二维前缀和

我们先前已经了解了前缀和思想，二维前缀和感觉上就是一维前缀和的进阶，下面 ，我们剖析一下两种前缀和。

一维前缀和

一维前缀和的核心就是这两个公式，二维前缀和也差不多的嘞

下面我们来推理一下二维前缀和

已知：前缀和就是前几项相加的值，那么二维前缀和就相当一个矩阵，在此基础上进行操作

二维前缀和

首先我们的二维前缀和像一维前缀和一样，先求出perfix数组，通过我们给出的arr数组来得出perfix
数组。
一维的好理解，那么二维呢？话不多说，上图！
以这个三行四列的矩阵为例：

我们先来手动的算一算它的前缀和

OK，手搓完成，现在我们来推一推二维前缀和的公式

例如，现在我们以perfix[2][2]来举例子

也就是这个6是怎么来的，上面刚算过，当然是1+1+2+2 来的，也可以看成是 1+3+2 来的。

说白了，也就是这个最初的数组所画的相加，然后再加上arr[2][2]呗，那这个画的该怎么算呢？
当然是利用前缀和来算，根据手动模拟可知 perfix[1][2]=arr[1][1]+arr[1][2]=3,perfix[2][1]=arr[1][1]+perfix[2][1]=2。注意我们算了两次arr[1][1]也就是共同的部分，共同的部分就是perfix[i-1][j-1]，perfix[1][1],所以我们要记得再加上一次，最后加上arr[2][2]就结束了。
整理一下，就得出：perfix[i][j]=perfix[i-1][j]+perfix[i][j-1]+perfix[i-1][j-1]+arr[i][j];

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
using ll = long long;
ll arr[N][N], perfix[N][N];
int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);int n, m;cin >> n >> m ;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){cin >> arr[i][j];}}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){perfix[i][j] = perfix[i - 1][j] + perfix[i][j - 1] - perfix[i - 1][j - 1] + arr[i][j];}}cout << "---------------------------------------------------------" << '\n';for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){cout << perfix[i][j] << " ";}cout << '\n';}return 0;
}

结果：

跟我们模拟的一模一样，即公式正确。
算出了前缀和，现在我们该询问了，最常见的就是给定两个坐标，来算这个坐标圈起来的值的和，如下图：

我们该如何得到呢？
直接用全部的和减去红色的，再减去绿色的最后加上绿色和红色共同的，就完成了这个区域的计算
公式:perfix[x2][y2]-perfix[x1-1][y2]-perfix[x2][y1-1]+perfix[x1-1][y1-1];
代码：（q代表询问次数）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
using ll = long long;
ll arr[N][N], perfix[N][N];
int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);int n, m,q;cin >> n >> m >> q;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){cin >> arr[i][j];}}for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){perfix[i][j] =perfix[i - 1][j] +perfix[i][j - 1] -perfix[i - 1][j - 1] + arr[i][j];}}while (q--){int x1, x2, y1, y2;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;cout <<perfix[x2][y2] -perfix[x1 - 1][y2] -perfix[x2][y1 - 1] +perfix[x1 - 1][y1 - 1] << '\n';}return 0;
}

文章的最后，给大家解释一下（注意我们算了两次arr[1][1]也就是共同的部分，共同的部分就是perfix[i-1][j-1]）中为什么共同的部分就是perfix[i-1]j-1[]
例如：

这里，我们需要算 perfix[3][4],根据上面的公式，就是perfix[3-1][4]+perfix[3][4-1]=>perfix[2][4]-perfix[3][3]=20+18=38，减去的共同部分就是 1+2+3+1+2+3=12，正好就是perfix[3-1][4-1]=>perfix[2][3]=12，38-12+4(arr[3][4])=30(perfix[i][j])；得证！！！！！！