最近终于彻底搞懂了Evidential Deep Learning，之前有很多看不是特别明白的地方，原来是和证据理论教材（是的，不只是国内老师写的，和国外的老师写的教材出入也比较大）的说法有很多不一样，所以特地写了这一篇来做一下笔记。

证据理论做模式识别的话第一件事是构建辨识框架（FoD）及其幂集，第二件事是写基本概率指派，基本概率指派就是一个函数，名为BPA或mass函数。ENN这里构建FoD及其幂集和证据理论的做法是一样的，但是注意ENN所构建的mass函数是由这样的二元组构成的：
$$<\mathbf{b},u>:\sum _{i=1}^K{b}_i+u=1$$
其中 b = { b 1 , . . . , b K } \mathbf{b}=\{b_1,...,b_K\} b={b1​,...,bK​}是$K$类目标的belief，$u$是uncertainty。需要注意的是如果按照我们国内证据理论的教材的话，其实$\mathbf{b}$和$u$都是belief，只不过$\mathbf{b}$是赋予给单子集的belief，$u$是赋予给FoD的belief（然后呢，赋予给FoD的belief的语义是“我只知道待测样本在这些目标之间，但是具体是哪一个我不知道”的belief，这确实是一种uncertainty，但这只是证据理论所建模的uncertainty的一种），从国内证据理论教材的角度来讲，ENN还需要对介于单子集和FoD之间的那一部分假设赋予belief，但是ENN选择了直接赋为0的操作，这种操作是可以的，但是也应该要说明一下的，文章的话是直接把这块省略了。

第二个就是NN的输出是$e_i$，然后有了$e_i$那么上面的$b_i=e_i/S$，$S=({\sum }_{i=1}^K{e}_i)+K$就可以算了，文章里面把这个$e_i$叫证据evidence，但是我觉得这么叫其实是有误导作用的。正常来讲，证据理论里面的一条证据evidence，也可以叫一个证据体a body of evidence，其实是说一个基本概率指派函数，也就是一个mass函数，然后全体mass函数的集合构成了全体证据。

另外知乎上还有人问这个图咋来的。配套的文字是在我们的第一组评估中，我们使用相同的LeNet架构在MNIST训练集上训练模型，并在包含字母（而非数字）的notMNIST数据集上进行测试。因此，我们期望得到最大熵（即不确定性）的预测。在图3的左面板中，我们展示了所有使用MNIST数据集训练的模型在可能熵范围[0, log(10)]内的经验累积分布函数（CDF）。图中越接近右下角（即熵值越大）的曲线越理想，这表明所有预测都具有最大熵[24]。显然，我们模型的不确定性估计明显优于基线方法。

MNIST就是手写数据集，一共有10个类，所以范围是[0,log10]。我们知道证据理论里面只知道证据是没法解读的，必须把证据里面的$<\mathbf{b},u>$转译成概率分布才可以。一般来说，证据理论的话最经典的会用Pignistic Transformation完成这个任务，但是这篇论文呢没用，它直接用$p_i={\alpha }_i/S$，${\alpha }_i=e_i+1$这么做的。有了$p_i$，不就有了NN预测的概率了嘛，然后就可以算熵了。这篇基本可以肯定用的是Shannon 熵，而不是证据理论里面的那些熵。就是不知道为什么，ENN的结果里不确定性都这么大。像作者所说的“图中越接近右下角（即熵值越大）的曲线越理想”更是让人觉得费解。。