代码随想录算法训练营第六十三天| 最短路径总结篇、图论总结篇

[KamaCoder] 最短路问题总结篇

[KamaCoder] 最短路问题总结篇

自己看到题目的第一想法

最短路径问题刚开始看的时候, 可能是 N 阳了, 高烧不停的在 38.2 到 39.2 之间波动, 烧的很厉害的时候会疯狂的出汗, 然后体温就下降了. 到现在三周了, 还是咳嗽喉咙有点疼, 但是已经恢复的不少了.

最短路径里一开始就被概念给吓晕了, 有向图、无向图、连通图、强连通图、连通分量. 确实吓了我一大跳. 我感觉和我没有这部分的基础是有关系的.

看完代码随想录之后的想法

到总结篇了, 我对最短路径大部分已经不再恐惧了, 似乎也总是可以靠自己写出最后的算法, 但确实总是有种摇摇欲坠之感.

特别是 Kruskal 算法, 为什么每次选择最短的边, 只要不构成回路, 遍历完所有的边将没有形成环路的边都添加到最小生成树中, 就可以呢? Kruskal 算法比起 Prim 算法, 似乎没那么直观. Prim 算法非常的直观, 从点出发遍历所有的边, 从每个节点出发的边中, 每次只选最短的那一条, 选中这条边后就删除该边, 删除该边的方式为将该节点的 visited[index] 置为 true. 同时更新与该节点相连的边, 距离该节点的距离, 这样做的目的是为了将与该节点相连的边添加到带选路径中. 通过不断的将相连的边中最短的那条边添加进来, 最终完成最小生成树的添加. 这里我自己有个认知是, Prim 一定是要双向图, 如果是单向图的话, 会有问题吧?

Kruskal 也是一样, 每个节点出发的边中, 只要把最短的选出来, 假设 A -》B -〉C -》A 这样的一个环形路中, 挑出最短的两条边, 是不是就减去了最长的边, 同时构成了最小生成树. Kruskal 是如何减边的呢, 和 Prim 是一样的, 通过对边进行排序, 同一个节点出发的边, 每次只取最小边, 如果一条边添加进来产生了环路, 说明 A B C ... X 的 N 点中, 已经被权值更小的 N - 1 条边相连了, 这条产生环路的边是权值更大的, 需要被舍弃.

Dijkstra 就是 Prim 的基础上, 需要计算节点距离出发点的距离, Dijkstra 堆优化版就是将 minDist 数组的结果再保存到按节点到出发点的距离排序的堆中, 辅助完成节点的筛选.

Bellman_ford 会简单一些, N 个节点则松弛 n - 1 次, 就可以得到从出发节点到每个节点的最近距离.

Bellman_ford 判断是否产生负权回路, 就是在第 n 次松弛的时候, 发现 minDist 发生改变, 就说明长生了负权回路.

Bellman_ford 单源有限制节点路径寻址的话, 每次获取 minDist 值的时候, 不能用更新过的 minDist[index] 值, 需要从 minDistCopy[index] 里获取. 否则限制为 k 个节点的条件可能就不生效.

SPFA (Shortest Path Fast Algorithm) 有点像 Prim, 每次把松弛过的边相连的节点添加到队列中, 下次对这些节点相连的边再松弛一次. 因为被松弛的边相连的节点可能发生了改变, 因此一旦发生改变就需要松弛所有相连的其他边.

Floyd 算法一开始我很不理解, 好像突然来到了三维世界. 但是那个三维坐标图你不要露怯的话, 会发现其实只是用看似复杂的图说明了一个很简单的道理, 因为只初始化了 k = 0 时候的所有点的数据, 因此如果将 k 放在中间或者最里层, 就会造成 [i][j][k] 依赖了未计算过的 [i][k][k - 1]. dp[i][j][k] = Math.min(dp[i][j][k - 1], dp[i][k][k - 1] + dp[k][j][k - 1]). 如果 k 在最里层, 那么 [1][2][3] = Math.min(dp[1][2][2], dp[1][3][2] + dp[3][2][2]), 这时候 dp[1][3][2] 和 dp[3][2][2] 还没有计算出来, 导致最终结果出现异常.

Astar 主要是启发函数, 因为所有节点都会被遍历到, 只是每次挑选哪个节点的不同, 因此还是比较简单的.