1.Tree–Basic

参考链接

2.Binary Tree

参考链接
二叉树是有序树。

简单地理解，满足以下两个条件的树就是二叉树：
1. 本身是有序树；
2. 树中包含的各个节点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2；

2.1 满二叉树

如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树

2.2 完全二叉树

如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

2.3 Binary Tree–Implementation

2.3.1 顺序存储结构

利用数组实现。

2.3.2 链式存储结构

利用链表实现。

2.4 Binary Tree–Traversal

遍历有两种实现方式
1.递归
2.利用栈模拟递归思想实现

2.4.1 Preorder Traversal

参考链接

2.4.1.1 概念

	先序遍历得到的序列为：1 2 4 5 3 6 7

2.4.1.2 实现–递归

```c
void PreOrderTraverse(Tree * t)
{if(t == NULL)return;printf("%c",t->data);PreOrderTraverse(t->lchild);PreOrderTraverse(t->rchild);
}
```

2.4.1.3 实现–栈

2.4.2 Inorder Traversal

参考链接

2.4.2.1 概念

	中序遍历得到的序列为：4 2 5 1 6 3 7

2.4.2.2 实现–递归

void InOrderTraverse(Tree * t)
{if(t == NULL)return;InOrderTraverse(t->lchild);printf("%c",t->data);InOrderTraverse(t->rchild);
}

2.4.2.3 实现–栈

2.4.3 Postorder Traversal

参考链接

2.4.3.1 概念

	后序遍历的结果为：4 5 2 6 7 3 1

2.4.3.2 实现–递归

```c
void PostOrderTraverse(Tree * t)
{if(t == NULL)return;PostOrderTraverse(t->lchild);PostOrderTraverse(t->rchild);printf("%c",t->data);
}
```

2.4.3.3 实现–栈

2.4.4 Hierarchical Traversal

2.4.4.1 概念

	层次遍历结果为：1 2 3 4 5 6 7

2.4.4.2 利用队列实现

参考链接

3. Binary Search Tree

3.1 概念

参考资料

又称 二叉排序树（Binary Sort Tree）。

二叉搜索树的基本性质：满足二叉树性质的同时，左子树<=根<=右子树，
平均查找时间复杂度为 O(log(n))。

最好情况下的算法时间复杂度为O(1)，最坏情况下的算法时间复杂度为O(n)。

BST 是数据结构中的一类。在一般情况下，查询效率比链表结构要高。

针对优化查找效率衍生出众多 自平衡二叉查找树。
其中包括：

··Size Balanced Tree，节点大小平衡树（Size Balanced Tree），简称SBT。 2007
··高度平衡树，简称 AVL树。 		1962
··红黑树（Red Black Tree）。	1978

以上所有自平衡二叉树 都会利用旋转 保持自身平衡。

3.2 实现

实现一般包括插入删除。
插入的算法有两种（类似前序遍历的思想）：
1. 递归
2. 利用栈。

参考资料

4. Size Balanced Tree

4.1 概念

参考资料
参考资料

Size Balanced Tree（SBT）是一种通过大小（Size）域来保持平衡的二叉搜索树，它也因此得名。
相比红黑树、AVL树等自平衡二叉查找树，SBT更易于实现。

Size的概念：对于树上某个节点而言，它的Size指的是以它为树根的子树当中节点的数量。
SBT的平衡条件：对于SBT的每个节点，每棵子树的 Size 大小不小于其兄弟的子树 Size 大小。

性质：
它总是满足：

4.2 保证自平衡方法–旋转调整

旋转的命名参考资料
旋转分别为 左旋 (RR型) 和 右旋 (LL型)，两者过程是相反的。
如下图示例针对 x 的左旋和右旋。

至于 LR型（先左旋后右旋）和 RL型（先右后左），不需要再写额外的代码，只需要调用两次 左旋转或者右旋转。

假设A节点需要进行LR型的旋转，则只需A.left = 左旋转一次，再A= 右旋转一次。
假设B节点需要进行RL型的旋转，则只需B.right = 右旋转一次，再B = 左旋转一次。

4.3 何时触发自平衡调整

只有在添加节点时才会出现平衡调整，因为删除后调整平衡与不调整平衡，都不影响后续的操作。
为了达到优化，在delete中，不进行平衡性的调整。而是把平衡性的调整，放在了add方法里。

Maintain方法，就是SBT树，最核心的地方。

触发旋转的条件是：

T1的size > 二叔的size	LL型
T2的size > 二叔的size	LR型
T3的size > 大叔的size	RL型
T4的size > 大叔的size	RR型

旋转操作之后，还需要递归调用Maintain方法。
递归调用的对象，就是：

哪个节点的子树被换了，则需要调用这个Maintain（新子树）；
举个例子：原先A节点的右子树是T2，旋转操作之后，A节点的右子树变为了T3，那么就需要递归调用Maintain（T3）。

4.4 删除节点

为了达到优化，在delete中，不进行平衡性的调整。而是把平衡性的调整，放在了add方法里。
特别需要注意的是：
就是被删除节点的左右子树都不为null时，需要找一个节点来替换当前被删除的节点。一般都是在被删除节点的右子树上，查找最小（最左）的节点进行替换。这一点，也是搜索二叉树的删除操作，最容易出错的一个点，值得重点关注。

4.5 实现

mygitee

5.Balanced Binary Tree（BBT，简称 AVL 树）

参考链接

5.1 概念

AVL树本质上是一颗二叉查找树，但是它又具有以下特点：

1.它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，
2.左右两个子树 也都是一棵平衡二叉树。

平衡因子（Balance Factor，简写为bf）：结点的 左子树的深度 减去 右子树的深度。

 结点的平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度 

在 AVL树中，所有节点的平衡因子都必须满足： -1<=bf<=1;

5.2 保证自平衡方法–旋转调整

和上面 BST 性质差不多，都分为左旋（RR型）和右旋（LL型）。
左旋和右旋都针对的是 哪个节点发现了不平衡，就以哪个节点进行旋转。

5.2.1 LL插入–右旋

如上图，此时添加为 LL 型，T发现不平衡，故需以 T 右旋调整：

5.2.2 RR插入–左旋

如上图，此时添加为 RR 型，T发现不平衡，故需以 T 左旋调整：

5.2.3 LR插入–先左旋再右旋

LR 插入，需要进行两次调整：

5.2.4 RL插入–先右旋再左旋

5.2.5 总结

故由上可知，根据插入节点的位置，触发某种平衡调整：

插入位置	状态	操作
在结点 T 的左结点（L）的 左子树（L） 上做了插入元素	左左型 (LL)	右旋
在结点 T 的左结点（L）的 右子树（R）上做了插入元素	左右型 (LR)	左右旋
在结点 T 的右结点（R）的 右子树（R） 上做了插入元素	右右型 (RR)	左旋
在结点 T 的右结点（R）的 左子树（L） 上做了插入元素	右左型 (RL)	右左旋

5.3 实现

5.3.1 分析–插入

插入最重要的是怎样更新 bf，以及何时触发旋转。

插入是一个迭代的过程，每次更新 bf 的值要从插入位置开始向上迭代。因为只有插入位置的 bf 值 是知道的，其他节点的 bf 值在插入后都要变化。

插入分两种：
1.向左子树插入temp
可能的情况有如下图 4 种：

是否触发旋转，要根据各个节点（ a x z ）的 bf 值来判断决定。

1 可能触发 x 的 右旋（LL）。
2 可能触发 双旋（RL），x 先右旋（LL），z 再左旋（RL）。
3 可能触发 双旋（RL），A 先右旋（LL），x 再左旋（RL）。
4 可能触发 双旋（RL），A 先右旋（LL），x 再左旋（RL）。

2.向右子树插入temp

是否触发旋转，要根据各个节点（ a x z ）的 bf 值来判断决定。

1 可能触发 z 的右旋（LL）。
2 可能触发 双旋（LR），先对 A 左旋（RR），再对 x 右旋（LL）。
3 可能触发 x 的左旋（RR）也可能触发 z 的左旋（RR）
4 可能触发 x 的左旋（RR）也可能触发 双旋（RL），先对 x 左旋（RR），再对 z 右旋（LL）。 

总结：

当插入节点在某颗树的 右子树 时，只会发生 左旋（RR） 或 双旋（RL）。
当插入节点在某颗树的 左子树 时，只会发生 右旋（LL） 或 双旋（LR）。故可以根据，这个性质去写代码。

5.3.2 实例–插入

以先序插入：
70,90,50,40,60,55,45,48,49,75,57
实际插入流程如下：

每次插入都要向上遍历，遍历包含更新 bf 以及 根据 父节点 bf 的值调整子树平衡。

分析，这里只举一个例子，详细的拿着代码看。
示例1，如上图 add 48

	add 48后，首先更新父节点45 bf = -1，上例中 原始父父节点40 bf = -1，故此次添加是RR型，应左旋调整。延伸：若 父父节点40 bf = 0，则 更新父父节点40 bf = -1，此时这颗子树满足平衡，无需调整。若 父父节点40 bf = 1，则更新父父节点40 bf = 0，此时这颗子树满足平衡，无需调整。

5.3.3 分析–删除

删除，最重要的删除后如何触发旋转调整。
前提：无论  BST(二叉搜索树)， SBT（域二叉树） 还是 BBT（平衡二叉树），删除节点都是拿 右子树最小节点（右子树最左节点）替换 被删除节点。同样可以理解为，左子树 增加节点。和插入节点的思路一样。每次删除成功后，根据 父节点 bf 的值 进行 判断 是否旋转调整子树。

5.3.4 实例实现–插入、删除

实现最重要的一点就是要知道怎样更新 bf 的值，以及何时进行旋转调整平衡。

实现代码实现分两种，第一种是无论何时都获取树的高度，第二种是无论何时每个节点都保存 bf 值。

第二种详细代码实现

6. Red Black Tree（RBT）

6.1 概念

1. 每个结点是红的或者黑的2. 根结点是黑的3. 每个叶子结点是黑的4. 如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的5. 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上的包含相同数目的黑结点

6.1 保持自平衡方法-旋转调整

6.2 实现

6.2.1 分析-插入

总结：

为了更好的实现插入，将默认生成的节点颜色设置为红色，因此经分析得出：只有当插入位置（cur）的父节点（p）为 红色时 才会出现 旋转及变色调整（此时违背性质 4），需要发生调整又会根据 叔父节点（u）的颜色而出现 调整 的区别。（详见上图 情况 3.1.1 至 3.1.6）当插入位置的父节点为 黑色时，直接插入即可。实现代码时（详见 6.3）多看看上面的分析和总结。	

6.2.2 分析-删除

7. B Tree/ B-Tree

• B Tree 就是 B-Tree，“-” 是个连字符号，不是减号。

• B Tree 是在多叉树的基础上加上一些限制条件来的，多叉的好处非常明显，有效的降低了 B-树的高度。

7.1 B Tree 性质

• 一颗 M 阶 （M阶，指多叉树有多少个叉）B 树 T，满足以下条件

  1. 每个节点至多拥有 M 棵子树
  2. 根节点至少拥有两颗子树
  3. 除了根节点以外，其余每个分支节点至少拥有 M/2 棵子树
  4. 所有叶节点都在同一层上（这个概念就能看出 B tree 相比 平衡类二叉树 降层高）
  5. 有 k 棵子树的分支节点则存在 k-1 个关键字，关键字按照递增顺序进行排序
  6. 关键字数量满足 ceil(M/2) - 1 = n <= M-1

• B Tree 每个节点都包含 索引值 Key 和 对应数据 Data（区别于 B+ 树）。
  - 因为每个节点包含 键值，故在该树全集内做一次查找,性能逼近二分查找；

7.2 B Tree 和 磁盘关系

• B Tree 的作用
  - 树是专门为外部存储器设计的，如磁盘，它对于读取和写入大块数据有良好的性能，所以一般被用在文件系统及数据库中。

• 为什么会出现 B-树 这类数据结构
  传统用来搜索的平衡二叉树有很多，如 AVL 树，红黑树等。这些树在一般情况下查询性能非常好，但当数据非常大的时候它们就无能为力了。
  原因当数据量非常大时，内存不够用，大部分数据只能存放在磁盘上，只有需要的数据才加载到内存中。一般而言内存访问的时间约为 50 ns，而磁盘在 10 ms 左右。速度相差了近 5 个数量级，磁盘读取时间远远超过了数据在内存中比较的时间。这说明程序大部分时间会阻塞在磁盘 IO 上。
  那么我们如何提高程序性能？减少磁盘 IO 次数，像 AVL 树，红黑树这类平衡二叉树从设计上无法“迎合”磁盘。

• 从“迎合”磁盘的角度来看看B-树的设计
  索引的效率依赖与磁盘 IO 的次数，快速索引需要有效的减少磁盘 IO 次数，如何快速索引呢？
  - 索引的原理其实是不断的缩小查找范围，就如我们平时用字典查单词一样，先找首字母缩小范围，再第二个字母等等。平衡二叉树是每次将范围分割为两个区间。
  - 为了更快，B-树 每次将范围分割为多个区间，区间越多，定位数据越快越精确。那么如果节点为区间范围，每个节点就较大了。
  - 所以新建节点时，直接申请页大小的空间（磁盘存储单位是按 block 分的，一般为 512 Byte。
  磁盘 IO 一次读取若干个 block，我们称为一页，具体大小和操作系统有关，一般为 4 k，8 k或 16 k），计算机内存分配是按页对齐的，这样就实现了一个节点只需要一次 IO。

• B-Tree 的查找
  一般而言，根节点都在内存中，B-Tree 以每个节点为一次磁盘 IO.
  比如下图中，若搜索 key 为 25 节点的 data，首先在根节点进行二分查找（因为 keys 有序，二分最快），判断 key 25 小于 key 50，所以定位到最左侧的节点，此时进行一次磁盘 IO，将该节点从磁盘读入内存，接着继续进行上述过程，直到找到该 key 为止。

7.2 B Tree 的实现

• 添加

  1. 添加的时候只有分裂
  2. 添加情况两种
     • 普通插入，即插入的节点不满
     • 插入后要裂变，即 插入后大于 M 。
       （特别注意）裂变发生时机发生在，下一次插入 大于 M 时，而不是 插入后 等于 M 时。

• 删除

  1. 删除的时候只有合并
  2. 删除情况四种
     • 删除key，不是叶子结点，且 key值
       1. 前面节点大于 degree - 1
       2. 后面节点大于 degree - 1
       3. 前面节点等于 degree - 1 ，后面节点等于 degree - 1
     • 删除key，在叶子结点
       直接把 key 值删除。

8. ​ B+ Tree

B+ tree 是 B tree 的一种变形。

文件系统及数据库系统普遍采用 B-/+Tree 作为索引结构.

8.1 性质

• 一棵 M 阶 B+ 树（如下图），必须满足如下条件：
  1. 每个结点最多有 M 棵子树
  2. 如果根不是终端结点，则根结点至少有 1 个关键字，即至少有 2 棵子树。（根的关键字取值范围是[1，m-1]）
  3. 每个关键字对应一棵子树（与 B Tree 的不同），具有 k 个子树的非叶结点包含 k 个键。
  4. 每个非叶子结点（除了根）具有至少 m/2 子树，即最少有 m/2 个关键字。
  5. （特别注意）终端结点包含全部关键字及相应记录的指针，叶结点中将关键字按大小顺序排序，并且相邻叶结点按大小顺序相互链接起来。
  6. 所有分支结点（可以视为索引的索引）中金包含他的各个子节点（即下一级的索引块）中关键字最大值，及指向其子结点的指针。

• 特别注意
  1. B+ Tree 中所有关键字存储在叶子节点出现,内部节点(非叶子节点并不存储真正的 data)相当于叶子节点的索引，叶子节点携带真正的 data。
     因此一般 B+ Tree 的叶节点和内节点大小不同，而 B-Tree 的每个节点大小一般是相同的，为一页。
  2. B+ Tree 中 叶子结点有一个链指针（上面性质 5）
  3. B+ Tree 做索引优点

     1. 因为 B+ Tree 叶子结点有链指针，可大大增加区间访问性，可使用在范围查询等，而 B-Tree 每个节点 key 和 data 在一起，则无法区间查找。

     2. 根据空间局部性原理：如果一个存储器的某个位置被访问，那么将它附近的位置也会被访问。
        B+ Tree 可以很好的利用局部性原理, 可以利用磁盘预读原理提前将这些数据读入内存，减少了磁盘 IO 的次数。

     3. B+ Tree 更适合外部存储。由于内节点无 data 域，每个节点能索引的范围更大更精确。

        • 原因：
          前面说过磁盘是分 block 的，一次磁盘 IO 会读取若干个 block，具体和操作系统有关，那么由于磁盘 IO 数据大小是固定的，在一次 IO 中，单个元素越小，量就越大。这就意味着 B+Tree 单次磁盘 IO 的信息量大于 B-Tree，从这点来看 B+Tree 相对 B-Tree 磁盘 IO 次数少。