本题要求我们在三个非空整数集合中各取一个元素构成三元组，使其具有最小的距离。

题目描述

定义三元组 $((a,b,c))$ 的距离 $(D=|a-b|+|b-c|+|c-a|)$。给定三个按升序排序的非空整数集合 $(S_1,S_2,S_3)$，分别存储在数组 $(a,b,c)$ 中。设计一个尽可能高效的算法，计算并输出所有可能三元组中的最小距离。

示例输入：

S1 = {-1, 0, 9}
S2 = {-25, -10, 10, 11}
S3 = {2, 9, 17, 30, 41}

示例输出：

最小距离：2
对应三元组：(9, 10, 9)

解题思路

暴力解法

暴力解法的核心思想是，遍历三个集合中所有可能的三元组 $(a,b,c)$，计算其距离 $D$，并记录其中最小的距离值。具体步骤如下：

1. 利用三重循环，分别遍历数组 $a$、$b$、$c$ 中的每个元素。
2. 对于每个三元组 $((a[i],b[j],c[k]))$，计算其距离 $(D)$。
3. 在所有三元组中找到最小的 $(D)$ 及其对应的三元组。

代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <tuple>
using namespace std;tuple<vector<int>, int> brute_force(vector<int> a, vector<int> b, vector<int> c) {int minValue = INT_MAX;vector<int> ans;for (int ai : a) {for (int bi : b) {for (int ci : c) {int dist = abs(ai - bi) + abs(bi - ci) + abs(ci - ai);if (dist < minValue) {minValue = dist;ans = {ai, bi, ci};}}}}return {ans, minValue};
}int main() {vector<int> a = {-1, 0, 9};vector<int> b = {-25, -10, 10, 11};vector<int> c = {2, 9, 17, 30, 41};auto [result, minDist] = brute_force(a, b, c);cout << "最小距离: " << minDist << endl;cout << "对应三元组: ";for (int val : result) cout << val << " ";cout << endl;return 0;
}

优化解法：双指针法

通过双指针法可以大幅提升效率。由于三个集合都是按升序排列的，我们可以分别在三个集合中使用指针 $(p1,p2,p3)$，从当前最小的数开始移动指针，以期更接近最小距离。具体思路：

1. 初始化三个指针 $(p1,p2,p3)$ 分别指向 $(a,b,c)$ 的开头。
2. 在每次迭代中计算 $(D(a[p1],b[p2],c[p3]))$ 并更新最小值。
3. 在保证升序的前提下，移动当前最小值所在集合的指针。

代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
#include <cmath>
using namespace std;vector<int> find(vector<int> a, vector<int> b, vector<int> c) {int minValue = INT_MAX;vector<int> ans;int q = 0, w = 0, r = 0;while(q < a.size() && w < b.size() && r < c.size()) {int t = abs(a[q] - b[w]) + abs(b[w] - c[r]) + abs(c[r] - a[q]);if (t < minValue) {ans = {a[q], b[w], c[r]};minValue = t;}if(a[q] < b[w] && a[q] <= c[r]) q++;else if(b[w] < c[r] && b[w] <= a[q]) w++;else r++;}return ans;
}

算法复杂度分析

1. 暴力法： 复杂度为 $(O(n^3))$，其中 $(n)$ 为每个集合的元素数。适用于集合元素较少的情况，但当集合规模较大时，性能较差。
2. 双指针法： 复杂度为 $O(n)$。由于每次迭代移动一个指针，整体效率更高。

结论

在元素数较少时，暴力法简单直接；对于较大集合，应优先考虑双指针法来降低时间复杂度。此类算法思路在寻找多集合最小距离问题中广泛适用。