最小绝对偏差（Least Absolute Deviations，简称LAD）是一种用于回归分析的统计方法，其目标是最小化残差的绝对值之和，而不是最小二乘法中的残差平方和。LAD回归特别适用于存在异常值的数据集，因为它对异常值不那么敏感。

在优化问题中，当目标函数不是处处可微时，可以使用次梯度（Subgradient）法来找到函数的极小值。对于LAD问题，由于绝对值函数在其零点不可微，因此可以使用子梯度法来求解。

以下是使用子梯度法求解LAD问题的步骤：

1. LAD问题的数学表述

给定一个数据集 $(x_i,y_i)$，其中 $i=1,\dots ,n$，LAD回归的目标是最小化以下目标函数：
$$\underset{\beta }{\min }\sum _{i=1}^n|y_i-x_i^T\beta |$$
其中，$\beta$ 是回归系数。

2. 子梯度法的基本步骤

子梯度法是一种迭代优化算法，其基本步骤如下：

初始化

• 选择一个初始解 ${\beta }^{(0)}$。
• 设定一个步长序列 ${\alpha }_k$，通常随着迭代次数增加而递减。
• 设定一个容忍误差 $ϵ$ 来决定何时停止迭代。

迭代过程

• 对于 $k=0,1,2,\dots$，执行以下步骤直到收敛：

  1. 计算目标函数在当前解处的子梯度 $g^{(k)}$。对于LAD问题，子梯度可以表示为：

     $$g^{(k)}=-\sum _{i=1}^n\text{sign}(y_i-x_i^T{\beta }^{(k)})\cdot x_i$$

     其中，$\text{sign}(z)$ 是符号函数，当 $z>0$ 时为 1，当 $z<0$ 时为 -1，当 $z=0$ 时可以取 0 或者 -1 和 1 之间的任意值。

  2. 更新解：

     $${\beta }^{(k+1)}={\beta }^{(k)}-{\alpha }_k\cdot g^{(k)}$$

  3. 检查收敛性：如果 $\Vert g^{(k)}\Vert <ϵ$ 或者目标函数值的下降小于某个阈值，则停止迭代。

步长的选择

• 步长 ${\alpha }_k$ 可以是固定的，也可以是逐步减小的，例如使用线搜索或者回溯线搜索来确定每个迭代步的最佳步长。

3. 收敛性

• 子梯度法并不保证总是收敛到全局最小值，但通常可以收敛到局部最小值。
• 对于LAD问题，由于目标函数是凸的，子梯度法可以保证收敛到全局最小值。

4. 注意事项

• 子梯度法可能比梯度下降法慢，因为它不利用目标函数的局部信息。
• 子梯度法的实现需要仔细选择步长序列，以避免过多的迭代或者发散。

通过以上步骤，可以使用子梯度法求解LAD回归问题。在实际应用中，还有更高效的算法，如内点法（Interior Point Method）和线性规划，这些算法在解决LAD问题时通常比子梯度法更高效。