什么是SMO算法

SMO算法（Sequential Minimal Optimization） 是一种用于求解 支持向量机（SVM） 二次规划对偶问题的优化算法。它由 John Platt 在 1998 年提出，目的是快速解决 SVM 的优化问题，特别是当数据集较大时，传统的二次规划方法效率较低，而 SMO 算法通过分解问题，使得计算变得更加高效。

SVM 的二次规划问题回顾

支持向量机的优化问题本质上是一个 凸二次规划问题，其目标是找到最优的超平面，使得样本点的分类间隔最大。具体来说，SVM 的对偶问题形式为：
$\min_{\alpha} \quad \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(x_i, x_j) - \sum_{i=1}^{N} \alpha_i$

$\text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0, \quad 0 \leq \alpha_i \leq C$

其中：

$\alpha_i$ 是拉格朗日乘子。
$y_i$ 是样本点 $x_i$ 的类别标签。
$K(x_i, x_j)$ 是核函数，表示样本之间的相似性。
$C$ 是惩罚参数。

这个问题涉及到对所有 $N$ 个拉格朗日乘子 $\alpha$ 进行优化，传统的优化算法如 内点法 或 QP（Quadratic Programming）方法在处理大规模问题时效率较低。

SMO 算法的基本思想

SMO 算法通过将原始的优化问题分解为多个 子问题 来求解，每次仅优化两个拉格朗日乘子 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ ，其余乘子保持不变。优化两个变量的子问题可以通过简单的解析方法快速求解，从而大大减少了计算的复杂度。

SMO算法的步骤：

选择两个拉格朗日乘子：
SMO算法每次选择两个拉格朗日乘子 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 进行优化。选择这两个乘子的原则是，它们不满足 KKT条件，即当前的解不是最优的。
构建子优化问题：
假设所有其他拉格朗日乘子保持不变，SMO通过优化两个乘子 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 来最小化目标函数。优化问题变成了一个关于 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的二次函数，且由于存在约束 $\sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0$ ，因此这两个变量之间有一个线性关系。
更新两个拉格朗日乘子的值：
SMO 通过解析的方法计算出新的 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 值，并根据边界 $[0, C]$ 进行截断。计算后的两个新的乘子必须满足所有约束条件。
更新偏置项 $b$ ：
每次更新两个拉格朗日乘子后，SMO 需要更新支持向量机中的偏置项 $b$ ，以保证分类超平面保持正确。
迭代重复：
SMO 通过不断重复选择一对拉格朗日乘子进行优化，直到所有的乘子都满足 KKT 条件，即算法收敛。

SMO 算法的核心优化过程

SMO 算法的核心在于，它将每次优化问题简化为一个涉及两个变量的二次规划问题。假设我们要优化 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ ，我们可以通过以下步骤来求解：

计算未约束解：根据优化目标函数，我们可以直接计算出未约束的 $\alpha_2^{\text{new, unc}}$ ，即不考虑任何约束时最优的 $\alpha_2$ 值。

$\alpha_2^{\text{new, unc}} = \alpha_2^{\text{old}} + y_2 \cdot \frac{E_1 - E_2}{K_{11} + K_{22} - 2K_{12}}$

其中 $E_1$ 和 $E_2$ 是预测误差， $K_{11}$ 、 $K_{22}$ 和 $K_{12}$ 是核函数的值。

对 $\alpha_2$ 进行截断：未约束的 $\alpha_2$ 值可能不满足约束 $\leq \alpha_2 \leq C$ ，因此需要将其截断为一个满足约束条件的值。
更新 $\alpha_1$ ：由于 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 之间有线性约束关系，更新 $\alpha_2$ 后可以直接更新 $\alpha_1$ 。
更新偏置项 $b$ ：每次更新 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 后，需要更新偏置项 $b$ ，以保证分类超平面的正确性。