,抛射体的运动轨迹表示为方程组(1):
  • $x=v_{1}t$(1-1)
  • $y=v_{2}t-\frac{1}{2}g{t}^2$(1-2)
• 其中$v_1,v_2$分贝时抛射体速度的水平和铅直方向的分量;$g$时重力加速度,$t$是飞行时间
• 而$x,y$分别是抛射体在铅直品面上的位置的横坐标和纵坐标
• 方程组(1)中,$x,y$都是关于变量$t$的函数,可以分别记为$x=x(t),y=y(t)$;为了便于讨论和区分,将函数的映射符号使用和因变量相异的符号,表示为方程组(2):
  • $x=\varphi (t)$,(2-1)
  • $y=\psi (t)$(2-2)

参数方程确定的函数

• 若把对应于同一个$t$的$y,x$看作是对应的,那么就得到$y,x$之间的函数关系
• 一般地,若参数方程(2)确定$y,x$间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为方程(2)所确定的函数(简称参方函数)
• 参数方程(2)中的参数是$t$,变量是$x$;将参数方程化为一般方程不总是容易进行的,一般的转化方法如下(消去参数$t$):
  • 设$x=\varphi (t)$具有单调连续反函数$t={\varphi }^{-1}(x)$
  • 并设$x=\varphi (t)$的反函数为$t={\varphi }^{-1}(x)$(3)
  • 将(3)代入$y=\psi (t)$,得$y=\psi ({\varphi }^{-1}(x))$(4);这就是说,参方函数可以看作是$y=\psi (t),t={\varphi }^{-1}(x)$的复合函数
• 有时参数$t$难以消去

例

• 引言例中,$y=f(x)$的表示:
  • 由$x=\varphi (x)$=$v_{1}t$,得$t={\varphi }^{-1}(x)$=$\frac{x}{v_1}$
  • 代入$y=\psi (t)=v_{2}t-\frac{1}{2}g{t}^2$得$y=v_2(\frac{x}{v_1})-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_1}{)}^2$

参数方程确定的函数的导数

• 尽管参方函数不总便于化为一般函数,但是我们可以对参方函数进行求导

• 为了计算复合函数(4)的导数,需要假定(2-1),(2-2)都可导,且${\varphi }^{\prime }(t)\ne 0$

• 于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则,得$y=y(x)$得导数:

• $y^{\prime }$=$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$(5)

  • 方法1:分式上下同时除以$dt\ne 0$
    • $y^{\prime }$=$\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$(5-1)
      • =$\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$
  • 方法2:配项$1=\frac{dt}{dt}$,$(dt\ne 0)$再变形
    • =$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ =$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ $\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$(5-2)
      • =$\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$

• 公式(5)就是方程组(2)确定的函数的关于$x$的函数的导数公式

参方函数的二阶导数

• 若方程组(2)中的方程还都是二阶可导的,则
  • $y^{\prime \prime }$=$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$(6)
    • =$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})$ $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}$(6-0)
    • =$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)})$ $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$(6-1)
    • =$\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)}{(\varphi {}^{\prime }(t){)}^2}$ $\frac{1}{{\varphi }^{\prime }(t)}$,其中$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$=$\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$=$\frac{1}{{\varphi }^{\prime }(t)}$(6-2)
    • =$\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\varphi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)}{(\varphi {}^{\prime }(t){)}^3}$(6-3)
• 公式(6)就是参方函数的二阶导公式,重要的是式(6-0)处的配项,
  • 公式(6-3)不需要记忆
  • 记住公式(6-1)的手法即可

例子

例

• 某椭圆的参数方程为$x=a\cos t$,$y=b\sin t$

• 求椭圆在$t=\frac{\pi }{4}$相应点$M_0$处的切线方程

• 解

  • 代入$t=\frac{\pi }{4}$得点$M(\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{2}}{2}b)$
  • $M$处斜率为$y^{\prime }{|}_{t=\frac{\pi }{4}}$=$\frac{b\cos t}{-a\sin t}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}$=$-\frac{b}{a}$

• 直线点斜式方程$y-\frac{\sqrt{2}b}{2}$=$-\frac{b}{a}(x-\frac{\sqrt{2}}{2}a)$,即$bx+ay-\sqrt{2}ab=0$

例

• 摆线参数方程$x=\varphi (t)=a(t-\sin t)$;$y=\psi (t)=a(1-\cos t)$所确定的函数$y=y(x)$的二阶导数
  • 可以直接套用二阶导公式,也可逐步求导
  • 逐步求导法:
    • $\frac{dy}{dx}$=$\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$=$\frac{\sin t}{1-\cos t}$=$\cot \frac{t}{2}$
      • $\frac{t}{2}\ne n\pi ,n\in \mathbb{Z}$,即$t\ne 2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$
    • $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$=$\frac{d}{dx}\cot \frac{t}{2}\frac{dt}{dx}$=$-({\csc }^2\frac{t}{2})\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}$=$-(\frac{1}{2{\sin }^2\frac{t}{2}})\frac{1}{a(1-\cot t)}$=$-\frac{1}{a(1-\cot t{)}^2}$,$(t\ne 2n\pi ,n\in \mathbb{Z})$

极坐标曲线某点的导数

• 将极坐标曲线$L$:$r=r(\theta )$化为直角坐标的参数方程:

  • $x=r\cos \theta$;$y=r\sin \theta$
  • 在利用参数方程求导法求导$y_x^{\prime }$=$\frac{y_{\theta }^{\prime }}{x_{\theta }^{\prime }}$=$\frac{r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta }{r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta }$

• 极坐标上的曲线$r=e^{\theta }$对应的直角坐标参数方程为

  • $x=r\cos \theta$=$e^{\theta }\cos \theta$

  • $y=r\sin \theta =e^{\theta }\sin \theta$

  • $y_x^{\prime }$=$\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\cos \theta -\sin \theta }$