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文章目录

1 多元引入
2 矢量化
- 2.1 示例
- 2.2 非矢量化实现
- 2.3 矢量化实现
- 2.4 应用
3 特征缩放
- 3.1 举例
- 3.2 必要性
- 3.3 方法
- - 3.3.1 最大最小值缩放（Min-Max Scaling）
  - 3.3.2 均值归一化（Mean Normalization）
  - 3.3.3 Z 分数归一化（Z-Score Normalization）
- 3.4 小结
4 梯度下降与学习率
- 4.1 梯度下降
- 4.2 学习率
5 特征工程
- 5.1 示例
- 5.2 创建特征
6 多项式回归

1 多元引入

在原始的线性回归模型中，我们只有一个特征 $x$ （例如房屋的大小），并预测目标变量 $y$ （例如房屋的价格）。模型的形式为：
$f_{w,b}(x)=wx+b$
然而，在实际应用中，我们通常有多个特征来预测目标变量。例如，

房屋大小
卧室数量
楼层数量
房屋的使用年限
等

这些额外的特征可以提供更多的信息，帮助我们更准确地预测价格。

为了处理多个特征，引入以下符号：

$X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , $X_4$ 分别表示四个特征（例如房屋大小、卧室数量、楼层数量、房屋使用年限）。
$X_j$ 表示第 $j$ 个特征，其中 $j$ 从 1 到 4。
$n$ 表示特征的总数，在这个例子中 $n = 4$ 。
$X^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练示例的特征向量，例如 $X^{(2)} = [1416, 3, 2, 40]$ 。
$X_j^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练示例的第 $j$ 个特征的值，例如 $X_3^{(2)}=2$ （表示第二个训练示例的楼层数量）。

此时，线性回归模型的形式变为：
$f_{w,b}(X)=w_1X_1+w_2X_2+w_3X_3+w_4X_4+b$
例如，一个可能的房价预测模型可能是：
$f_{w,b}(X)=0.1X_1+4X_2+10X_3-2X_4+80$

$b = 80$ 表示房屋的基本价格为 80,000 美元（假设没有大小、卧室、楼层和年龄）。
$w 1 = 0.1$ 表示每增加一平方英尺，价格增加 100 美元。
$w 2 = 4$ 表示每增加一个卧室，价格增加 4,000 美元。
$w 3 = 10$ 表示每增加一层，价格增加 10,000 美元。
$w 4 = - 2$ 表示每增加一年房屋使用年限，价格减少 2,000 美元。

为了简化表示，我们可以将参数 $w$ 和特征 $X$ 表示为向量：
$\vec{w}=[w_1,w_2,\cdots,w_n]\\ \vec{X}=[X_1,X_2,\cdots,X_n]$
因此，模型可表示为：
$f_{w,b}(X)=\vec{w}\cdot\vec{X}+b$
这里的点积是两个向量的对应元素相乘后求和的结果：
$\vec{w}\cdot\vec{X}=w_1X_1+w_2X_2+\cdots+w_nX_n$

2 矢量化

矢量化是一种将操作应用于整个向量或矩阵的技术，而不是逐个元素进行处理。在机器学习中，矢量化可以极大地提高代码的效率，尤其是在处理大规模数据集时。

矢量化不仅可以缩短代码，还能显著提高算法的运行效率。通过编写矢量化代码，您可以利用现代数值线性代数库（如 NumPy）以及 GPU（图形处理单元）硬件，从而加速计算过程。

2.1 示例

假设我们有一个线性回归模型，参数为 $w$ 和 $b$ ，其中 $w$ 是一个包含三个数字的向量，特征向量 $x$ 也包含三个数字。这里 $n = 3$ 。

import numpy as npw = np.array([1.0, 2.5, -3.3])  # 参数向量
x = np.array([10, 20, 30])  # 特征向量
b = 4  # 偏置项

在 Python 中，数组的索引从 0 开始，因此：

$w [0]$ 对应 $w_1$
$w [1]$ 对应 $w_2$
$w [2]$ 对应 $w_3$

2.2 非矢量化实现

方法 1：逐个元素计算

f = w[0] * x[0] + w[1] * x[1] + w[2] * x[2] + b

这种方法在 $n$ 较小时可行，但当 $n$ 很大时（例如 100 或 100,000），代码会变得冗长且效率低下。

方法 2：使用 for 循环

f = 0
for j in range(3):f += w[j] * x[j]
f += b

虽然这种方法比逐个元素计算更简洁，但仍然没有利用矢量化，效率不高。

这种实现方式会顺序执行计算，即先计算索引 0 的值，然后是索引 1，索引 2。这种方式效率较低，尤其是在 $n$ 很大时。

2.3 矢量化实现

使用 NumPy 的 dot 函数，可以将模型的计算简化为一行代码：

f = np.dot(w, x) + b

np.dot(w, x) 计算向量 $w$ 和 $x$ 的点积。
点积的定义为： $\vec{w}\cdot\vec{x}=w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n$ 。

矢量化的优势

代码更简洁

矢量化将复杂的计算简化为一行代码，使代码更易读、更易维护。
运行效率更高

矢量化利用现代计算机的并行计算能力，尤其是在使用 GPU 时，可以显著加速计算过程。

底层原理

NumPy 的 dot 函数能够在计算机中使用并行硬件（如 CPU 或 GPU），从而比 for 循环或逐个元素计算更高效。
当 $n$ 很大时，矢量化实现的效率优势尤为明显。

2.4 应用

假设我们有一个多元线性回归模型，包含 16 个特征和 16 个参数 $w_1$ 到 $w_{16}$ 。我们需要更新这些参数，公式为：
$w_j=w_j-\alpha\cdot d_j$
其中 $α$ 是学习率， $d _ j$ 是导数项。

非矢量化实现

for j in range(16):w[j] = w[j] - 0.1 * d[j]

这种实现方式会逐个更新每个参数，效率较低。

矢量化实现

w = w - 0.1 * d

在矢量化实现中，计算机可以同时更新所有 16 个参数，利用并行硬件高效完成计算。

3 特征缩放

3.1 举例

假设我们有两个特征：

$x_ 1$ ：房屋的大小（范围：300 到 2000 平方英尺）
$ x_2$：卧室的数量（范围：0 到 5）

我们使用这两个特征来预测房屋的价格。假设一个房屋的面积为 2000 平方英尺，有 5 间卧室，价格为 500,000 美元。

参数示例 1
- $w_1=50, w_2=0.1, b =50$
- 预测价格：50×2000+0.1×5+50=100,000+0.5+50=100,050.5 千美元
- 这个预测与实际价格 500,000 美元相差甚远。
参数示例 2
- $w _1=0.1, w_2=50, b =50$
- 预测价格：0.1×2000+50×5+50=200+250+50=500 千美元
- 这个预测与实际价格 500,000 美元一致。

结论

当特征的值范围较大时（如房屋大小），对应的参数 $w_1$ 应该较小。
当特征的值范围较小时（如卧室数量），对应的参数 $w_2$ 应该较大。

3.2 必要性

如果特征的值范围差异很大，梯度下降可能会在等高线图中来回弹跳，导致收敛速度变慢。例如：

$x_1$ 的范围较大，导致 $w_1$ 的微小变化对成本函数 $J$ 的影响较大。
$x_2$ 的范围较小，导致 $w_2$ 的较大变化对成本函数 $J$ 的影响较小。

这种情况下，等高线图会呈现高瘦的椭圆形，梯度下降需要更长时间才能找到全局最小值。

特征缩放通过将不同特征的值范围调整到相似的水平，使等高线图更接近圆形，从而优化梯度下降的路径。具体来说：

将 $x_1$ 和 $x_2$ 的值范围都调整到 0 到 1 之间。
这样，梯度下降可以更直接地找到全局最小值。

3.3 方法

3.3.1 最大最小值缩放（Min-Max Scaling）

将特征值缩放到 $[0, 1]$ 区间，公式为：
$x_{\mathrm{scaled}}=\frac{x-x_{\min}}{x_{\max}-x_{\min}}$

特征 $x_1$ 的范围为 300 到 2000。

$x_{1,\mathrm{scaled}}=\displaystyle\frac{x_1-300}{2000-300}$ 。
特征 $x_2$ 的范围为 0 到 5：

$x_{2,\mathrm{scaled}}=\displaystyle\frac{x_2}{5}$ 。

3.3.2 均值归一化（Mean Normalization）

将特征值调整到以 0 为中心，公式为：
$x_{\mathrm{scaled}}=\frac{x-\mu}{x_{\max}-x_{\min}}$

特征 $x_1$ 的均值为 600： $x_{1,\mathrm{scaled}}=\displaystyle\frac{x_1-600}{2000-300}$ 。
缩放后的范围为 -0.18 到 0.82。
特征 $x_2$ 的均值为 2.3： $x_{2,\mathrm{scaled}}=\displaystyle\frac{x_2-2.3}{5-0}$ 。
缩放后的范围为 -0.46 到 0.54。

3.3.3 Z 分数归一化（Z-Score Normalization）

将特征值调整到均值为 0，标准差为 1，公式为：
$x_{\mathrm{scaled}}=\frac{x-\mu}{\sigma}$

特征 $x_1$ 的均值为 600，标准差为 450： $x_{1,\mathrm{scaled}}=\displaystyle\frac{x_1-600}{450}$ 。
缩放后的范围为 -0.67 到 3.1。
特征 $x_2$ 的均值为 2.3，标准差为 1.4： $x_{2,\mathrm{scaled}}=\displaystyle\frac{x_2-2.3}{1.4}$ 。
缩放后的范围为 -1.6 到 1.9。

3.4 小结

目标范围

通常将特征值调整到 -1 到 1 之间，但 -3 到 3 或 -0.3 到 0.3 也是可接受的。

特殊情况

如果特征值范围非常大（如 -100 到 100），建议进行缩放。
如果特征值范围非常小（如 -0.001 到 0.001），也可以考虑缩放。
如果特征值范围适中（如 0 到 3 或 -2 到 0.5），不缩放通常也没有问题。

4 梯度下降与学习率

4.1 梯度下降

梯度下降的目标是通过迭代更新参数 $w$ 和 $b$ ，以最小化成本函数 $J$ 。其更新规则为：
$\left\{ \begin{aligned} & w=w-\alpha\frac{\partial J}{\partial w} \\ & b=b-\alpha\frac{\partial J}{\partial b} \end{aligned} \right.$
其中， $α$ 是学习率。

判断梯度下降是否收敛的方法

绘制学习曲线
- 学习曲线：在每次梯度下降迭代后，计算并绘制成本函数 $J$ 的值。横轴是迭代次数，纵轴是成本 $J$ 。
- 正常情况：如果梯度下降正常运行，成本 $J$ 应该在每次迭代后逐渐减小。
- 异常情况：如果 $J$ 在某次迭代后增加，可能意味着学习率 $α$ 过大，或者代码中存在错误。
- 收敛判断：当学习曲线趋于平稳（即 $J$ 不再显著下降）时，可以认为梯度下降已经收敛。
示例：
- 在 100 次迭代后， $J$ 的值为某个点。
- 在 200 次迭代后， $J$ 的值进一步减小。
- 在 300 次迭代后， $J$ 的值趋于平稳，表明梯度下降已收敛。
自动收敛测试
- 定义：设置一个阈值 $ϵ$ （例如 0.001），如果成本 $J$ 在一次迭代中减少的幅度小于 $ϵ$ ，则认为梯度下降已收敛。
- 优点：自动化判断，无需手动绘制学习曲线。
- 缺点：选择合适的阈值 $ϵ$ 可能比较困难。

不同应用程序中，梯度下降收敛所需的迭代次数可能差异很大。某些模型可能在 30 次迭代后收敛，而其他模型可能需要 1,000 或 100,000 次迭代。

很难提前预测梯度下降需要多少次迭代才能收敛，因此绘制学习曲线是一种有效的方法。

4.2 学习率

选择合适的学习率 $α$ 是优化梯度下降算法的关键。如果学习率太小，梯度下降会收敛得很慢；如果学习率太大，梯度下降可能无法收敛，甚至发散。在本视频中，我们将探讨如何为模型选择一个合适的学习率。

学习率太小：梯度下降收敛速度很慢，需要大量迭代才能达到最小值。
学习率太大：梯度下降可能无法收敛，甚至导致成本函数 $J$ 在每次迭代后增加。

示例

如果学习率太大，更新步骤可能会“跳过”最小值，导致成本函数 $J$ 在每次迭代后波动或增加。
如果学习率太小，更新步骤会非常小，导致收敛速度缓慢。

选择学习率的策略

尝试一系列值

从较小的学习率开始，逐步增加，观察成本 $J$ 的变化。
- 例如，尝试 $α = 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1$ 等。
- 对于每个 $α$ ，运行少量迭代，绘制成本 $J$ 随迭代次数的变化。
选择合适的学习率
- 选择使成本 $J$ 快速且持续下降的最大可能学习率。
- 避免选择过大的学习率，以免导致发散。