矩阵的条件数(conditional number)是衡量矩阵数值稳定性的关键指标，是判断矩阵是否处于病态 (ill-conditioned) 的一种度量标准，尤其在数值分析和线性代数中至关重要。以下将对矩阵条件数进行总结。

1. 定义

矩阵的条件数衡量矩阵对扰动或误差的敏感性。对于非奇异矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，其条件数定义为：
$$\text{Cond}(A)=\Vert A\Vert \cdot \Vert A^{-1}\Vert ,$$
其中$(\Vert \cdot \Vert )$ 为矩阵范数。常用范数包括：

• 2-范数（谱条件数）：${\text{Cond}}_2(A)=\frac{{\sigma }_{\max }}{{\sigma }_{\min }}$, ${\sigma }_{\max }$ 和 ${\sigma }_{\min }$ 分别为最大和最小奇异值。
• 1-范数 和 ∞-范数：通过列或行绝对和的最大值计算。
• Frobenius范数：基于矩阵元素的平方和。

作用:
条件数越大，矩阵越“病态”（ill-conditioned），微小的输入扰动会导致解的显著变化
条件数接近1时，矩阵为“良态”（well-conditioned），数值计算稳定性高

2. 为什么要定义条件数？

2.1 分析线性系统 $A(x+\Delta x)=b+\Delta b$

在线性系统 $Ax=b$中，假设 $A$ 是可逆矩阵。对向量 b 增加扰动得到向量 $b+\Delta b$，分析对应的解 $x$ 和$x+\Delta x$之间的变化：

原始线性系统：
$$Ax=b$$

扰动线性系统：
$$A(x+\Delta x)=b+\Delta b$$

将扰动系统代入原始系统，得到：
$$b+A\Delta x=b+\Delta b$$
$$\Rightarrow A\Delta x=\Delta b$$
$$\Rightarrow \Delta x=A^{-1}\Delta b$$

引入矩阵范数（subordinate matrix norm），根据其性质可得：
$$\Vert \Delta x\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \Vert \Delta b\Vert$$

结合原始系统 ( b = Ax ) 的范数关系：
$$\Vert b\Vert \le \Vert A\Vert \Vert x\Vert \Rightarrow \Vert x\Vert \ge \frac{\Vert b\Vert }{\Vert A\Vert }$$

当 ( b \neq 0 ) 时，解的相对误差满足：
$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\le \left(\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert \right)\frac{\Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }$$

2.2 分析线性系统 $(A+\Delta A)(x+\Delta x)=b$

在线性系统$Ax=b$ 中，假设 A 是可逆矩阵。对矩阵 A 增加扰动得到 $A+\Delta A$，分析对应的解 $x$ 和 $x+\Delta x$ 之间的变化：

原始线性系统：
$$Ax=b$$

扰动线性系统：
$$(A+\Delta A)(x+\Delta x)=b$$

将扰动系统展开并代入原始系统，得到：
$$A(x+\Delta x)+\Delta A(x+\Delta x)=b$$
$$\Rightarrow A\Delta x+\Delta A(x+\Delta x)=0$$
$$\Rightarrow \Delta x=-A^{-1}\Delta A(x+\Delta x)$$

取范数并利用矩阵范数的相容性，可得：
$$\Vert \Delta x\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \Vert \Delta A\Vert \Vert x+\Delta x\Vert$$

进一步整理相对误差：
$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x+\Delta x\Vert }\le \Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert \frac{\Vert \Delta A\Vert }{\Vert A\Vert }$$

结合原始系统的范数关系 $\Vert A\Vert \Vert x\Vert \ge \Vert b\Vert$，当 $\Vert A^{-1}\Vert \Vert \Delta A\Vert <1$ 时，解的相对误差满足：
$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\le \frac{\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert }{1-\Vert A^{-1}\Vert \Vert \Delta A\Vert }\cdot \frac{\Vert \Delta A\Vert }{\Vert A\Vert }$$

2.3 定义矩阵的条件数

从上述两个扰动线性系统的分析中可以看出，解的相对误差均与常数项 $\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$ 相关。因此，矩阵的条件数可定义为：
对于任意可逆矩阵 A ，其条件数为
$$\text{cond}(A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$$
其中，$\text{cond}(\cdot )$表示条件数。

应用分析：

1. 扰动右端项 ( \Delta b ) 的影响：
   对于线性系统 $A(x+\Delta x)=b+\Delta b$，当 $b\ne 0$时，解的相对误差满足
   $$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\le \text{cond}(A)\frac{\Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }$$

2. 扰动矩阵 ( \Delta A ) 的影响：
   对于线性系统 $(A+\Delta A)(x+\Delta x)=b$，当 $b\ne 0$ 时，解的相对误差满足
   $$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x+\Delta x\Vert }\le \text{cond}(A)\frac{\Vert \Delta A\Vert }{\Vert A\Vert }$$

进一步约束条件：
若扰动矩阵满足
$$\Vert \Delta A\Vert <\frac{1}{\Vert A^{-1}\Vert }$$
则解的相对误差可进一步表示为
$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\le \text{cond}(A)\frac{\Vert \Delta A\Vert }{\Vert A\Vert }\cdot \frac{1}{1-\Vert A^{-1}\Vert \Vert \Delta A\Vert }$$

3. 性质及几何意义

3.1. 性质

• 下界为1：$\text{Cond}(A)\ge 1$。正交矩阵的谱条件数为1，是“最良态”的矩阵。
• 缩放不变性：$\text{Cond}(kA)=\text{Cond}(A)$，$k\ne 0$。
• 奇异矩阵：条件数为无穷大（最小奇异值为零）。
• 对称正定矩阵：谱条件数为最大与最小特征值之比。

3.2. 几何意义

条件数反映矩阵变换对单位球的拉伸/压缩程度。谱条件数为变换后椭球最长轴与最短轴之比，比值越大，矩阵越“病态”。

4. 计算方法

• 奇异值分解（SVD）：计算最大和最小奇异值的比值（谱条件数）。
• 矩阵逆的范数：如利用1-范数或∞-范数时需显式计算逆矩阵。
• 数值工具：MATLAB中可用 cond(A, p) 计算不同范数下的条件数（$p=1,2,\text{inf},\text{’fro’}$）。

5. 应用与影响

• 线性方程组求解：条件数过大时，解的相对误差被显著放大。误差估计式为：
  $$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }\le \text{Cond}(A)\left(\frac{\Vert \Delta A\Vert }{\Vert A\Vert }+\frac{\Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }\right).$$
• 病态问题处理：需采用正则化（如岭回归）、高精度计算或预处理技术。
• 特征值与奇异值：对称矩阵的谱条件数由特征值决定，非对称矩阵则由奇异值决定。
• 机器学习：权值矩阵条件数过大可能导致训练不稳定，需归一化或正则化。

6. 常见误区

• 行列式无关性：行列式大小与条件数无直接关系（如对角矩阵可具大行列式但良态）。
• 特征值与条件数：非对称矩阵的特征值可能为复数，条件数仅由奇异值决定。

7. 经典例子

• 希尔伯特矩阵：随阶数增长迅速病态，如5阶条件数已超 $10^5$。
• 对角矩阵：$\text{diag}(1,ϵ)$ 的条件数为 $1/ϵ$，$ϵ\to 0$ 时病态。

8. 条件数估计

• Hager-Higham算法：估计1-范数条件数。
• 迭代法：近似最大/最小奇异值以评估谱条件数。

总结

矩阵条件数是数值分析中的核心概念，直接影响算法稳定性与精度。理解其定义、计算方法和应用场景，有助于在科学计算与工程问题中避免数值不稳定，提升解的质量。

https://www.phys.uconn.edu/~rozman/Courses/m3511_18s/downloads/condnumber.pdf