【路径规划】绘制算术和几何布朗运动- 绘制布朗桥、2D 和 3D 布朗运动- 绘制一些随机路径

摘要

本文演示了如何生成和绘制布朗运动、几何布朗运动和布朗桥的随机路径。这些随机路径广泛应用于金融、物理和工程领域，用于模拟随机过程。实验结果包括了多条随机路径的示例，展示了不同类型的布朗运动的特征。

理论

1. 布朗运动 (Brownian Motion)：

布朗运动是描述随机运动的一种数学模型。设为布朗运动，则其满足以下性质：起始于零、具有独立增量、增量为正态分布且均值为零。
公式：，其中为漂移系数，为波动率，为增量。

2. 几何布朗运动 (Geometric Brownian Motion)：

几何布朗运动广泛用于金融建模，特别是股票价格的模拟。它将布朗运动应用于指数模型以保持非负性。
公式：，其中表示资产价格。

3. 布朗桥 (Brownian Bridge)：

布朗桥是一个以给定值开始和结束的布朗运动，通常用于模拟受约束的随机过程。
公式：布朗桥由布朗运动调整形成，以保证在特定时刻达到指定点。

实验结果

下图展示了一些典型的布朗运动路径示例，每条路径代表了不同的随机运动轨迹：

算术布朗运动：多条路径在上下波动，反映了无约束的随机特性。
几何布朗运动：路径的指数性质明显，所有路径均为非负值。
布朗桥：起点和终点被约束，路径在两端逐渐靠近目标点。

部分代码

% 参数设置
T = 1; % 总时间
N = 1000; % 时间步数
dt = T/N; % 每步时间间隔
mu = 0.05; % 漂移系数
sigma = 0.2; % 波动率% 算术布朗运动
t = linspace(0, T, N+1);
BM = cumsum(sigma*sqrt(dt)*randn(10, N), 2);
BM = [zeros(10, 1), BM];% 绘制算术布朗运动
figure;
hold on;
for i = 1:10plot(t, BM(i, :));
end
title('算术布朗运动路径');
xlabel('时间 t');
ylabel('路径值');% 几何布朗运动
GBM = exp((mu - 0.5 * sigma^2) * t + sigma * BM);% 绘制几何布朗运动
figure;
hold on;
for i = 1:10plot(t, GBM(i, :));
end
title('几何布朗运动路径');
xlabel('时间 t');
ylabel('资产价格 S_t');% 布朗桥
BB = BM - (t/T) .* BM(:, end);% 绘制布朗桥
figure;
hold on;
for i = 1:10plot(t, BB(i, :));
end
title('布朗桥路径');
xlabel('时间 t');
ylabel('路径值');

参考文献

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Karatzas, I., & Shreve, S. E. (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer.

Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives. Pearson.

Kloeden, P. E., & Platen, E. (1992). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer.