• 「数据结构详解·一」树的初步
• 「数据结构详解·二」二叉树的初步
• 「数据结构详解·三」栈
• 「数据结构详解·四」队列
• 「数据结构详解·五」链表
• 「数据结构详解·六」哈希表
• 「数据结构详解·七」并查集的初步
• 「数据结构详解·八」带权并查集 & 扩展域并查集
• 「数据结构详解·九」图的初步
• 「数据结构详解·十」双端队列 & 单调队列的初步
• 「数据结构详解·十一」单调栈
• 「数据结构详解·十二」有向无环图 & 拓扑排序
• 「数据结构详解·十三」优先队列 & 二叉堆的初步
• 「数据结构详解·十四」对顶堆
• 「数据结构详解·十五」树状数组

0. 前置知识：lowbit 运算

我们定义 $\text{lowbit}(x)$ 为 $x$ 在二进制下最低的 $1$ 所代表的数。
如 $\text{lowbit}(1010_2)=10_2=2_{10},\text{lowbit}(11101_2)=1_2=1_{10}$。

我们要如何计算这个东西呢？
一种通常的计算方法是 $\text{lowbit}(x)=x\&((\sim x)+1)=x\&-x$，手模一下可以得到正确性。

现在你学会了计算 lowbit，下面就可以学习树状数组了！

1. 树状数组的概念

树状数组(Binary Indexed Tree, BIT, Fenwick Tree)，也称作二叉索引树，是一种维护序列信息的数据结构。所维护的序列信息和运算需要满足一定的要求：

• 可差分性：即如果知道了 $a\circ b$ 和 $a$，可以推得 $b$。
• 结合律：即维护的信息所做的运算 $\circ$ 满足 $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$。

在树状数组中，记 ${\text{bit}}_i$ 为区间 $\text{[i-lowbit(i)+1,i]}$ 的信息和。
那么，对于一个序列 $a$ 的前缀信息，都被划分成了 $\text{log}$ 块。
如图所示，底部的点是 $a_i$，上方的点是 ${\text{bit}}_i$。

下面以例题具体解释树状数组的实现。

2. 例题详解

2-1. Luogu P3374 【模板】树状数组 1 / Loj 130 树状数组 1 ：单点修改，区间查询

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;struct fwk{int n,bit[500005];void init(int i){n=i;memset(bit,0,sizeof(bit));}void add(int i,int c){for(;i<=n;i+=i&-i) bit[i]+=c;}int qry(int i){int res=0;for(;i;i-=i&-i) res+=bit[i];return res;}
}bit;int main()
{//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);int n,m;cin>>n>>m;bit.init(n);for(int i=1;i<=n;i++){int x;cin>>x;bit.add(i,x);}while(m--){int op,x,y;cin>>op>>x>>y;if(op==1) bit.add(x,y);else cout<<bit.qry(y)-bit.qry(x-1)<<endl;}return 0;
}

2-2. Luogu P3368 【模板】树状数组 2 / Loj 131 树状数组 2 ：区间修改，单点查询

2-3. Luogu P3372 【模板】线段树 1 / Loj 132 树状数组 3 ：区间修改，区间查询

3. 值域树状数组

也称权值树状数组，就是将值的出现情况展现在 BIT 上，类似于哈希表。

以 Luogu P1908 逆序对 为例。
题目要求 $i<j$ 且 $a_i>a_j$ 的二元组 $(i,j)$ 个数。
考虑一个显然的事情：开一个桶，存放每种数的出现次数 $c_i$。那么当加入 $a_j$ 时，能与 $j$ 配对形成 $(i,j)$ 的 $i$ 的个数就是 $\sum _{k=1}^{i-1}{c}_k$。
而这个东西恰恰是可以使用 BIT 维护的！
代码也很简单，留给读者实现。

4. 二维树状数组

也称 BIT 套 BIT，也就是把 BIT 放到平面上。

以 Loj 133 二维树状数组 1：单点修改，区间查询 为例。
单点修改是同理的，只要在循环外再套一层就可以。

void add(int x,int y,int d)
{for(int i=x;i<=n;i+=i&-i){for(int j=y;j<=m;j+=j&-j){bit[i][j]+=d;}}
}

区间查询同理。但是注意查询的是 $\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y{a}_{i,j}$ 的信息，即二维前缀和，减一减即可。

int qry(int x,int y)
{int res=0;for(int i=x;i;i-=i&-i){for(int j=y;j;j-=j&-j){res+=bit[i][j];}}return res;
}
int qry(int a,int b,int c,int d){return qry(c,d)-qry(c,b-1)-qry(a-1,d)+qry(c-1,d-1);}

而 Loj 134 二维树状数组 2：区间修改，单点查询 做二维差分即可。

但是，Luogu P4514 上帝造题的七分钟 / Loj 135 二维树状数组 3：区间修改，区间查询 就不是这样的了。

和一维的同理，令 $b_{i,j}=a_{i,j}-a_{i-1,j}-a_{i,j-1}+a_{i-1,j-1}$ 后推一个式子：
$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y{a}_{i,j}\\ =& \sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y\sum _{p=1}^i\sum _{q=1}^j{b}_{p,q}\\ =& \sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y(x-i+1)(y-j+1)b_{i,j}\\ =& \sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y((x+1)(y+1)-(x+1)j-(y+1)i+i\cdot j)b_{i,j}\\ =& (x+1)(y+1)\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y{b}_{i,j}-(x+1)\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}j\cdot b_{i,j}-(y+1)\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}i\cdot b_{i,j}+\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}i\cdot j\cdot b_{i,j}\end{array}$$
于是开 $4$ 个 BIT 分别维护 $b_{i,j},i\cdot b_{i,j},j\cdot b_{i,j},i\cdot j\cdot b_{i,j}$ 即可。

5.巩固练习

事实上，BIT 还有很多应用，如维护不可差分的信息等。但这些通常是用其他数据结构平替的，故不在此继续做阐述。感兴趣的读者可以自行了解。

• 上述未给出代码的例题
• Luogu P2068 统计和
• Luogu P2357 守墓人
• Luogu P1774 最接近神的人
• Luogu P1637 三元上升子序列