leetcode108：将有序数组转化为二叉搜索树

给你一个整数数组 nums ，其中元素已经按升序排列，请你将其转换为一棵

平衡

二叉搜索树。

示例 1：

输入：nums = [-10,-3,0,5,9]
输出：[0,-3,9,-10,null,5]
解释：[0,-10,5,null,-3,null,9] 也将被视为正确答案：

示例 2：

输入：nums = [1,3]
输出：[3,1]
解释：[1,null,3] 和 [3,1] 都是高度平衡二叉搜索树。

提示：

1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums 按 严格递增 顺序排列

为了更好地解决这个问题并提供全面的解答，下面我将对任务进行逐步分析，详细解释每个步骤。我们将深入探讨如何将一个升序排列的整数数组转换为平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree, BST）。

问题概述

给定一个升序排列的整数数组 nums，我们需要将其转换为一棵平衡二叉搜索树。平衡二叉搜索树是一棵满足以下条件的二叉树：

每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1（即平衡）。
每个节点的左子树的值小于该节点的值，而右子树的值大于该节点的值。

步骤1：详细定义题目的计算问题性质

我们需要明确题目中的计算问题性质，并分析其中的输入输出条件和潜在的边界条件。

输入

nums：一个整数数组，长度 n 满足 1 <= nums.length <= 10^4。
nums 中的元素按照严格升序排列，即 nums[i] < nums[i+1]。

输出

输出需要返回一棵平衡的二叉搜索树。
树中的节点值应保持与输入数组中的值一致，并且节点顺序必须符合二叉搜索树的性质。

边界条件

当数组长度为1时，输出的树应只有一个节点。
当数组长度为2时，输出的树可以有两个节点（左子树或右子树）。
数组的长度最大为10,000，意味着需要设计一个时间复杂度为O(n)的算法。

步骤2：分解题目并给出详细的解决思路

我们可以通过以下步骤来解决问题：

分析算法思路

这道题本质上要求我们在升序数组上构建一棵平衡的二叉搜索树。为了保持平衡，可以选择将数组的中间元素作为树的根节点。具体步骤如下：

递归构建树：从数组中选择中间元素作为根节点。然后递归地将左半部分数组（中间元素左侧）构建为左子树，右半部分数组（中间元素右侧）构建为右子树。

这意味着我们可以通过递归来分治问题，逐步构建出平衡二叉搜索树。
递归函数设计：我们可以定义一个递归函数，接受一个数组的子区间（由 left 和 right 索引表示），每次选择中间元素作为根节点，并继续递归地构建左右子树。

算法设计

递归步骤：假设当前子数组为 nums[left...right]，我们选择 mid = (left + right) // 2 作为根节点。然后递归地对 nums[left...mid-1] 和 nums[mid+1...right] 进行相同的操作，直到区间为空。
时间复杂度：
- 每次递归时，我们从当前区间中选择一个中间元素作为根节点，划分成两个子区间。
- 由于每个元素仅被访问一次，整个树的构建过程的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组的长度。
空间复杂度：
- 递归调用栈的最大深度为树的高度，即 O(log n)，因此空间复杂度为 O(log n)。

实现细节

在 C++ 中，我们需要构建一个树节点类 TreeNode，该类包含值、左子树指针和右子树指针。

步骤3：C++代码实现


// 定义树节点结构
struct TreeNode {int val;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 递归构建平衡二叉搜索树的函数
TreeNode* sortedArrayToBSTHelper(const vector<int>& nums, int left, int right) {if (left > right) {return nullptr;}// 选择中间元素作为根节点int mid = left + (right - left) / 2;TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);// 递归构建左子树和右子树root->left = sortedArrayToBSTHelper(nums, left, mid - 1);root->right = sortedArrayToBSTHelper(nums, mid + 1, right);return root;
}// 主函数：将数组转换为平衡二叉搜索树
TreeNode* sortedArrayToBST(const vector<int>& nums) {return sortedArrayToBSTHelper(nums, 0, nums.size() - 1);
}// 中序遍历函数，用于输出树的结构
void inorderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;inorderTraversal(root->left);cout << root->val << " ";inorderTraversal(root->right);
}