一、Phong模型数学原理

1.1 光照叠加公式

$$L=k_a{I}_a+k_d{I}_d\max (0,\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})+k_s{I}_s\max (0,\mathbf{r}\cdot \mathbf{v}{)}^{\alpha }$$

• ​符号说明：
  • $k_a,k_d,k_s$：材质的环境/漫反射/高光系数（标量）
  • $I_a,I_d,I_s$：光源的环境/漫反射/高光强度（三通道向量或标量）
  • $\mathbf{n}$：表面单位法线向量
  • $\mathbf{l}$：单位光照方向向量（从表面指向光源）
  • $\mathbf{v}$：单位视线方向向量（从表面指向观察点）
  • $\mathbf{r}$：反射方向单位向量
  • $\alpha$：高光锐度系数（值越大高光越集中）

1.2 核心分量数学推导

1.2.1 环境光（Ambient）

$$L_a=k_a\cdot I_a$$

• ​特性：均匀照亮场景，与几何关系和光源方向无关
• ​缺陷：易导致画面“过平”，需结合其他分量使用

1.2.2 漫反射（Lambert’s Cosine Law）

$$L_d=k_d\cdot I_d\cdot \max (0,\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})$$

• ​几何解释：
  • $\mathbf{n}\cdot \mathbf{l}=\cos \theta$，其中 $\theta$ 为入射角
  • $\max (0,\cdot )$ 确保背面无光照贡献
• ​能量守恒：入射角越大，单位面积接收的光能越少

1.2.3 高光反射（Phong Specular）

$$L_s=k_s\cdot I_s\cdot \max (0,\mathbf{v}\cdot \mathbf{r}{)}^{\alpha }$$

• ​反射向量计算：
  $$\mathbf{r}=2(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})\mathbf{n}-\mathbf{l}$$
• ​Blinn-Phong优化：
  • 半角向量 $\mathbf{h}=\frac{\mathbf{l}+\mathbf{v}}{\Vert \mathbf{l}+\mathbf{v}\Vert }$
  • 高光项改写为 $(\mathbf{n}\cdot \mathbf{h}{)}^{\alpha }$，计算效率更高

1.3 坐标系变换与关键推导

1.3.1 反射向量 $\mathbf{r}$ 的严格推导

设入射方向 $\mathbf{l}$ 为指向表面的单位向量，法线 $\mathbf{n}$ 为单位向量：

1. 将 $\mathbf{l}$ 分解为法线分量和切平面分量：
   $$\mathbf{l}=(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})\mathbf{n}+{\mathbf{l}}_{\perp }$$
2. 反射方向 $\mathbf{r}$ 的法线分量反向，切平面分量不变：
   $$\mathbf{r}=-(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})\mathbf{n}+{\mathbf{l}}_{\perp }=\mathbf{l}-2(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})\mathbf{n}$$

1.3.2 法线矩阵 $\mathbf{N}=({\mathbf{M}}^{-1}{)}^T$ 的证明

设模型变换矩阵为 $\mathbf{M}$，切线向量 $\mathbf{t}$ 变换后为 $\mathbf{Mt}$，法线 $\mathbf{n}$ 变换后为 $\mathbf{Nn}$。需满足：
$$(\mathbf{Nn})\cdot (\mathbf{Mt})=0$$
展开得：
$${\mathbf{n}}^T{\mathbf{N}}^T\mathbf{Mt}=0$$
因原始法线与切线正交（${\mathbf{n}}^T\mathbf{t}=0$），需有：
$${\mathbf{N}}^T\mathbf{M}=\mathbf{I}⟹\mathbf{N}=({\mathbf{M}}^{-1}{)}^T$$

1.3.3 视线方向 $\mathbf{v}$ 的计算

在视图坐标系中，设表面点坐标为 $\mathbf{p}$，则：
$$\mathbf{v}=-\frac{\mathbf{p}}{\Vert \mathbf{p}\Vert }$$