以下是今日份的总结

46 携带研究材料(二维数组)
46 携带研究材料(滚动数组/一维)
416 分割等和子集

今天的题目难度不低，掌握技巧了就会很简单，尽量还是写一些简洁代码 ^ _ ^

携带研究材料(二维数组)

思路：

1.确定dp数组以及下标的含义
------ dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2.确定递推公式
------不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
------放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
------递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3.dp数组如何初始化
------dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
------那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
------当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
------dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
------统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
4.确定遍历顺序
------先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？
------其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。
5.举例推导dp数组
------。。。。。。

值得注意的是

背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究；
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

//二维dp数组实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值for(int i = 0; i < n; ++i) {cin >> weight[i];}for(int j = 0; j < n; ++j) {cin >> value[j];}// dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));// 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值// j < weight[0]已在上方被初始化为0// j >= weight[0]的值就初始化为value[0]for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];}for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量// 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];// 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值// 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}int main() {while(cin >> n >> bagweight) {solve();}return 0;
}

携带研究材料(滚动数组/一维)

思路：

和上一题表现形式差不多
1.确定dp数组以及下标的含义
------ 在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
_
2.确定递推公式
------dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
------dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
------dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
_
3.dp数组如何初始化
------如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了
------dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
_
4.确定遍历顺序
------如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
------倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！
_
5.举例推导dp数组
------一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包

值得注意的是

一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级！

// 一维dp数组实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main() {// 读取 M 和 Nint M, N;cin >> M >> N;vector<int> costs(M);vector<int> values(M);for (int i = 0; i < M; i++) {cin >> costs[i];}for (int j = 0; j < M; j++) {cin >> values[j];}// 创建一个动态规划数组dp，初始值为0vector<int> dp(N + 1, 0);// 外层循环遍历每个类型的研究材料for (int i = 0; i < M; ++i) {// 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {// 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);}}// 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值cout << dp[N] << endl;return 0;
}

分割等和子集

思路：

1.确定dp数组以及下标的含义
------ dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]
2.确定递推公式
------01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
------本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
------所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3.dp数组如何初始化
------从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0；
------如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了；
------如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷；
------这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
4.确定遍历顺序
------如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
5.举例推导dp数组
------dp[j]的数值一定是小于等于j的。
------如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

值得注意的是

01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是nums[i]，重量是nums[i]，价值也是nums[i]，背包体积是sum/2。
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！（很重要！！！）

    bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;// dp[i]中的i表示背包内总和// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了vector<int> dp(10001, 0);for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {sum += nums[i];}// 也可以使用库函数一步求和// int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);if (sum % 2 == 1)return false;int target = sum / 2;// 开始 01背包for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {for (int j = target; j >= nums[i];j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}// 集合中的元素正好可以凑成总和targetif (dp[target] == target)return true;return false;}

写在最后

----OK，今日份的博客就写到这里，这一期的动态规划好巧妙，明天继续加油！！！
—还没看下期的题，但是我的栈还有一节没写；
–追上时间进度了！！（笑
-🈚️。