1.不定积分(原函数)存在性定理、定积分存在性定理、变限积分存在性定理

笔记来源：
1.10个命题搞懂可积和原函数存在
2.考研变限积分概念超详细，超通俗讲解（变限积分和原函数关系）

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1.1 不定积分(原函数)存在性定理

无论开区间还是闭区间，只要$f(x)$连续，则一定有原函数，原函数一定可导
$f(x)$有第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）时一定没有原函数
$f(x)$有第二类间断点中的无穷间断点时一定没有原函数
$f(x)$有第二类间断点中的振荡间断点时可能有原函数

$f(x)$有跳跃间断点时一定没有原函数
证明：
假设$f(x)$在$x_0\in I$上有跳跃间断点且$f(x)$在$I$上有原函数，即对$\forall x\in I$ 都有 $F^{\prime }(x)=f(x)$，又由于$F(x)$在$I$上可导，所以$F(x)$在$I$上连续
$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A_1 \\ \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A_2 \\ \text{由于}{x}_0\text{为跳跃间断点，故}{A}_1\ne A_2 \\ {F}_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A_1（\text{洛必达}） \\ {F}_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A_2（\text{洛必达}） \\ \text{由于}{A}_1\ne A_2，\text{故}{F}^{\prime }(x_0)\text{不存在，与假设可导矛盾，故}f(x)\text{在}I\text{不存在原函数} \end{gathered}$$

1.2 定积分存在性定理

$f(x)$必须在闭区间上连续

定积分存在就等价于面积存在

即便原函数$f(x)$存在第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）其定积分仍存在，也就是其面积仍存在。因为某一条线与$x$轴围成的面积为0，所以第一类间断点并不影响总体面积大小。

1.3 变限积分存在性定理

将 ${\int }_a^{b}f(t)dt$ 中的 $b$ 用 $x$ 代替，且 $x\in [a,b]$上变动，则 ${\int }_a^{x}f(t)dt$变成了一个函数（以$x$为自变量）将其称为变限积分，记作
$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dtx\in [a,b]$$

$f(x)$在闭区间${}^{\prime }[a,b]$上可积，则$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$在闭区间${}^{\prime }[a,b]$上连续
什么情况下函数$f(x)$可积？
情况一：函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续
情况二：函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有界且有有限个间断点
定积分的存在性与变限积分的存在性是一回事，都要求$f(x)$在闭区间$[a,b]$上可积，即有界且有有限个间断点

$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$在闭区间$[a,b]$上可导且$F^{\prime }(x)=f(x)$
证明：
$$\begin{gathered} F^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_a^{x+\Delta x}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt}{\Delta x} \\ {F}^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(ϵ)\Delta x}{\Delta x}=f(x)【ϵ\in (x,x+\Delta x)】\text{积分中值定理} \end{gathered}$$

1.4 小结