1 线性回归基础
1.1 什么是线性
例如：汽车每小时60KM，3小时可以行使多长距离？已知汽车的速度，则汽车的行使距离只与时间唯一相关。在二元的直角坐标系中，描出这一关系的图是一条直线，所以称为线性关系。
线性特点是一个事物唯一由另一个事物决定。
1.2 什么是回归
那么，这个回归究竟是什么意思呢？其实回归算法是相对分类算法而言的，与我们想要预测的目标变量y的值类型有关。如果目标变量y是分类型变量，如预测用户的性别（男、女），预测月季花的颜色（红、白、黄……），预测是否患有肺癌（是、否），那我们就需要用分类算法去拟合训练数据并做出预测；如果y是连续型变量，如预测用户的收入（4千，2万，10万……），预测员工的通勤距离（500m，1km，2万里……），预测患肺癌的概率（1%，50%，99%……），我们则需要用回归模型。
有时分类问题也可以转化为回归问题，例如刚刚举例的肺癌预测，我们可以用回归模型先预测出患肺癌的概率，然后再给定一个阈值，例如50%，概率值在50%以下的人划为没有肺癌，50%以上则认为患有肺癌。这种分类型问题的回归算法预测，最常用的就是逻辑回归，后面我们会讲到。
2 一元线性回归
线性回归可以说是用法非常简单、用处非常广泛、含义也非常容易理解的一类算法，作为机器学习的入门算法非常合适。我们上中学的时候，都学过二元一次方程，我们将y作为因变量，x作为自变量，得到方程：
y=β0+β1x
当给定参数β0和β1的时候，画在坐标图内是一条直线（这就是“线性”的含义）。当我们只用一个x来预测y，就是一元线性回归，也就是在找一个直线来拟合数据。比如，我有一组数据画出来的散点图，横坐标代表广告投入金额，纵坐标代表销售量，线性回归就是要找一条直线，并且让这条直线尽可能地拟合图中的数据点。
这里我们得到的拟合方程是y = 0.0512x + 7.1884，此时当我们获得一个新的广告投入金额后，我们就可以用这个方程预测出大概的销售量。
数学理论的世界是精确的，譬如你代入x=0就能得到唯一的 y^ ，y^=7.1884（y上面加一个小帽子hat，表示这个y^不是我们真实观测到的，而是估计值）。但现实世界中的数据就像这个散点图，我们只能尽可能地在杂乱中寻找规律。用数学的模型去拟合现实的数据，这就是统计。统计不像数学那么精确，统计的世界不是非黑即白的，它有“灰色地带”，但是统计会将理论与实际间的差别表示出来，也就是“误差”。因此，统计世界中的公式会有一个小尾巴 μ ，用来代表误差，即：
y=β0+β1x+μ
3.损失函数
那既然是用直线拟合散点，为什么最终得到的直线是y = 0.0512x + 7.1884，而不是下图中的y = 0.0624x + 5呢？这两条线看起来都可以拟合这些数据啊？毕竟数据不是真的落在一条直线上，而是分布在直线周围，所以我们要找到一个评判标准，用于评价哪条直线才是最“合适”的。
我们先从残差说起。残差说白了就是真实值和预测值间的差值（也可以理解为差距、距离），用公式表示是：
e=y−y^
对于某个广告投入 xi ，我们有对应的实际销售量 yi ，和预测出来的销售量yi^（音：yihat）（通过将xi代入公式y=β0+β1x计算得到），计算 ei=yi−y^i 的值，再将其平方（为了消除负号），对于我们数据中的每个点如此计算一遍，再将所有的 ei2相加，就能量化出拟合的直线和实际之间的误差。用公式表示就是：
Q=∑1n(yi−y^i)2=∑1n(yi−(β^0+β^1xi))2
这个公式是残差平方和，即SSE（Sum of Squares for Error），在机器学习中它是回归问题中最常用的损失函数。
现在我们知道了损失函数是衡量回归模型误差的函数，也就是我们要的“直线”的评价标准。这个函数的值越小，说明直线越能拟合我们的数据。如果还是觉得难理解，我下面就举个具体的例子。
假设我们有一组样本，建立了一个线性回归模型f(x)，
- 样本A：公司投入了x=1000元做广告，销售量为y=60，f(x=1000)算出来是50，有-10的偏差。
- 样本B：x=2000，销售量为y=95，f(x=2000)=100，偏差为5。
- 样本C：x=3000，销售量为y=150，f(x=2000)=150，偏差为0哦，没有偏差
要计算A、B、C的整体偏差，因为有正有负，所以做个平方，都弄成正的，然后再相加，得到总偏差，也就是平方损失，是125。
4 最小二乘法与梯度下降法
4.1 最小二乘法
我们不禁会问，这个β0和β1的具体值究竟是怎么算出来的呢？我们知道，两点确定一线，有两组x，y的值，就能算出来β0和β1。但是现在我们有很多点，且并不正好落在一条直线上，这么多点每两点都能确定一条直线，这到底要怎么确定选哪条直线呢？
当给出两条确定的线，如y = 0.0512x + 7.1884，y = 0.0624x + 5时，我们知道怎么评价这两个中哪一个更好，即用损失函数评价。那么我们试试倒推一下？
给定一组样本观测值xi，yi（i=1,2,…n），要求回归函数尽可能拟合这组值。普通最小二乘法给出的判断标准是：残差平方和的值达到最小。我们再来看一下残差平方和的公式：
Q=∑1n(yi−y^i)2=∑1n(yi−(β^0+β^1xi))2
这个公式是一个二次方程，我们知道一元二次方程差不多长下图这样：
上面公式中 β^0 和 β^1 未知，有两个未知参数的二次方程，画出来是一个三维空间中的图像，类似下面：
还记得微积分知识的话，就知道导数为0时，Q取最小值，因此我们分别对β^0和β^1求偏导并令其为0：
∂Q∂β0=2∑1n(yi−β0^−β1^xi)=0
∂Q∂β1=2∑1n(yi−β0^−β1^xi)xi=0
xi，yi（i=1,2,…n）都是已知的，全部代入上面两个式子，就可求得β^0和β^1的值啦。这就是最小二乘法，“二乘”是平方的意思。
线性回归是对一个或多个自变量之间关系进行建模的方法。以上举的例子是一维的例子（x只有一个），如果有两个特征，就是二元线性回归，要拟合的就是二维空间中的一个平面。如果有多个特征，那就是多元线性回归：
y=β0+β1x1+β2x2+⋯+βpxp
最后再提醒一点，做线性回归，不要忘了前提假设是y和x呈线性关系，如果两者不是线性关系，就要选用其他的模型啦。
4.2 梯度下降法
梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程，如下图所示函数看似为一片山林，红色的是山林的高点，蓝色的为山林的低点，蓝色的颜色越深，地理位置越低，则图中有一个低点，一个最低点。
假设这样一个场景：一个人被困在山上（图中红圈的位置），需要从山上下来(找到山的最低点，也就是山谷)，但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的方向走，然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。
假设这座山最陡峭的地方是无法通过肉眼立马观察出来的，而是需要一个复杂的工具来测量，同时，这个人此时正好拥有测量出最陡峭方向的工具。所以，此人每走一段距离，都需要一段时间来测量所在位置最陡峭的方向，这是比较耗时的。那么为了在太阳下山之前到达山底，就要尽可能的减少测量方向的次数。这是一个两难的选择，如果测量的频繁，可以保证下山的方向是绝对正确的，但又非常耗时，如果测量的过少，又有偏离轨道的风险。所以需要找到一个合适的测量方向的频率（多久测量一次），来确保下山的方向不错误，同时又不至于耗时太多，在算法中我们成为步长。
按照梯度下降算法的思想，它将按如下操作达到最低点：
- 明确自己现在所处的位置
- 找到相对于该位置而言下降最快的方向
- 沿着第二步找到的方向走一小步，到达一个新的位置，此时的位置肯定比原来低
- 回到第一步
- 终止于最低点
按照以上5步，最终达到最低点，这就是梯度下降的完整流程。当然你可能会说，上图不是有不同的路径吗？是的，因为上图并不是标准的凸函数，往往不能找到最小值，只能找到局部极小值。所以你可以用不同的初始位置进行梯度下降，来寻找更小的极小值点。
4.3 总结
最小二乘法和梯度下降法都是经典的学习算法，在给定已知数据的前提下利用求导算出一个模型（函数），使得损失函数值最小，后对给定的新数据进行估算预测。两者的区别：
- 损失函数不同：梯度下降可以选取其它损失函数；而最小二乘法一定是平方损失函数。
- 实现方法不同：最小二乘法是直接求导找出全局最小；而梯度下降是一种迭代法。
- 效果不同：最小二乘法一定是全局最小，但计算繁琐，且复杂情况下未必有解；梯度下降迭代计算简单，但找到的一般是局部最小，只有在目标函数是凸函数时才是全局最小，到最小点附近收敛速度会变慢，且对初始点的选择极为敏感。
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