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第一个问题：在螺距为55cm的等距螺线顺时针盘入的情况下，舞龙队在每秒的时间点（从0s到300s）内，给出龙头、龙身和龙尾各前把手及龙尾后把手中心的位置和速度，并将结果保存到文件result1.xlsx中。同时在论文中列出特定时间点（0s、60s、120s、180s、240s、300s）时，各个把手的位置和速度。

要解决“板凳龙”舞龙队的盘入模型，我们需要建立一系列数学关系，具体涵盖了位置、速度、螺线参数等。以下是对问题1的数学建模步骤：

基本参数

• 板凳数量：223节（1节龙头，221节龙身，1节龙尾）
• 板凳长度：龙头341 cm，龙身和龙尾各220 cm
• 板凳宽度：30 cm
• 把手孔径：5.5 cm，距离板头27.5 cm
• 螺距：55 cm
• 龙头速度：1 m/s（即100 cm/s）

螺线的参数化

等距螺线可以用以下参数方程表示：

$$x(t)=a\cdot t\cdot \cos (k\cdot t)$$
$$y(t)=a\cdot t\cdot \sin (k\cdot t)$$
其中：

• $a$为螺线的尺度因子，等于螺距，其中$a=55/2$ cm。
• $k$为螺线的频率，与螺距关系：$k=\frac{2\pi }{H}$，$H$为螺距（单位：米）。因此，$k=\frac{2\pi }{0.55}\approx 11.4285$ rad/m。

时间的设置

时间从0 s到300 s，间隔为1秒。设定瞬时速度始终保持在1 m/s，推算出对每一节的影响。

位置计算

• 龙头把手前的位置（$t=0$时）：

  • $$x_{\text{头}}(0)=x(16)=55\times 16\times \cos (k\times 16)/100\text{m}$$
  • $$y_{\text{头}}(0)=y(16)=55\times 16\times \sin (k\times 16)/100\text{m}$$

• 随着时间推移，我们依次计算每节龙身的前把手和后把手的位置，并考虑每个节之间的相对位置。

![在这里插入图片描述](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/fc8ca9e7f3ce40659921c102280814a9.png#pic_center

速度计算

速度计算可以用数值方法估算：
$$v_x(t)=\frac{dx}{dt},v_y(t)=\frac{dy}{dt}$$
我们可以用间隔 $\Delta t$ 的微分来估算速度。

结果存放

在计算出所有节龙的把手中心位置和速度后，将结果写入result1.xlsx格式的文件中。

import pandas as pd
import numpy as np# 参数初始化
螺距 = 0.55
时间段 = 300
板凳数量 = 223
长度_龙头 = 3.41  # m
长度_龙身_龙尾 = 2.2  # m
速度 = 1  # m/s
k = (2 * np.pi) / 螺距# 初始化结果数组
位置结果 = np.zeros((板凳数量 + 1, 时间段 + 1, 2))  # [节数, 时间, [x, y]]
速度结果 = np.zeros((板凳数量 + 1, 时间段 + 1))  # [节数, 时间, 速度]# 计算每个时间点
for t in range(时间段 + 1):当前时间 = t螺线半径 = 当前时间 * 速度 / (2 * np.pi * 螺距)for i in range(板凳数量):当前位置_x = 螺线半径 * np.cos(k * (当前时间 + i/2))当前位置_y = 螺线半径 * np.sin(k * (当前时间 + i/2))位置结果[i, t] = [当前位置_x, 当前位置_y]if t > 0:速度x = (位置结果[i, t][0] - 位置结果[i, t-1][0])速度y = (位置结果[i, t][1] - 位置结果[i, t-1][1])速度结果[i, t] = np.sqrt(速度x**2 + скоростьy**2)# 写入文件 result1

为了响应第一个问题，我们需要建立一个数学模型来描述舞龙队沿着等距螺线（发散形状）运动的过程。基于题目中的信息，考虑以下步骤。

问题 1 的数学模型建立

1. 等距螺线的表示：
   设等距螺线的参数化方程为：
   $$\begin{array}{rl}x(t)& =a\cdot t\cdot \cos \left(\frac{t}{b}\right)\\ y(t)& =a\cdot t\cdot \sin \left(\frac{t}{b}\right)\end{array}$$
   其中，$ a $ 是一个比例系数（取决于螺距），$b=\frac{55}{2\pi }$是线圈周期（与螺距有关）。

2. 舞龙队的布局：
   舞龙队由223节板凳组成，龙头以$ t=0 $时刻在螺线第16圈A点处。每个把手与前一把手的相对位置是固定的，最长为220 cm，且在螺线的路径上。

3. 速度的计算：
   龙头前把手的行进速度为1 m/s。可以计算出板凳的其余部分相应的速度。由于每节板凳的动作必须保持顺序，因此将相邻两节板凳置于相同的螺线上，速度仅依赖于龙头速度。

4. 位置与速度更新：

   • 时间更新：每秒更新$ t $的值。
   • 计算每个把手的位置：如第 $ i $ 节板凳的前把手位置为
     $$\begin{array}{rl}{x}_i(t)& =x(t-\Delta t\cdot (i-1))\\ y_i(t)& =y(t-\Delta t\cdot (i-1))\end{array}$$
     其中，$\Delta t$为单位时间，$i$为板凳的编号（1到223）。

5. 编程实现：
   在Python或Matlab等编程环境中，循环进行上述计算，并将计算结果存入文件result1.xlsx中。

具体步骤实现

1. 确定参数：
   $$a=1(调整为单位实际数值)$$

2. 计算位置和速度：

import numpy as np
import pandas as pd# 常量
num_sections = 223
螺距 = 0.55  # 螺距(m)
v_head = 1.0  # 龙头前把手速度(m/s)
total_time = 300  # 总时间(s)
delta_t = 1  # 时间步长(s)# 计算每个时间点
timesteps = np.arange(0, total_time + delta_t, delta_t)
positions = np.zeros((num_sections, len(timesteps), 2))  # 存储位置
velocities = np.zeros_like(positions)  # 存储速度for idx, t in enumerate(timesteps):# 计算当前时间点的龙头位置theta = t / (螺距 / (2 * np.pi))  # 当前螺线旋转角度radius = (螺距 / (2 * np.pi)) * theta  # 当前距离positions[0, idx] = [radius * np.cos(theta), radius * np.sin(theta)]# 计算相应的其他节板凳位置for i in range(1, num_sections):positions[i, idx] = [positions[i - 1, idx, 0] + 2.2 * np.cos(theta),positions[i - 1, idx, 1] + 2.2 * np.sin(theta)]# 速度计算if idx > 0:for i in range(num_sections):velocities[i, idx] = (positions[i, idx] - positions[i, idx - 1]) / delta_t# 保存结果到Excel
df_positions = pd.DataFrame(positions[:, :, 0], index=[f'第{i+1}节龙身' for i in range(num_sections)], columns=timesteps)
df_velocities = pd.DataFrame(velocities[:, :,```python
import numpy as np
import pandas as pd# Constants
initial_speed = 1.0  # m/s
spiral_p = 0.55  #螺距，单位：m
number_of_segments = 223  # 板凳节数
head_length = 3.41  # 龙头长度，单位：m
body_length = 2.20  # 龙身/龙尾长度，单位：m
board_width = 0.30  # 板宽，单位：m
孔径 = 0.055  # 孔直径，单位：m
孔中心距离板头 = 0.275  # 孔中心相对于板头的距离，单位：m# Time settings
time_steps = 301  # 从0s到300s
time_interval = np.arange(time_steps)# Initialize arrays for positions and velocities
positions = {"龙头": np.zeros((time_steps, 2)),  # [x, y]"第1节龙身": np.zeros((time_steps, 2)),"第51节龙身": np.zeros((time_steps, 2)),"第101节龙身": np.zeros((time_steps, 2)),"第151节龙身": np.zeros((time_steps, 2)),"第201节龙身": np.zeros((time_steps, 2)),"龙尾(后)": np.zeros((time_steps, 2)),
}velocities = {"龙头": np.zeros(time_steps),"第1节龙身": np.zeros(time_steps),"第51节龙身": np.zeros(time_steps),"第101节龙身": np.zeros(time_steps),"第151节龙身": np.zeros(time_steps),"第201节龙身": np.zeros(time_steps),"龙尾(后)": np.zeros(time_steps),
}# Initial position of the 龙头
initial_angle = 16 * 2 * np.pi * spiral_p  # Initial position angle (radians)
positions["龙头"][0] = [spiral_p * initial_angle, 0]# Loop through each second to calculate positions and velocities
for t in range(1, time_steps):angle_increment = initial_speed / spiral_p  # how much the angle increases each secondtotal_angle = angle_increment * t  # Total angle after t seconds# Update 龙头 positionpositions["龙头"][t] = [spiral_p * total_angle * np.cos(total_angle), spiral_p * total_angle * np.sin(total_angle)]# Calculate positions for 龙身 and 龙尾for i in range(1, number_of_segments):if i == 1:positions["第1节龙身"][t] = positions["龙头"][t] + [head_length + body_length/2, 0] elif i == 201:positions["龙尾(后)"][t] = positions["第201节龙身"][t-1] + [body_length/2, 0] else:positions[f"第{i}节龙身"][t] = positions[f"第{i-1}节龙身"][t] + [body_length, 0]# Calculate velocitiesvelocities["龙头"][t] = initial_speed  #龙头速度始终保持1 m/sfor i in range(1, number_of_segments):velocities[f"第{i}节龙身"][t] = velocities["龙头"][t]  #同样速度假设# Prepare the results for saving
result_positions = pd.DataFrame({"时间": time_interval,"龙头_x(m)": positions["龙头"][:, 0],"龙头_y(m)": positions["龙头"][:, 1],"第1节龙身_x(m)": positions["第1节龙身"][:, 0],"第1节龙身_y(m)": positions["第1节龙身"][:, 1],"第51节龙身_x(m)": positions["第51节龙身"][:, 0],"第51节龙身_y(m)": positions["第51节龙身"][:, 1],"第101节龙身_x(m)": positions["第101节龙身"][:, 0],"第101节龙身_y(m)": positions["第101节龙身"][:, 1]

第二个问题：

“确定舞龙队盘入的终止时刻，使得板凳之间不发生碰撞（即舞龙队不能再继续盘入的时间），并给出此时舞龙队的位置和速度。”

具体要求包括：

1. 输出空气舞龙队盘入的终止时刻。
2. 提供此时舞龙队的位置和速度。
3. 将结果存放到文件 result2.xlsx 中。
4. 在论文中给出此时龙头前把手、龙头后面第 1、51、101、151、201 条龙身前把手和龙尾后把手的位置和速度。
   为了解决问题2，涉及到确定舞龙队盘入的终止时刻，使得板凳之间不发生碰撞，我们需要进行以下步骤的分析和建模：

1. 确定板凳的运动规律

根据问题的描述，在设定的螺线轨迹下，舞龙队的移动规律如下：

• 螺线方程
  螺线的极坐标方程为：
  $$r=k\theta$$
  其中 $ r $ 是螺线的半径，$ \theta $ 是角度，$ k $ 是螺距。

  该题目中，螺距为55cm（即0.55m），设龙头的起点为 $ \theta_0 $（螺线的16圈的某一点），那么随时间 $ t $ 的变化，龙头在螺线上的位置可以描述为：
  $$r(t)=r({\theta }_0)+\frac{1}{100}t$$
  (这里假设舞龙队每秒前进1m，考虑到螺旋的增量。)

2. 计算每秒的板凳位置

• 板凳的排布
  根据题目描述，龙头在前，后面221节为龙身，最后1节为龙尾。每节板凳的中心坐标可以表示为：
  • 第 $ i $ 节板凳（$ i = 1, 2, \ldots, 223 $）的前把手位置为：
    $$(x_i,y_i)=(r(t)\cos ({\theta }_i),r(t)\sin ({\theta }_i))$$
  • 其中, $ \theta_i $ 会根据板凳的排列计算。

3. 确定碰撞条件

• 碰撞检测
  对于每两节板凳 $ i $ 和 $ j $（其中 $ i < j $），它们不会发生碰撞的条件为：
  $$d_{ij}>W$$
  其中 $ d_{ij} $ 表示第i节和第j节之间的距离，W为板凳的宽度（30cm，当$ \text{W} = 0.3 , \text{m} $）。计算距离：
  $$d_{ij}=\sqrt{(x_j-x_i{)}^2+(y_j-y_i{)}^2}$$

4. 迭代计算终止时刻

在每一秒（从0s到最大可用时间300s）时，计算板凳的位置和检验是否移到接近碰撞。具体步骤如下：

• 在每个时间点 $ t $:

1. 计算龙头及所有后节板凳的位置。
2. 对每对相邻的两个板凳检查条件 $ d_{ij} > 0.3 $ 是否成立。
3. 如果在某一秒 $ t = T $ 时不成立，则停止，并将此时刻 $ T $ 记为碰撞终止时。

5. 输出结果

一旦无法再继续达到的状态:

• 输出这一刻的具体位置坐标及速度。
• 将这些数据结构化，并保存到 result2.xlsx 中。

结果的示例输出格式

• 表1：此时舞龙队的位置
• 表2: 此时舞龙队的速度

在实现中，我们使用Excel库（如openpyxl或pandas）进行数据写入。然后可以在论文中列出相应的结果格式。

通过以上步骤和方法，我们可以构建出一个合理的数学模型来解决该问题。
要确定舞龙队盘入的终止时刻，使得板凳之间不发生碰撞，我们需要分析舞龙队的运动轨迹和板凳的几何特性。以下是详细的推导过程。

1. 参数定义

• 板凳数量：223节
• 每节板凳的长度：
  • 第一节（龙头）的长度：$ L_1 = 341 , \text{cm} = 3.41 , \text{m} $
  • 其他每节（龙身和龙尾）的长度：$ L_2 = 220 , \text{cm} = 2.20 , \text{m} $
• 板凳的宽度：$ W = 30 , \text{cm} = 0.30 , \text{m} $
• 孔径：$ d = 5.5 , \text{cm} = 0.055 , \text{m} $
• 板间孔中心距离：$ D = 27.5 , \text{cm} = 0.275 , \text{m} $
• 螺距：$ P = 0.55 , \text{m} $
• 速度：龙头前把手速度保持为 $ v = 1 , \text{m/s} $

2. 螺线方程

舞龙队沿着螺线运动，螺线的参数方程可以表示为：
$$\begin{gathered} x(t)=A(t)\cos (B(t)) \\ y(t)=A(t)\sin (B(t)) \end{gathered}$$
其中：

• $ A(t) = A_0 + \frac{vt}{2\pi} $（A是半径，随时间增长）
• $ B(t) = \frac{vt}{P} $（B是角度，和时间成正比）

3. 板凳位置和速度

对于每节板凳，我们有其前把手和后把手的位置分别由 $ (x_p, y_p) $ 和 $ (x_h, y_h) $ 表示，后者可通过下一个前把手的位置及板凳长度、角度、宽度等计算得到。

由于我们需要保持板凳之间不发生碰撞，而碰撞的条件主要取决于它们前后把手之间的间距：

4. 计算碰撞条件

对于板凳的前把手位置可以用下式计算：
$$\text{Distance}=\sqrt{(x_{p,i}-x_{p,j}{)}^2+(y_{p,i}-y_{p,j}{)}^2}$$
对于两个相邻的把手，碰撞条件可以表示为：
$$\text{Distance}\ge L_{\text{effective}}=\text{Length of the bench}+W+\frac{D}{2}$$

5. 照成的形式

当每隔 $ \Delta t $ 秒，舞龙队位置更新后，如果发现距离小于 $ L_{\text{effective}} $，就意味着板凳之间发生了碰撞，记下此时的时间 $ t_f $ 即为终止时刻。

6. 结果输出

设定一个时间步长，循环计算前把手和后把手的位置，直到碰撞条件不满足为止，并记录下终止的时间和相应的速度与位置。

最终输出

最后，输出按照要求存储在 result2.xlsx 文件中，结果包括：

• 终止时刻 $ t_f $
• 各个把手的位置
• 各个把手的速度

$$\begin{array}{rl}& \text{前把手位置：}\\ & x(t)=A_0(t)\cos \left(\frac{vt}{P}\right)\\ & y(t)=A_0(t)\sin \left(\frac{vt}{P}\right)\\ & \\ & \text{碰撞条件：}\\ & \sqrt{(x_{p,i}-x_{p,j}{)}^2+(y_{p,i}-y_{p,j}{)}^2}\ge L_{\text{effective}}\\ & \\ & L_{\text{effective}}=L+W+\frac{D}{2}\end{array}$$
需要注意，实际应用中可能还需考虑龙身部分各段间
要解决第二个问题，首先需要建立数学模型，以确保舞龙队在盘入时不发生碰撞。在此问题中，我们需要计算每个把手（包括龙头、龙身和龙尾）的位置，然后判断它们之间的距离是否大于或等于一段板凳的长度（220 cm）。

import numpy as np
import pandas as pd# 设置初始参数
num_bench = 223  # 板凳总数
head_length = 341  # 龙头长度 (cm)
body_length = 220  # 龙头身和龙尾长度 (cm)
width = 30  # 板凳宽度 (cm)
hole_diameter = 5.5  # 孔径 (cm)
distance_between_benches = body_length / 100  # 板凳间距离 (m)
initial_speed = 1.0  # 龙头前把手速度 (m/s)
螺距 = 0.55  # 螺线的螺距 (m)
time_limit = 300  # 考察总时间 (s)# 记录时间、位置与速度
time_steps = np.arange(0, time_limit + 1, 1)
positions = np.zeros((len(time_steps), num_bench, 2))  # 位置 (m)
speeds = np.zeros((len(time_steps), num_bench))  # 速度 (m/s)# 初始化龙头的位置
angle = 0
z = 0
positions[0, 0, :] = [0, 0]  # 龙头位置# 计算每个时间点的位置和速度
for t in range(1, len(time_steps)):# 更新角度和z的位置angle += (initial_speed / (螺距 / 2))  # 每秒转过的角度z += initial_speed * 1  # z轴前移的距离# 计算位置for i in range(num_bench):# 计算对应当前角度和z的坐标theta = angle - (i * (body_length / 100) / 螺距)  # 当前把手的角度x = z * np.cos(theta)  # x坐标y = z * np.sin(theta)  # y坐标positions[t, i, :] = [x, y]# 速度更新speeds[t, :] = [initial_speed] * num_bench# 检查碰撞if t > 1:for i in range(num_bench - 1):distance = np.linalg.norm(positions[t, i, :] - positions[t, i + 1, :])if distance < distance_between_benches:end_time = t - 1  # 碰撞发生的时刻breakelse:continuebreak
else:end_time = time_limit  # 没有发生碰撞# 输出结果
final_positions = pd.DataFrame(positions[end_time])
final_speeds = pd.DataFrame(speeds[end_time])# 输出到 Excel
with pd.ExcelWriter('result2.xlsx') as writer:final_positions.to_excel(writer, sheet_name='Position', index=False, header=False)final_speeds.to_excel(writer, sheet_name='Speed', index=False, header=False)# 在论文中输出特定把手的结果
for i in [0, 1, 51, 101, 151, 201]:print(f"Time: {end_time} s - Position of part {i}:", final_positions.iloc[i].values)print(f"Time: {end_time} s - Speed of part {i}:", final_speeds.iloc[i].values)

代码说明

1. 初始化参数：根据题目中的数据设置参数，包括板凳数量、长度、速度等。
2. 位置和速度计算：通过循环生成每一秒的把手位置和速度，并且计算每个把手当前的位置。
3. 碰撞检测：判断当前位置之间的距离，如果不足以保证不碰撞，则记录下碰撞发生前的时间。
4. 结果存储：将结果保存为 Excel 文件，并在控制台打印出特定把手的位置信息和速度。

你需要根据具体情况可能进一步调整该代码，但这个框架能帮助你解决问题二的核心计算任务。
该段文字的第三个问题是：

问题 3：从盘入到盘出，舞龙队将由顺时针盘入调头切换为逆时针盘出，这需要一定的调头空间。若调头空间是以螺线中心为圆心、直径为 9 m 的圆形区域，请确定最小螺距，使得龙头前把手能够沿着相应的螺线盘入到调头空间的边界。
为了确定舞龙队的最小螺距，使得龙头前把手能够沿着相应的螺线盘入到调头空间的边界，我们需要首先理解等距螺线和调头空间的几何特征。

一、模型假设

1. 等距螺线公式：设螺距为 $ p $，螺线的参数方程可以表示为：
   $$\{\begin{array}{l}x(t)=A\cdot e^{bt}\cdot \cos (t)\\ y(t)=A\cdot e^{bt}\cdot \sin (t)\\ z(t)=\frac{p}{2\pi }t\end{array}$$
   这里 $ A $ 为起始半径， $ b $ 为螺线的增长率。

2. 调头空间：调头空间是以螺线中心为圆心、直径为 9 m 的圆形区域，即半径为 4.5 m。

二、螺线与调头空间的边界

为了使龙头前把手在盘入时能够接触到调头空间的边界，我们需要找到龙头前把手的轨迹与半径为 4.5 m 的圆相切的条件。

三、起始条件

通过问题描述，龙头前把手初始位置为：

• 位置 $ (x_0, y_0) $ 处于螺线第16圈，即 $ z = 16 \cdot p $。

在螺旋的每一圈中，螺距 $ p $ 也会增加整体的高度。

四、切点条件

要使得舞龙队可以顺利到达调头空间的边界，螺线在给定的参数范围内（即适度的螺距 $ p $），达到与圆形区域切点的条件可以用距离公式来表达：

• 对于螺线的某一点 $ (x(t), y(t)) $ ，需要满足：
  $$\sqrt{x(t{)}^2+y(t{)}^2}=4.5\text{ m}$$

五、最小螺距的推导

从上一节所用的螺线公式出发，推导出在达到接触的条件下，应该满足的最小条件：

• 将螺丝的增长率设定为：
  $$b=\frac{p}{2\pi }$$

• 将上式代入后，基于 $ z $ 的变化与 $ t $ 我们可以得到：
  $$z(t)=4.5⟹t=\frac{4.5\cdot 2\pi }{p}$$

• 然后我们回到螺线轨迹方程上，设置半径条件下：
  $$A{e}^{bt}\cdot \cos (t)=4.5$$
  并加入上面对 $ p $ 的推导，形成最小螺距约束。

六、结论

经过计算，我们可以表达：
$$p_{min}\ge \frac{2\pi (4.5{)}^2}{A}\text{ (根据参数值的具体设定可得具体数值)}$$

这就为问题提供了能够求解的数学模型，通过设置实际数值和验证边界条件，从而得出最小螺距大小。最终可以将结果反馈给涉及仿真与实际执行的舞龙团队。
要确定最小螺距 $p_{\text{min}}$，使得龙头前把手（即第一节板凳的把手）能够沿着相应的螺线盘入到调头空间的边界，首先需要描述螺线的方程。

1. 螺线方程：

   一般情况下，螺线可以描述为：
   $$r=p\theta$$
   其中 $ r $ 是与旋转轴的距离，$ p $ 是螺距，$ \theta $ 是角度（以弧度为单位）。

   对于本问题，我们需要将螺线的形式转化为直角坐标系中的 $(x,y)$ 表达式：
   $$x=r\cos (\theta )=p\theta \cos (\theta )$$
   $$y=r\sin (\theta )=p\theta \sin (\theta )$$

2. 调头空间的边界:

   调头空间是一个以螺线中心为圆心、直径为9米的圆形区域，其半径 $ R $ 为：
   $$R=\frac{9}{2}=4.5\text{ m}$$

3. 确定最大的 $\theta$ 值:

   龙头前把手沿着螺线盘入至其边界点，因而需要找到 $ \theta $ 的临界值，使得 $r=p\theta =4.5$：
   $$4.5=p\theta ⟹\theta =\frac{4.5}{p}$$

4. 代入螺线方程:

   将上述 $\theta$ 值代入 $(x,y)$ 的方程中，来判断最小螺距 $p_{\text{min}}$:
   $$x=p\left(\frac{4.5}{p}\right)\cos \left(\frac{4.5}{p}\right)=4.5\cos \left(\frac{4.5}{p}\right)$$
   $$y=p\left(\frac{4.5}{p}\right)\sin \left(\frac{4.5}{p}\right)=4.5\sin \left(\frac{4.5}{p}\right)$$

   因为 $x^2+y^2=R^2$，可代入得：
   $$(4.5\cos (\frac{4.5}{p}){)}^2+(4.5\sin (\frac{4.5}{p}){)}^2=(4.5{)}^2$$

   这自然成立，因为这是从单位圆得来的恒等式。因此还需确保能够实现合适的转弯。

5. 转弯条件：

   通过保持同样的旋转角度来实现可以转弯的速度。在此情况下，我们需要确定的是：
   $$v=r\omega$$
   其中 $\omega$ 为角速度，可以通过螺距和速度相结合来实现。

因此，最小螺距 $p_{\text{min}}$ 是基于将 $4.5=p\theta$ 的条件给定，从而使得龙头可以转向调头空间边界的螺距。系统的不碰撞条件将引入约束。

最后总结得出：

最小螺距 $p_{\text{min}}$ 的计算为：
$$p_{\text{min}}=\frac{4.5}{\theta }$$
在进一步的实际应用中，需要具体设定可以使得龙头在调头时顺利进入这个空间的螺距。
为了解决问题3，我们需要根据给定的条件计算最小螺距，使得龙头前把手能够沿着螺线盘入到调头空间的边界。

基本思路

1. 螺线的方程为：
   $$x(t)=a\cdot t\cdot \cos (k\cdot t)$$
   $$y(t)=a\cdot t\cdot \sin (k\cdot t)$$
   其中，$a$ 是螺线的直径，$k$ 与螺距有关，具体设计时需要选择合适的 $k$。

2. 根据题目，调头空间的半径为4.5 m（直径9 m），我们需要找到当螺线的点达到半径为4.5 m的边界时的最小螺距。

3. 设定条件下用循环逐步增大螺距，找到一个能让龙头前把手接触边界的最小螺距。

import numpy as npdef find_min_pitch(target_radius, max_iterations=10000, step=0.01):# 初始化螺距k = 0.01pitch = 0.01a = pitch / (2 * np.pi)  # 设定 a 与螺距的关系found_pitch = Nonefor i in range(max_iterations):# 计算螺线中的点t = np.linspace(0, 100, num=1000)  # 调整t以确保覆盖所需范围x = a * t * np.cos(k * t)y = a * t * np.sin(k * t)# 计算每个点的距离radius = np.sqrt(x**2 + y**2)# 检查是否有点接触到目标半径if np.any(radius >= target_radius):found_pitch = pitchbreak# 增加螺距pitch += stepk = pitch / (2 * np.pi)  # 更新 ka = pitch / (2 * np.pi)  # 更新 areturn found_pitchtarget_radius = 4.5  # 半径是4.5米
min_pitch = find_min_pitch(target_radius)
print(f"最小螺距为: {min_pitch:.4f} m")

代码说明

1. find_min_pitch 函数尝试计算出最小螺距。
2. 初始化设定 k 和 pitch，然后根据设定的步长逐步增加螺距。
3. 计算螺线的 x 和 y 坐标，并检测是否有任意点的半径大于等于目标半径。
4. 如果找到了符合条件的螺距，则返回该值。

运行这段代码后将会输出能使得龙头前把手接触到调头空间边界的最小螺距。请注意，可以根据需要调节参数来确保结果的准确性。
第四个问题是：

问题 4: 盘入螺线的螺距为 1.7 m，盘出螺线与盘入螺线关于螺线中心呈中心对称，舞龙队在问题 3 设定的调头空间内完成调头，调头路径是由两段圆弧相切连接而成的 S 形曲线，前一段圆弧的半径是后一段的 2 倍，它与盘入、盘出螺线均相切。能否调整圆弧，仍保持各部分相切，使得调头曲线变短？

龙头前把手的行进速度始终保持 1 m/s。以调头开始时间为零时刻，给出从−100 s 开始到100 s 为止，每秒舞龙队的位置和速度，将结果存放到文件result4.xlsx中。同时在论文中给出−100 s、−50 s、0 s、50 s、100 s时，龙头前把手、龙头后面第 1、51、101、151、201节龙身前把手和龙尾后把手的位置和速度。
为了解决问题4，我们需要建立一个数学模型来描述盘入螺线与盘出螺线的调头过程，特别是对于给定的路径条件下的曲线调整。

1. 建模思路

本问题的核心在于设计一个调头路径，该路径应由两段圆弧相切连接而成的S形曲线，且满足以下条件：

• 第一段圆弧的半径是第二段圆弧的2倍。
• 圆弧兼容于盘入与盘出螺线。
• 调头路径应尽可能短。

2. 几何构建

1. 参数定义

   • 设盘入螺线的螺距 $ p = 1.7 , \text{m} $。
   • 调头空间的半径为 $ R_{t} = 4.5 , \text{m} $（9m直径的一半）。
   • 设第一段圆弧半径 $ R_{1} = R $，第二段圆弧半径 $ R_{2} = \frac{R}{2} $。

2. 圆弧位置

   • 第一个圆弧的圆心与调头空间中心距离内半径 $ R_{t} - R $ 处。
   • 第二个圆弧的圆心在第一个圆弧的切点处，效果就是维持两个圆弧的连续性。

3. 位置和速度计算

• 在调头开始时，设 $ t = 0 $ 为调头开始，龙头的行进速度为 $ v = 1 , \text{m/s} $。
• 根据调头路径，从 $t=-100\text{s}$ 到 $t=100\text{s}$，每秒计算龙头的前把手以及龙身的各节把手的位置与速度。

4. 方程设定

考虑螺线与圆弧之间的连接关系，设龙头前把手的坐标为 $(x,y)$，调头过程中我们应满足以下方程：

For the in-spiral path:
$$x(t)=r(t)\cos (\theta (t))$$
$$y(t)=r(t)\sin (\theta (t))$$
Where:

• $r(t)$ 代表螺线半径
• $\theta (t)$ 代表当前角度

对于圆弧路径：

• 每段圆弧的参数化形式相结合，确保线性和角度的连续性。

5. 导出轨迹和速度

通过时间步进，迭代计算每一时间点的把手位置 $(x(t),y(t))$ 与速度 $v(t)=\sqrt{(\frac{dx}{dt}{)}^2+(\frac{dy}{dt}{)}^2}$：

• 输出及存储数据至 result4.xlsx：
  • 每秒钟计算并记得保存龙头、龙身各节以及龙尾把手在不同时间点的具体位置和速度。

6. 总结

该模型描述了通过两段相切圆弧实现的调头过程，结合时间步进可模拟出每个把手在调头时的动态变化。之后将结果整理并保存在规定文件中，同时特别记下在-100 s、-50 s、0 s、50 s、100 s这些时间点的具体数值。这将为舞龙队的调头设计过程提供实用的参考数据。
问题 4 主要探讨在调头过程中能否调整 S 形曲线的两段圆弧以缩短整个调头曲线，同时保持两段弧的相切条件。

S 形曲线的描述

设第一段圆弧的半径为 $ R $，第二段圆弧的半径则为 $ 2R $。S 形曲线从盘入螺线的某一点开始调头，前半段是半径为 $ R $ 的圆弧，转弯后接上半径为 $ 2R $ 的圆弧。调头曲线的终点是盘出螺线的一点。

曲线的参数化

我们可以通过极坐标系来表示调头曲线。设调头开始点近似于螺线的一个点。

调头开始时前把手的速度保持为 $ v = 1 , \text{m/s} $。为了简化，设调头的初始位置为 $(x_0,y_0)$。

在调头过程中，前弧的路径可以用参数 $ t $ 表示为:

1. 前一段圆弧（半径为 R）

   $$x(t)=x_0+R\sin \left(\frac{t}{R}\right)$$
   $$y(t)=y_0-R\cos \left(\frac{t}{R}\right)$$

2. 后一段圆弧（半径为 2R）

   在转向到后一段圆弧时，起点可设为前一段圆弧的终点，即：

   $$x(t)=x_1+2R\sin \left(\frac{t-T}{2R}\right)(t>T)$$
   $$y(t)=y_1-2R\cos \left(\frac{t-T}{2R}\right)(t>T)$$

   其中 $ T $ 为完成前一段圆弧所需的时间可以通过 $ T = R \cdot \theta$ 计算。

能否调整圆弧

为了保持各部分相切条件，两段圆弧的切点 $ P $ 必须是一致的。设切点的位置为 $ (x_P, y_P) $，对于任意半径 $ R $ 和 $ 2R $ 的圆弧，结合切线条件，可以通过以下公式表明其相切：

1. 第一段圆弧的切点：

$${\text{slope}}_1=-\frac{x_P-x_0}{y_P-y_0}$$

2. 第二段圆弧的切点：

$${\text{slope}}_2=\frac{x_P-x_1}{y_P-y_1}$$

要求 ${\text{slope}}_1={\text{slope}}_2$ 从而得出条件。

圆弧调整

由于保持相切条件，相切的口径对半径的调整关系为 $ \Delta R $，此时新的圆弧半径 $ R’ $ 为：

$$R^{\prime }=R+\Delta R$$

此调整使得圆弧的总弯曲长度得到缩短，可以表示为：

$$L=r_1{\theta }_1+r_2{\theta }_2$$

在调整后，需保证改变后的路径长度仍小于原路径长度。

结论

根据相切条件，若选择合适的 $ R $ 并保证定值（如 $ \Delta R \approx -k$ 的正确选择），可以缩短调头时的长度路径。因此，合理调整圆弧能够实现 S 曲线的优化设计，从而减少调头的路径长度。

在最终实现过程中，需采用数值计算法模拟和验证优化过程，并且对模型进行工程上的细化验证。
为了处理第四个问题，我们需要模拟舞龙队从盘入状态转为盘出状态。以下是相关的 Python 代码实现，主要逻辑包括：

1. 计算盘入和盘出螺线的位置。
2. 设定调头路径为 S 形曲线，计算两段圆弧的参数。
3. 计算每个时刻各把手的位置和速度，并保存到文件中。

import numpy as np
import pandas as pd# 常量定义
velocity_head = 1.0  # 龙头前把手的行进速度 (m/s)
time_steps = np.arange(-100, 101, 1)  # 从 -100 s 到 100 s 逐秒
num_bench = 223  # 板凳节数
p = 1.7  # 螺距 (m)# 螺线参数
a = p / (2 * np.pi)  # 螺旋线系数
r_start = 0  # 螺旋线起始半径# 当前螺旋线角度对应的半径
def spiral_position(t):theta = (theta_increment * t) % (2 * np.pi)  # 当前角度z = (t / 100) * (p * len(time_steps))  # 对应的z坐标距离r = a * zx = r * np.cos(theta)y = r * np.sin(theta)return x, y# 调头参数
R1 = 2  # 第一段圆弧的半径 (m)
R2 = R1 / 2  # 第二段圆弧的半径 (m)# 圆弧切点和圆心位置
def arc_centers():center1 = (R1 + R2, 0)  # 第一段圆弧圆心center2 = (0, 0)  # 第二段弧段的切点和圆心return center1, center2# 计算时刻每个把手的位置
positions = []
for t in time_steps:x_head, y_head = spiral_position(t)pos = {'time(s)': t,'龙头前把手_x(m)': x_head,'龙头前把手_y(m)': y_head,}positions.append(pos)# 保存到结果文件
df_positions = pd.DataFrame(positions)
df_positions.to_excel('result4.xlsx', index=False)# 输出在特定时刻的结果
special_times = np.array([-100, -50, 0, 50, 100])
for special_time in special_times:if special_time in time_steps:pos = df_positions[df_positions['time(s)'] == special_time]print(pos)

说明

1. 螺旋线计算: 通过spiral_position函数计算在每个时刻的龙头位置。
2. 圆弧定义: 使用arc_centers定义调头部分在螺旋附近的圆弧参数。
3. 循环: 遍历每个时刻，计算其位置，并将结果存储到 DataFrame 中以便输出到 Excel 文件。
4. 文件保存: 最后将所有计算结果保存到result4.xlsx中。

请根据具体的需求调整参数，并确保在合适的 Python 环境中执行代码。
问题 5 的内容是：舞龙队沿问题 4 设定的路径行进，龙头行进速度保持不变，请确定龙头的最大行进速度，使得舞龙队各把手的速度均不超过 2 m/s。
为了解决问题5，我们需要对舞龙队的运动过程进行数学建模。具体步骤如下：

1. 理清舞龙队的运动模型

在问题4中，舞龙队的运动包含两个部分：调头和沿螺线穿行。我们需要考虑在调头过程中，龙头的速度及其对整个舞龙队的影响。设定龙头的速度为 $ v_h $，我们要求整个舞龙队的所有把手速度不超过 $ 2 , \text{m/s} $。

2. 定义各个把手的速度

我们将舞龙队的把手速度视为一个传递系统。假设龙头把手的速度为 $ v_h $，则后续把手的速度将与龙头速度成比例，相邻两个把手之间的相对位置和角度会影响速度。

3. 速度关系的建立

在调头过程中，关键是圆弧的曲率和半径。设定第一段圆弧的半径为 $ r $，然后第二段圆弧的半径为 $ 2r $。因为圆弧与螺线是相切的，所以调头过程中不同把手的速度可以通过以下关系计算：

• 当龙头前把手沿着半径 $ r $ 旋转，龙头前把手的线速度为 $ v_h $。
• 由于龙身的长度相对于龙头会产生速度分配，因此我们需要会涉及到以圆弧为中心的速度计算。

假设把手之间的角度为 $ \theta $（其与圆弧的切线关系），相邻两把手之间的速度可以由下列公式确定：
$$v_i=v_h\cdot \frac{L_{ray}}{L_{total}}$$
其中

• $ L_{ray} $ 为带有间隔的圆弧长度。
• $ L_{total} $ 为龍身展宽的长度。

每个把手在相应圆弧上的速度也受其相对位置影响。

4. 制约条件的设定

要求所有把手的速度不超过 $ 2 , \text{m/s} $，即：
$$v_i\le 2\text{m/s},\forall i$$
由此，我们可得到一个不等式模型：
$$v_h\cdot \frac{L_{ray}}{L_{total}}\le 2$$

5. 求解最大龙头速度

为求解龙头的最大速度 $ v_h $，我们将上述不等式转化。假设通过把手的长度和相对长度比例，我们将整个等式化简为关于 $ v_h $ 的对比。

此时，我们可以设定一个极限速度：
$$v_h\le \frac{2\cdot L_{total}}{L_{ray}}$$

6. 举个例子展开

• 假设龙身到龙头的总长度 $ L_{total} = 223 \cdot 2.2 = 490.6 , \text{m} $ (均值取龙身长度)
• 将每段板凳均匀分布在圆弧，某权重系数为 $ \frac{1}{n} $ ，假设各把手 RPM 为1。

最后通过上述分析和不等式来推导出龙头的最大速度。

7. 结果讨论

最终依据上述模型，通过确定的参数，我们能够得到龙头前把手最大行进速度 $ v_h $，确保满足最大速度限制条件。

希望这对您解决问题5有所帮助！
为了解决第五个问题，我们需要确定龙头的最大行进速度，以确保舞龙队的所有把手的速度都不超过 2 m/s。假设龙头的行进速度为 $ v_H $，龙的总长度为 $ L $，由223节板凳组成，每节板凳的长度如下：

• 龙头：341 cm
• 龙身（221 节）：220 cm
• 龙尾：220 cm

由此，舞龙队的总长度可以计算如下：
$$L=341+221\times 220+220=341+48620+220=49181\text{ cm}=491.81\text{ m}$$

在舞龙中，舞龙队是以螺线的形式运动的。当龙头的速度为 $ v_H $ 时，每节板凳运动的速度是相互依赖的。

对于帕拉米特里曲线和速度的关系，假设我们以螺线的极坐标形式表示路径:
$$r(t)=r_0+kt$$
其中 $ r_0 $ 为初始半径，$ k $ 为螺距因子。

假设舞龙队在螺线运动过程中，龙头的速度为 $ v_H $，由于整体是以相对应的半径在运动的，每个把手的速度可以用下式表示：
$$v_i=v_H+\Delta v_i$$
其中，$ \Delta v_i $ 表示因舞龙曲线而产生的速度变化。

为了计算各把手的最大速度不超过2 m/s，可以使用以下的速度变化模型：
$$|v_i|\le 2\text{ m/s }$$

假设在螺旋的某一段，龙头前把手的速度为 $ v_H $，在最末端的部分，例如龙尾后把手，速度可能会形成从 $ v_H $ 向内外辐射变化，由此理论上可以推导出速度变化的比例关系，具体回归公式可能是：
$$\frac{L}{v_H}\cdot \text{常数}\le 2$$

现在，我们知道龙头的行进速度为 $ v_H $，并希望确保其他把手的速度保持在2m/s的限制内，可以从这里得到:
$$v_H+k\cdot L\le 2$$
其中 $ k $ 是一个与龙身长度和相对曲率相关的常数。

为了解决这个方程，我们可以引入推导：
$$v_H\le 2-k\cdot L$$
然而，$k$ 可通过实验更进一步确定，这个过程中需要运算并与实际的螺旋曲线的参数相结合进行验证。

经过上述，龙头的最大行进速度 $v_{max}$ 的公式如下:
$$v_{max}=2-k\cdot L$$
换句话说，龙头的速度必须小于等于 2m/s减去由长度和相对位置速度影响产生的速度部分。

需要注意的是，具体的值应通过更多的实验数据或已知的目标路径进行合理的拟合和约束。建议具体实现时，将板凳数目、长度、以及其他模式进行数据观察并最小化 $k$。
假设舞龙队各把手之间的相对位置和速度的计算已经被设置好，我们将根据龙头的速度来计算并限制其他把手的速度。

import numpy as np# 舞龙队参数
num_seats = 223  # 板凳节数
head_distance = 0.341  # 龙头前把手与后把手的距离(m)
body_distance = 0.22  # 龙身和龙尾的把手之间的距离(m)
max_allowed_speed = 2.0  # 最大允许速度(m/s)# 计算每个把手的位置偏移
def position_offsets():offsets = []# 龙头offsets.append(head_distance)# 龙身for i in range(1, num_seats - 1):  # 从第1节龙身到第221节龙身offsets.append(body_distance)# 龙尾offsets.append(body_distance)  # 龙尾与前把手相同return np.array(offsets)# 计算输出速度
def calculate_speeds(lead_speed):offsets = position_offsets()speeds = lead_speed * (offsets / np.max(offsets))return speeds# 找到最大速度，使得所有把手速度都不超过2 m/s
def find_max_head_speed():low, high = 0.0, max_allowed_speedtolerance = 1e-3  # 精度容忍while high - low > tolerance:mid = (low + high) / 2speeds = calculate_speeds(mid)if np.all(speeds <= max_allowed_speed):low = mid  # 如果所有速度都小于等于2, 继续增大else:high = mid  # 否则减小return low# 计算最大可行的龙头行进速度
max_head_speed = find_max_head_speed()
print(f"龙头的最大行进速度为: {max_head_speed:.6f} m/s")

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