数据结构 - 5（二叉树7000字详解）

一：二叉树的基本概念

1.1树形结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

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注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 数的相关概念

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  • 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
  • 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
  • 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
  • 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
  • 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
  • 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
  • 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
  • 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

  • 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
  • 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
  • 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
  • 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
  • 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
  • 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表现形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

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1.4树的应用

文件系统管理（目录和文件）
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1.5 二叉树

二叉树是一种常见的树状数据结构，它由节点和边组成。每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树具有以下特点：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

如下图所示：

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注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
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大自然的奇观：
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1.6 两种特殊的二叉树

  1. 满二叉树：满二叉树是指每个节点都有两个子节点（除了叶子节点）。换句话说，满二叉树是一种节点数目达到最大可能值的二叉树。例如，如果一棵二叉树的深度为d，那么它的节点数目就是2^d - 1。

  2. 完全二叉树：完全二叉树是指除了最后一层外，其他层的节点都被完全填充，并且最后一层的节点都尽量靠左排列的二叉树。换句话说，完全二叉树是在满二叉树的基础上，去掉一些叶子节点而得到的二叉树。

如图所示：
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1.7 二叉树的重要性质

  1. 性质一：叶子结点的个数是度为2结点的个数+1

要理解为什么对任何一棵二叉树，其叶结点个数为 n0，度为2的非叶结点个数为 n2，有 n0 = n2 + 1，我们首先需要了解二叉树的定义和性质。

二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。叶节点是没有子节点的节点，而度为2的非叶节点是具有两个子节点的非叶节点。

让我们来证明这个等式 n0 = n2 + 1 ：

  1. 首先，我们将二叉树的节点按照度的数量进行分类。由于二叉树的节点度数只有0、1、2三种情况，我们可以得出以下等式：n = n0 + n1 + n2，其中 n 表示二叉树的总节点数。

  2. 其次，我们来考虑度为0的节点，也就是叶节点。叶节点是没有子节点的节点，所以它的度为0。假设叶节点的个数为 n0。

  3. 然后，我们考虑度为2的非叶节点，也就是具有两个子节点的非叶节点。假设度为2的非叶节点的个数为 n2。

  4. 根据二叉树的性质，每个非叶节点都会有两个子节点。所以，度为2的非叶节点的总子节点个数为 2 * n2。

  5. 接下来，我们来看看二叉树的总子节点个数。根据节点分类的等式，可以得出总子节点个数为 n1 + 2 * n2。其中 n1 表示度为1的节点的个数。

  6. 由于每个节点都有两个子节点，所以总子节点个数应该等于 n - 1（根节点除外）。因此，我们可以得到以下等式：n1 + 2 * n2 = n - 1。

  7. 最后，我们将以上的等式整合起来，得到 n0 + n1 + n2 = n。将 n1 + 2 * n2 = n - 1 代入其中，得到 n0 + (n - 1) = n，即 n0 = n2 + 1。

根据上述推导，我们可以得出结论：对于任何一棵二叉树，其叶结点个数为 n0，度为2的非叶结点个数为 n2，有 n0 = n2 + 1。即叶子结点的个数是度为2结点的个数+1，这是二叉树性质的一个重要结论。

  1. 性质二：具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整

  2. 性质三：对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

  • 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
  • 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

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  1. 性质四：我们可以根据array.length-2)>>1计算倒数第一个非叶子节点的索引

二：二叉树的遍历，存储和实现

2.1 二叉树的遍历

二叉树的遍历方式有四种，分别是前序遍历，中序遍历，后序遍历和层序遍历，这是我们约定俗成的规定。

前序遍历（Preorder Traversal）是一种遍历二叉树的方法。在前序遍历中，我们首先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。具体过程如下：

  1. 访问当前节点（根节点）。
  2. 递归地前序遍历左子树。
  3. 递归地前序遍历右子树。

下面是一个例子来说明前序遍历：

      1/ \2   3/ \4   5

前序遍历结果：1 2 4 5 3

中序遍历（Inorder Traversal）是另一种遍历二叉树的方法。在中序遍历中，我们首先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。具体过程如下：

  1. 递归地中序遍历左子树。
  2. 访问当前节点（根节点）。
  3. 递归地中序遍历右子树。

下面是一个例子来说明中序遍历：

      1/ \2   3/ \4   5

中序遍历结果：4 2 5 1 3

后序遍历（Postorder Traversal）是另一种遍历二叉树的方法。在后序遍历中，我们首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。具体过程如下：

  1. 递归地后序遍历左子树。
  2. 递归地后序遍历右子树。
  3. 访问当前节点（根节点）。

下面是一个例子来说明后序遍历：

      1/ \2   3/ \4   5

后序遍历结果：4 5 2 3 1

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

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这个图的层序遍历结果就是ABCDEFGHI

下面是一个练习，请同学们根据下图，给出以下二叉树的四种遍历方式：

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前序遍历：ABDEHCFG
中序遍历：DBEHAFCG
后序遍历：DHEBFGCA
层序遍历：ABCDEFGH

2.2二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent;   // 当前节点的根节点
}

本文采用孩子表示法来构建二叉树。

2.3二叉树的实现

在Java中，并没有内置的二叉树类。但是，我们可以通过自定义类来实现二叉树的功能。下面是模拟实现二叉树并给出主方法进行测试的代码：


import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;// 定义二叉树节点类
class Node {int data;Node left;Node right;// 节点构造函数public Node(int data) {this.data = data;left = null;right = null;}
}// 定义二叉树类
class BinaryTree {Node root;// 构造函数，初始化根节点public BinaryTree() {root = null;}// 获取树中节点的个数public int size(Node root) {if (root == null) {return 0;} else {// 递归地计算左子树和右子树节点个数，并加上根节点return 1 + size(root.left) + size(root.right);}}// 获取叶子节点的个数public int getLeafNodeCount(Node root) {if (root == null) {return 0;} else if (root.left == null && root.right == null) {// 叶子节点的定义：左右子节点都为空return 1;} else {// 递归地计算左子树和右子树叶子节点个数，并相加return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);}}// 获取第K层节点的个数public int getKLevelNodeCount(Node root, int k) {if (root == null || k <= 0) {return 0;} else if (k == 1) {// 第1层就是根节点本身return 1;} else {// 递归地计算左子树和右子树第k-1层节点个数，并相加return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);}}// 获取二叉树的高度public int getHeight(Node root) {if (root == null) {return 0;} else {// 递归地计算左子树和右子树的高度，并取最大值，再加上根节点int leftHeight = getHeight(root.left);int rightHeight = getHeight(root.right);return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;}}// 检测值为value的元素是否存在public Node find(Node root, int val) {if (root == null) {return null;} else if (root.data == val) {// 找到了与目标值相等的节点return root;} else {// 递归地在左子树和右子树中查找值为val的节点Node foundNode = find(root.left, val);if (foundNode == null) {foundNode = find(root.right, val);}return foundNode;}}// 层序遍历public void levelOrder(Node root) {if (root == null) {return;}// 使用队列辅助层序遍历Queue<Node> queue = new LinkedList<>();queue.add(root);while (!queue.isEmpty()) {Node current = queue.poll();System.out.print(current.data + " ");if (current.left != null) {queue.add(current.left);}if (current.right != null) {queue.add(current.right);}}}// 判断一棵树是不是完全二叉树public boolean isCompleteTree(Node root) {if (root == null) {return true;}Queue<Node> queue = new LinkedList<>();boolean isNonFullNodeFound = false; // 是否找到了不是满节点的节点queue.add(root);while (!queue.isEmpty()) {Node current = queue.poll();if (current.left != null) {if (isNonFullNodeFound) {return false; // 如果之前找到了不是满节点的节点，当前节点有左子节点，则不是完全二叉树}queue.add(current.left);} else {isNonFullNodeFound = true; // 记录找到了不是满节点的节点}if (current.right != null) {if (isNonFullNodeFound) {return false; // 如果之前找到了不是满节点的节点，当前节点有右子节点，则不是完全二叉树}queue.add(current.right);} else {isNonFullNodeFound = true; // 记录找到了不是满节点的节点}}return true;}
}

下面再给出主方法用于测试这些方法的功能：

import java.util.Arrays;public class Main {public static void main(String[] args) {// 创建一个示例二叉树Node root = new Node(1);root.left = new Node(2);root.right = new Node(3);root.left.left = new Node(4);root.left.right = new Node(5);root.right.left = new Node(6);root.right.right = new Node(7);BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();// 测试 size 方法System.out.println("树中节点的个数：" + binaryTree.size(root)); // 7// 测试 getLeafNodeCount 方法System.out.println("叶子节点的个数：" + binaryTree.getLeafNodeCount(root)); // 4// 测试 getKLevelNodeCount 方法int k = 3;System.out.println("第" + k + "层节点的个数：" + binaryTree.getKLevelNodeCount(root, k)); // 2// 测试 getHeight 方法System.out.println("二叉树的高度：" + binaryTree.getHeight(root)); // 3// 测试 find 方法int target = 5;Node foundNode = binaryTree.find(root, target);if (foundNode != null) {System.out.println("找到值为" + target + "的节点");} else {System.out.println("未找到值为" + target + "的节点");}// 测试 levelOrder 方法System.out.print("层序遍历结果：");binaryTree.levelOrder(root); // 1 2 3 4 5 6 7System.out.println();// 测试 isCompleteTree 方法System.out.print("是否是完全二叉树：");if (binaryTree.isCompleteTree(root)) {System.out.println("是");} else {System.out.println("否");}}
}

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