力扣10.18

1463. 摘樱桃 II

给你一个 rows x cols 的矩阵 grid 来表示一块樱桃地。 grid 中每个格子的数字表示你能获得的樱桃数目。

你有两个机器人帮你收集樱桃,机器人 1 从左上角格子 (0,0) 出发,机器人 2 从右上角格子 (0, cols-1) 出发。

请你按照如下规则,返回两个机器人能收集的最多樱桃数目:

  • 从格子 (i,j) 出发,机器人可以移动到格子 (i+1, j-1),(i+1, j) 或者 (i+1, j+1) 。
  • 当一个机器人经过某个格子时,它会把该格子内所有的樱桃都摘走,然后这个位置会变成空格子,即没有樱桃的格子。
  • 当两个机器人同时到达同一个格子时,它们中只有一个可以摘到樱桃。
  • 两个机器人在任意时刻都不能移动到 grid 外面。
  • 两个机器人最后都要到达 grid 最底下一行。

数据范围

  • rows == grid.length
  • cols == grid[i].length
  • 2 <= rows, cols <= 70
  • 0 <= grid[i][j] <= 100

分析

使用记忆化搜索来解决,令dfs(i,j,k)表示机器人1,2分别从(i,j)和(i,k)处开始到最后一行的樱桃数目最大值,容易得到

  • d f s ( i , j , k ) = m a x ( d f s ( i + 1 , j − 1 , k − 1 ) , d f s ( i + 1 , j , k − 1 ) , d f s ( i + 1 , j + 1 , k − 1 ) , . . . . d f s ( i + 1 , j + 1 , k + 1 ) ) dfs(i,j,k)=max(dfs(i+1,j-1,k-1),dfs(i+1,j,k-1),dfs(i+1,j+1,k-1),....dfs(i+1,j+1,k+1)) dfs(i,j,k)=max(dfs(i+1,j1,k1),dfs(i+1,j,k1),dfs(i+1,j+1,k1),....dfs(i+1,j+1,k+1))

代码

class Solution {
public:const static int N = 105;int dp[N][N][N];int n, m;int dfs(int i, int j, int k, vector<vector<int>>& grid) {if(i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= m || k < 0 || k >= m) return 0;if(i == n) return 0;int& t = dp[i][j][k];if(t != -1) return t;int c;if(j == k) c = grid[i][j];else c = grid[i][j] + grid[i][k];t = 0;for(int z1 = -1; z1 <= 1; z1 ++ ) {for(int z2 = -1; z2 <= 1; z2 ++ ) {t = max(t, dfs(i + 1, j + z1, k + z2, grid));}}t += c;return t;}int cherryPickup(vector<vector<int>>& grid) {n = grid.size();m = grid[0].size();memset(dp, -1, sizeof(dp));return dfs(0, 0, m - 1, grid);}
};

3193. 统计逆序对的数目

给你一个整数 n 和一个二维数组 requirements ,其中 requirements[i] = [endi, cnti] 表示这个要求中的末尾下标和 逆序对 的数目。

整数数组 nums 中一个下标对 (i, j) 如果满足以下条件,那么它们被称为一个 逆序对:

  • i < j 且 nums[i] > nums[j]

请你返回 [0, 1, 2, ..., n - 1]
排列perm 的数目,满足对 所有 的 requirements[i] 都有 perm[0..endi] 恰好有 cnti 个逆序对。

由于答案可能会很大,将它对 109 + 7 取余 后返回。

数据范围

  • 2 <= n <= 300
  • 1 <= requirements.length <= n
  • requirements[i] = [endi, cnti]
  • 0 <= endi <= n - 1
  • 0 <= cnti <= 400
  • 输入保证至少有一个 i 满足 endi == n - 1
  • 输入保证所有的 endi 互不相同。

分析

记忆化收缩,令dfs(i,j)表示perm[0]到perm[i]的逆序对数量为j的排列个数,首先对req数组进行预处理,若在i处没有逆序对要求,则将其req设为-1,否则设为对应的值,接下来分两种情况讨论

  • 若i-1处req[i-1]>=0(有要求): d f s ( i , j ) = d f s ( i , j ) + = d f s ( i − 1 , r e q [ i − 1 ] ) dfs(i,j) =dfs(i,j) +=dfs(i-1,req[i-1]) dfs(i,j)=dfs(i,j)+=dfs(i1,req[i1])
  • 若i-1处req[i-1]==-1(无要求): d f s ( i , j ) + = ∑ k = 0 m i n ( i , j ) d f s ( i − 1 , j − k ) , dfs(i,j)+=\sum_{k=0}^{min(i,j)}dfs(i -1,j-k), dfs(i,j)+=k=0min(i,j)dfs(i1,jk),k为因为第i个数增加的逆序对个数
    对于dfs函数,若传入参数一样,则接下来的过程也一样,这就是为什么能用记忆化搜索优化的原理,这样保证所有的状态都只计算一遍
    接下来考虑剪纸
  • 对有要求的情况,
    • 由于前面只有i-1个数,因此若增加第i个数,也只能增加至多i-1个逆序对(第i个数比前面的数都小),若 r e q [ i − 1 ] + i − 1 < j req[i-1]+i-1<j req[i1]+i1<j(此时无论如何都到达不了j个逆序对的状态),此时可以直接返回0
    • j < r e q [ i − 1 ] j<req[i-1] j<req[i1](当前逆序对比前一个状态还少),也是不合法的,返回0
      最后递归边界就是dfs(0,0)=1(0长度0个逆序对的排列个数只有空集)
      代码还附加了递推的写法

代码

typedef long long LL;
class Solution {
public:const static int N = 405, mod = 1e9 + 7;LL dp[N][N]; // 前i个出现j个逆序对int req[N];LL dfs(int x, int cnt) {if(x == 0 && cnt == 0) return  dp[x][cnt] = 1;LL &t = dp[x][cnt];if(t != -1) return t;t = 0;if(x >= 1 && req[x - 1] >= 0) {if(req[x - 1] + x - 1 < cnt || cnt < req[x - 1]) return t = 0;t += dfs(x - 1, req[x - 1]);} else {for(int i = 0; i <= min(x, cnt); i ++ ) {if(x >= 1) t += dfs(x - 1, cnt - i);t %= mod;}   }t %= mod;return t;}LL numberOfPermutations(int n, vector<vector<int>>& requirements) {memset(req, -1, sizeof(req));// memset(dp, -1, sizeof(dp));int maxx = 0;for(auto k : requirements) {req[k[0]] = k[1];maxx = max(maxx, k[1]);}dp[0][0] = 1;for(int i = 1; i < n; i ++ ) {for(int j = 0; j <= maxx; j ++ ) {if(req[i - 1] >= 0) {if(req[i - 1] + i < j || req[i - 1] > j) {dp[i][j] = 0;continue;}dp[i][j] += dp[i - 1][req[i - 1]];dp[i][j] %= mod;} else {for(int k = 0; k <= min(i, j); k ++ ) {dp[i][j] += dp[i - 1][j - k];dp[i][j] %= mod;}}}}return dp[n - 1][maxx];// return dfs(n, maxx);}
};

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