目录

一、时间复杂度

        1、时间复杂度的概念

        2、大O的渐进表示法

        3、常见的时间复杂度计算举例

二、空间复杂度

        1、空间复杂度的概念

        2、常见的空间复杂度计算举例

三、常见复杂度对比

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正文开始——

前言

一个算法，并非越简洁越好，那该如何衡量一个算法的好坏呢？看其复杂度。复杂度又分为时间复杂度和空间复杂度。

一、时间复杂度 

1.  时间复杂度的概念 

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行程序所消耗的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有上机测试才能得知，于是我们有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

 void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N ; ++ i){for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n",count);
}

Func1执行的基本次数：N^2+2*N+10

实际计算时间复杂度，我们不一定要精确计算执行次数，只需要计算大概的执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.  大O的渐进表示法 

大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不为1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

so Func1的时间复杂度为：O（N^2）。通过上面我们发现大O的渐进法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

最好情况：1次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据x的时间复杂度为O（N）。

3.  常见的时间复杂度计算举例 

实例1：

//计算Func2的时间复杂度void Func2(int N)
{int count=0;for(int k=0;k<2*N;k++){++count;}int M=10;while(M--){++count;}printf("%d\n",count);
}

【解析】Func2执行的基本次数：N*2+10 ，所以其时间复杂度为：O（N）。

实例2：

//计算Func3的时间复杂度void Func3(int N,int M)
{int count=0;for(int k=0;k<M;++k){++count；}for(int k=0;k<N;++k){++count；}printf("%d\n",count);
}

【解析】Func3执行的基本次数：M+ N，有两个未知数M，N，时间复杂度：O（M+N）。

实例3：

//计算Func4的时间复杂度void Func4(int N)
{int count=0;for(int k=0;k<100;++k){++count;}printf("%d\n",count);
}

【解析】Func4执行的基本次数：100，对于常数一律用O（1）。

实例4：

//计算strchr的时间复杂度const char* strchr (const char* str,int character);

【解析】基本操作最好情况执行1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为O（N）。

实例5：

//计算BubbleSort的时间复杂度void BubbleSort(int* a,int n)
{assert(a);for(size_t end=n;end>0;--end){int exchange=0;for(size_t i=1;i<end;++i){if(a[i-1]>a[i]){Swap(&a[i-1],&a[i]);exchange=1;}}if(exchange==0)break;}
}

【解析】基本操作最好情况执行N次，最坏执行（N*（N+1））/2次，所以时间复杂度为O（N^2）.

实例6：

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a); int begin = 0;int end = n-1;// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end-begin)>>1);if (a[mid] < x)begin = mid+1;else if (a[mid] > x)end = mid-1;elsereturn mid;}return -1;
}

【解析】基本操作最好执行1次，最坏O（logN）次，时间复杂度为O（logN）。ps：logN在算法分析中表示底数为2，对数为N。

实例7：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

【解析】递归了N次，时间复杂度为O（N）。

实例8：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2)
}

【解析】时间复杂度为O（2^N）。

二、空间复杂度 

1.  空间复杂度的概念 

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没有太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则与时间复杂度相似，也是用大O渐进表示法。

【注意】函数运行时所需要的栈空间（存储函数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候 显示申请的额外空间 来确定。

2.  常见空间复杂度计算举例 

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

【解析】 在函数运行过程中申请常数个额外空间，所以空间复杂度为O（1）。

实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)return NULL;long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}

【解析】 动态开辟了N个空间，所以空间复杂度为O（N）。

实例3：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

【解析】递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O（N）。

三、常见复杂度对比 

---

完——

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