前言

二叉树我们在c语言数据结构阶段已经学习过, 这里map和set的特性需要先铺垫二叉搜索树, 而二叉搜索树也是一种树形解构, 二叉搜索树的特性了解, 有助于更好的理解map和set的特性, 本文将借助二叉搜索树, 对二叉树部分进行收尾与总结.

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正文开始

1. 二叉搜索树

1.1 概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

1.2 二叉搜索树操作

首先我们需要先定义节点的结构, 并实现它的构造函数.

	template<class K>struct BSTNode{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}};

1.2.1 查找与插入

查找

对于这样一棵二叉搜索树, 我们要对其节点的值进行查找.

1. 从根开始比较, 如果比跟大则往右边找, 如果比根小则往左边查找.
2. 最多查找高度次, 走到空时, 还没找到则这个值不存在

编写代码:

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else{return true;}}return false;
}

插入

1. 如果树为空, 则直接新增节点, 赋值给root指针.
2. 如果树不为空, 则按照二叉搜索树的性质进行查找插入位置, 如果找到为空节点则插入新节点.

一般情况, 如果有相同的值, 我们是不进行插入的, 也就是二叉搜索树具有去重的性质.

编写代码:

		bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}

1.2.2 删除

对于删除操作, 那么我们首先就需要查找此元素在不在二叉搜索树中, 如果不存在则返回, 否则的话我们就进行该节点的删除, 要删除的节点可以分为以下三种情况

1. 要删除的节点没有孩子, 比如这里的1和7, 我们直接删除即可.

2. 要删除的节点有一个孩子, 一个左孩子或者一个右孩子.删除6时只有一个右孩子, 我们可以让父节点直接指向6的右孩子就可以了; 删除14, 我们也可以直接让父节点直接指向14的左孩子就可以了. 但是我们需要记录到父节点, 再判断删除的是父节点的左孩子还是右孩子.

这里其实第一种情况和第二种情况可以归为一种情况, 对于第一种情况, 父节点指向了空.

3. 删除的节点有两个孩子. 比如要删除的节点为3和8,这个时候我们需要找一个节点来替代, 那么满足替代的节点要么为左子树最大或者右子树最小, 我们这里选择右子树最小的节点进行替代删除, 先交换值, 然后删除替代删除的节点. 删除8,替代节点为13, 删除3替代节点为4

如果没有找到替代节点, 也就是左子树的根节点为右子树最小节点, 这种情况我们需要另外分析

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//寻找值为key的节点while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//如果cur没有孩子或者只有一个孩子//假设只有一个右孩子,无孩子同样适用if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}//反之假设只有一个左孩子,无孩子同样适用else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;else parent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}//2个孩子的情况//这里使用cur的右子树的最小节点作为替代节点else{//这里父节点不能设为nullptr,可能右子树无左孩子Node* RMinParent = cur;Node* RMin = cur->_right;while (RMin->_left){RMinParent = RMin;RMin = RMin->_left;}//换值替代cur->_key = RMin->_key;//重复一个节点或者无节点的方法//此时RMin无左孩子if (RMinParent->_left == RMin)RMinParent->_left = RMin->_right;else//cur此时为右子树最小节点为cur->rightRMinParent->_right = RMin->_right;delete RMin;return true;}}}return false;
}

1.2.3 二叉搜索树实现代码

对于只有key的实现

#pragma once#include<iostream>
using namespace std;template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool insert(const K& key){//情况一:树为空if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}//情况二:只能插入到叶子节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (key > parent->_key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}bool Find(const K* key){Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//寻找值为key的节点while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//如果cur没有孩子或者只有一个孩子//假设只有一个右孩子,无孩子同样适用if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}//反之假设只有一个左孩子,无孩子同样适用else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;else parent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}//2个孩子的情况//这里使用cur的右子树的最小节点作为替代节点else{//这里父节点不能设为nullptr,可能右子树无左孩子Node* RMinParent = cur;Node* RMin = cur->_right;while (RMin->_left){RMinParent = RMin;RMin = RMin->_left;}//换值替代cur->_key = RMin->_key;//重复一个节点或者无节点的方法//此时RMin无左孩子if (RMinParent->_left == RMin)RMinParent->_left = RMin->_right;else//cur此时为右子树最小节点为cur->rightRMinParent->_right = RMin->_right;delete RMin;return true;}}}return false;}//进行一层的封装,_root为私有成员void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

具有key, value的二叉搜索树实现

namespace KeyValue
{template<class K,class V>struct BSTNode{K _key;V _value;BSTNode<K,V>* _left;BSTNode<K,V>* _right;BSTNode(const K& key,const V& value):_key(key),_value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K,class V>class BSTree{typedef BSTNode<K,V> Node;public:BSTree() = default;BSTree(const BSTree<K, V>& t){_root = Copy(t._root);}~BSTree(){Destory(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const K& key,const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key,value);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key,value);if (parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;else parent->_right = cur->_right;delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}if (parent->left == cur)parent->_left = cur->_left;else parent->_right = cur->_left;delete cur;return true;}else{//找右子树最左节点替代Node* MinLParent = cur;Node* Min = cur->_right;while (Min->_left){MinLParent = Min;Min = Min->_left;}cur->_key = Min->_key;if (MinLParent->_left == Min)MinLParent->_left = Min->_right;elseMinLParent->_right = Min->_right;delete Min;return true;}}}return false;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return cur;}void InOrder(){_InOrder(_root);}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":"<<root->_value<<endl;_InOrder(root->_right);}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}void Destory(Node* root){if (root == nullptr)return;Destory(root->_left);Destory(root->_right);delete root;}Node* _root = nullptr;};
}

2. 树形结构的关联式容器

关联式容器

在初阶阶段，我们已经接触过STL中的部分容器，比如：vector、list、deque、forward_list(C++11)等，这些容器统称为序列式容器，因为其底层为线性序列的数据结构，里面存储的是元素本身。

关联式容器也是用来存储数据的，与序列式容器不同的是，其里面存储的是<key, value>结构的键值对，在数据检索时比序列式容器效率更高。

键值对

**用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息。**比如：现在要建立一个英汉互译的字典，那该字典中必然有英文单词与其对应的中文含义，而且，英文单词与其中文含义是一一对应的关系，即通过该应该单词，在词典中就可以找到与其对应的中文含义。

SGI-STL中关于键值对的定义：

template <class T1, class T2>
struct pair 
{
typedef T1 first_type;
typedef T2 second_type;
T1 first;
T2 second;
pair(): first(T1()), second(T2())
{}pair(const T1& a, const T2& b): first(a), second(b)
{}
};

根据应用场景的不桶，STL总共实现了两种不同结构的管理式容器：树型结构与哈希结构。树型结构的关联式容器主要有四种：map、set、multimap、multiset。这四种容器的共同点是：使用平衡搜索树(即红黑树)作为其底层结果，容器中的元素是一个有序的序列。下面一依次介绍每一个容器。

2.1 set的介绍与使用

T: set中存放元素的类型，实际在底层存储<value, value>的键值对。
Compare：set中元素默认按照小于来比较
Alloc：set中元素空间的管理方式，使用STL提供的空间配置器管理

1. set是按照一定次序存储元素的容器
2. 在set中，元素的value也标识它(value就是key，类型为T)，并且每个value必须是唯一的。set中的元素不能在容器中修改(元素总是const)，但是可以从容器中插入或删除它们。
3. 在内部，set中的元素总是按照其内部比较对象(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
4. set容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_set容器慢，但它们允许根据顺序对子集进行直接迭代。
5. set在底层是用二叉搜索树(红黑树)实现的。

注意：

1. 与map/multimap不同，map/multimap中存储的是真正的键值对<key, value>，set中只放value，但在底层实际存放的是由<value, value>构成的键值对。

2. set中插入元素时，只需要插入value即可，不需要构造键值对。

3. set中的元素不可以重复(因此可以使用set进行去重)。

4. 使用set的迭代器遍历set中的元素，可以得到有序序列

5. set中的元素默认按照小于来比较

6. set中查找某个元素，时间复杂度为：$lo{g}_{2}n$

7. set中的元素不允许修改(为什么?)

8. set中的底层使用二叉搜索树(红黑树)来实现。

2.1.1 set的构造函数

2.1.2 set的迭代器

2.1.3 set的容量

2.1.4 set的修改操作

使用举例:

#include<set>
int main()
{//set<int> st;//pair<set<int>::iterator, int> p = st.insert(1);//cout << p.second << endl;set<int> s;s.insert(5);s.insert(2);s.insert(7);s.insert(4);s.insert(9);s.insert(9);s.insert(9);s.insert(1);s.insert(5);s.insert(9);set<int>::iterator it = s.begin();while (it != s.end()){cout << *it << " ";++it;}cout << endl;s.erase(s.begin());//删除最小值int x;cin >> x;int num = s.erase(x);//返回删除元素个数if (num == 0){cout << x << "不存在" << endl;}auto pos = s.find(x);if (pos != s.end()){s.erase(pos);}else{cout << x << "不存在" << endl;}for (auto e : s){cout << e << " ";}cout << endl;auto pos1 = find(s.begin(), s.end(), x);  // O(N)auto pos2 = s.find(x);                    // O(logN)cin >> x;if (s.count(x))                           // O(log(N)){cout << x << "在！" << endl;}else{cout << x << "不存在！" << endl;}return 0;
}int main()
{std::set<int> myset;std::set<int>::iterator itlow, itup;for (int i = 1; i < 10; i++) myset.insert(i * 10); // 10 20 30 40 50 60 70 80 90itlow = myset.lower_bound(30);//返回一个小于或者等于30的值位置itup = myset.upper_bound(60);//指向一个大于60的值位置//[30,60)myset.erase(itlow, itup);for (std::set<int>::iterator it = myset.begin(); it != myset.end(); ++it)std::cout << ' ' << *it;std::cout << '\n';return 0;
}

2.2 map的介绍与使用

key: 键值对中key的类型
T： 键值对中value的类型
Compare: 比较器的类型，map中的元素是按照key来比较的，缺省情况下按照小于来比较，一般情况下(内置类型元素)该参数不需要传递，如果无法比较时(自定义类型)，需要用户自己显式传递比较规则(一般情况下按照函数指针或者仿函数来传递)
Alloc：通过空间配置器来申请底层空间，不需要用户传递，除非用户不想使用标准库提供的空间配置器

注意：在使用map时，需要包含头文件。

2.2.1 map的构造函数

2.2.2 map的迭代器

2.2.3 map的容量与元素访问

问题：当key不在map中时，通过operator获取对应value时会发生什么问题？

注意：在元素访问时，有一个与operator[]类似的操作at()(该函数不常用)函数，都是通过key找到与key对应的value然后返回其引用，不同的是：当key不存在时，operator[]用默认value与key构造键值对然后插入，返回该默认value，at()函数直接抛异常。

2.2.4 map中元素的修改

使用举例

#include<map>
int main()
{map<string, string> dict;pair<string, string> kv1("left", "左边");dict.insert(kv1);//方式1dict.insert(pair<string, string>("left", "左边"));//方式2匿名函数dict.insert(make_pair("insert", "插入"));//方式3pair<string, string> kv2 = { "string","字符串" };//多参数的隐式类型转换使用{}dict.insert({ "string","字符串" });//方式4//map<string, string> dict = { {"left","左边"},{"right","右边"},{"insert","插入"} };//列表构造map<string, string>::iterator it = dict.begin();while (it != dict.end()){cout << (*it).first << (*it).second << endl;cout << it->first << it->second << endl;++it;}for (const auto& e : dict){cout << e.first << ":" << e.second << endl;}cout << endl;return 0;
}

2.3 multiset的介绍

1. multiset是按照特定顺序存储元素的容器，其中元素是可以重复的。
2. 在multiset中，元素的value也会识别它(因为multiset中本身存储的就是<value,value>组成的键值对，因此value本身就是key，key就是value，类型为T). multiset元素的值不能在容器中进行修改(因为元素总是const的)，但可以从容器中插入或删除。
3. 在内部，multiset中的元素总是按照其内部比较规则(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
4. multiset容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multiset容器慢，但当使用迭代器遍历时会得到一个有序序列。
5. multiset底层结构为二叉搜索树(红黑树)。

注意：
6. multiset中在底层中存储的是<value, value>的键值对
7. multiset的插入接口中只需要插入即可
8. 与set的区别是，multiset中的元素可以重复，set是中value是唯一的
9. 使用迭代器对multiset中的元素进行遍历，可以得到有序的序列
10. multiset中的元素不能修改
11. 在multiset中找某个元素，时间复杂度为$O(lo{g}_{2}N)$
12. multiset的作用：可以对元素进行排序

#include <set>
void TestSet()
{int array[] = { 2, 1, 3, 9, 6, 0, 5, 8, 4, 7 };// 注意：multiset在底层实际存储的是<int, int>的键值对multiset<int> s(array, array + sizeof(array)/sizeof(array[0]));for (auto& e : s)cout << e << " ";cout << endl;return 0;
}

2.4 multimap的介绍

1. Multimaps是关联式容器，它按照特定的顺序，存储由key和value映射成的键值对<key, value>，其中多个键值对之间的key是可以重复的。
2. 在multimap中，通常按照key排序和惟一地标识元素，而映射的value存储与key关联的内容。key和value的类型可能不同，通过multimap内部的成员类value_type组合在一起，value_type是组合key和value的键值对:typedef pair<const Key, T> value_type;
3. 在内部，multimap中的元素总是通过其内部比较对象，按照指定的特定严格弱排序标准对key进行排序的。
4. multimap通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multimap容器慢，但是使用迭代器直接遍历multimap中的元素可以得到关于key有序的序列。
5. multimap在底层用二叉搜索树(红黑树)来实现。

注意：multimap和map的唯一不同就是：map中的key是唯一的，而multimap中key是可以重复的。

multimap中的接口可以参考map，功能都是类似的。
注意：

1. multimap中的key是可以重复的。
2. multimap中的元素默认将key按照小于来比较
3. multimap中没有重载operator[]操作(同学们可思考下为什么?)。
4. 使用时与map包含的头文件相同：

---

完