Python 数学建模——灰色关联度分析

文章目录

- 介绍
- 原理
- 代码实例

介绍

灰色关联度分析，可以反映两个序列 $X (k)$ 和 $Y (k)$ 之间的联系，用 $r$ 表征。然而， $r$ 的绝对大小并没有过多的意义，它的意义只在不同的 $r$ 进行比较时体现。比如 $X (k), Y (k)$ 之间的灰色关联度为 $r_{xy}=0.8$ ， $X (k), Z (k)$ 之间的灰色关联度为 $r_{xz}=0.5$ ，根据 $r_{xy}>r_{xz}$ 判断 $X (k), Y (k)$ 之间的关系相比于 $X (k), Z (k)$ 更为紧密。

在分析两个序列的关联性时，灰色关联度分析用处不大，因为不存在“比较”。此时反倒是可以用 Spearman 或者 Pearson 相关系数去衡量关联性，效果更佳。相比于 Pearson/Spearman 相关系数，灰色关联度分析更像是从折线图的形状上，分析两个变量之间的关联程度。

据此，灰色关联度分析往往规定一个母序列 $Y(k)(k=1,2,\cdots,n)$ ，并且设置 $m$ 个子序列 ${{X}_{i}}(k)(k=1,2,\cdots ,n;i=1,2,\cdots ,m)$ ，并探讨每个子序列与母序列关联的紧密程度，依据是每个子序列与母序列之间的灰色关联度。
你可能会产生疑问，灰色关联度分析能做到的，Spearman 和 Pearson 相关系数都可以做到啊，只需将依据改为每个子序列与母序列之间的 Peason/Spearman 相关系数。然而实际情况是，Peason/Spearman 相关系数的区分性太弱了，我将以一个例子说明 Peason/Spearman 相关系数不合适的原因。

例下表为某地区国内生产总值的统计数据（以百万元计），问该地区从 $2000$ 年到 $2005$ 年之间哪一种产业对 GDP 总量影响最大。

年份	GDP 总量	第一产业	第二产业	第三产业
$2000$	$1988$	$386$	$839$	$763$
$2001$	$2061$	$408$	$846$	$808$
$2002$	$2335$	$422$	$960$	$953$
$2003$	$2750$	$482$	$1258$	$1010$
$2004$	$3356$	$511$	$1577$	$1268$
$2005$	$3806$	$561$	$1893$	$1352$

点击下载路径，Ctrl+S下载上表所示灰色关联度.csv表单。

我们可以很方便地画出折线图，先观察一下趋势，发现都是逐年增加的：

视图计算 Peason/Spearman 相关系数，结果是：

国内生产总值分别对三种产业的 Pearson 相关系数是：[0.98845683 0.99738217 0.98954068]
国内生产总值分别对三种产业的 Spearman 相关系数是：[1. 1. 1. ]

显然 Peason/Spearman 相关系数分辨能力太弱，所以不适合运用。

原理

在使用灰色关联度重新解决上面这个问题之前，先介绍一下灰色关联度的计算方法。在确定母序列 $Y(k)(k=1,2,\cdots,n)$ 和子序列 ${{X}_{i}}(k)(k=1,2,\cdots ,n;i=1,2,\cdots ,m)$ 后，还需要进行以下几步：

无量纲化处理。从下面两种不同的方式中选择一种即可：
- 初值化处理： ${{x}_{i}}(k)=\cfrac{{{x}_{i}}(k)}{{{x}_{i}}(1)}\quad(k=1,2,\cdots ,n;i=1,2,\cdots ,m)$
- 均值化处理： ${{x}_{i}}(k)=\cfrac{{{x}_{i}}(k)}{\overline{x}_i}\quad(k=1,2,\cdots ,n;i=1,2,\cdots ,m)$
计算关联系数：
${{ξ}_{i}}(k)=\frac{{\min_{i}{\min_{k}|}}y(k)-{{x}_{i}}(k)|+\rho {\max_{i}{\max_{k}|}}y(k)-{{x}_{i}}(k)|}{|y(k)-{{x}_{i}}(k)|+\rho {\max_{i}{\max_{k}|}}y(k)-{{x}_{i}}(k)|}$ 其中分辨系数 $\rho\in(0,+\infty)$ ，值越小分辨能力越大，一般在 $(0, 1)$ 内取值。当 $\rho<0.5463$ 时，分辨能力最好。一般取 $\rho=0.5$ 。
计算关联度。因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示： ${{r}_{i}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{{{ξ}_{i}}}(k)\quad i=1,2,\cdots ,m$
关联度排序。根据 $r_i$ 进行排序，就可以得到母序列和各个子序列的关联程度大小。

代码实例

介绍完灰色关联度 $r$ 的计算方法后，我们就用灰色关联度重新解决上面的例子，数据存储在灰色关联度.csv文件中。这里取 $\rho=0.5$ ，并且无量纲化处理时使用均值化处理。

import pandas as pdx = pd.read_csv('灰色关联度.csv')
x = x.iloc[:, 1:].T# 1、数据均值化处理
x_mean = x.mean(axis=1)
for i in range(x.index.size):x.iloc[i, :] = x.iloc[i, :] / x_mean[i]# 2、提取参考队列和比较队列
ck = x.iloc[0, :]
cp = x.iloc[1:, :]# 比较队列与参考队列相减
t = pd.DataFrame()
for j in range(cp.index.size):temp = pd.Series(cp.iloc[j, :] - ck)t = t.append(temp, ignore_index=True)# 求最大差和最小差
mmax = t.abs().max().max()
mmin = t.abs().min().min()
rho = 0.5
# 3、求关联系数
ksi = ((mmin + rho * mmax) / (abs(t) + rho * mmax))# 4、求关联度
r = ksi.sum(axis=1) / ksi.columns.size# 5、关联度排序，得到结果r3>r2>r1
result = r.sort_values(ascending=False)print(result)
"""
关联度
r3 = 0.757300 （第三季度）
r2 = 0.624296 （第二季度）
r1 = 0.508432 （第一季度）
"""