【海贼王的数据航海】ST表—

【海贼王的数据航海】ST表——RMQ问题

1 -> RMQ问题

1.1 -> 定义

1.2 -> 解决策略

2 -> ST表

2.1 -> 定义

2.2 什么是可重复贡献问题

2.3 -> 预处理ST表

2.4 -> 处理查询

2.5 -> 实际问题

1 -> RMQ问题

1.1 -> 定义

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)即区间最值查询问题指：有一组数据和若干个查询，要求在短时间内回答每个查询[ l ,r ] 内的最值。

1.2 -> 解决策略

朴素搜索：暴力(BFS/DFS) 时间复杂度O(n)。
线段树(Segment Tree) 时间复杂度O(n)-O(logn)。
ST表(Sparse Table，稀疏表)：倍增思想，O(nlogn)预处理，O(1)查询最值。

2 -> ST表

2.1 -> 定义

ST表(Sparse Table，稀疏表)，主要应用倍增思想，是一种用于解决可重复贡献问题的数据结构。它通过预处理给定数组，创建一个二维表格，使得任何区间的最小/最大值查询都可以在常数时间内完成。ST表特别适合于静态数据：当数列不经常改变时，它是最有效的。可以实现O(nlogn)预处理、O(1)查询。主要用于解决RMQ问题。

2.2 什么是可重复贡献问题

可重复贡献问题是指在某些特定的数学运算中，当运算的性质满足一定条件时，即使是在包含重复部分的区间内进行询问，所得到的结果仍然是相同的问题。这种问题的特点是，它们可以通过预处理所有可能的区间，然后在查询时直接返回预处理的结果来解决。例如，最大值问题和最大公因数问题就是典型的可重复贡献问题，因为它们满足以下性质：

最大值满足 max(x, x) = x
最大公因数满足 gcd(x, x) = x

这些性质意味着，对于任何给定的数 x，其自身与其他任何数的最大值或最大公因数仍然是 x 本身。因此，当我们需要计算一个区间内的最大值或最大公因数时，可以将区间分割成更小的子区间，并利用这些子区间的结果来快速得出整个区间的答案。

2.3 -> 预处理ST表

倍增法递推：用两个等长的小区间拼凑成一个大区间。

f[ i ][ j ] 以第 i 个数为起点，长度为 $2^{^{j}}$ 的区间中的最大值。

理想状态方程： $f[ i ][ j ] = max(f[ i ][ j - 1 ], f[ i + 2^{j - 1}][j - 1])$

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;const int M = 20;int f[N][M];int main()
{//预处理ST表int n = 0;int m = 0;for (int i = 0; i < n; i++)cin >> f[i][0];for (int j = 1; j <= M; j++)  //枚举区间长度for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)  //枚举起点f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);return 0;
}

区间终点： $i+ 2^{j}-1\leq n$

假如n = 6

区间长度倍增：1，2，4，8……

f[ i，0 ]：[ 1 1 ][ 2 2 ][ 3 3 ][ 4 4 ][ 5 5 ][ 6 6 ]

f[ i，1 ]：[ 1 2 ][ 2 3 ][ 3 4 ][ 4 5 ][ 5 6 ]

f[ i，2 ]：[ 1 4 ][ 2 5 ][ 3 6 ]

$j=3:i+2^{j}-1=1+8-1>6$

2.4 -> 处理查询

对查询区间[ l，r ]做分割、拼凑。

区间长度的指数： $k=log_{2}(r - l + 1)$

k = 0：{1}

k = 1：{2，3}

k = 2：{4，5，6，7}

k = 3：{8，9，10，11，12，13，14，15}

通过观察可以发现： $2^{k}\leq r-l+1< 2\cdot 2^{k}$

即区间[ l，r ]必可以用两个长度为 $2^{k}$ 的区间重叠拼凑。

即 $max(f[l][k],f[r-2^{k}+1][k])$

    int l = 0;int r = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){scanf("%d %d", &l, &r);int k = log2(r - l + 1);  //区间长度指数printf("%d\n", max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]));}

[1，4] -> [1，4] + [1，4]

[1，5] -> [1，4] + [2，5]

[1，6] -> [1，4] + [3，6]

[1，7] -> [1，4] + [4，7]

总结：凡是符合结合律且可重复贡献的信息查询都可以使用ST表。显然最大值、最小值、最大公因数、最小公倍数、按位或、按位与都符合这个条件。如果涉及区间修改操作，就要使用线段树解决了。

2.5 -> 实际问题

luogu：P3865

题目链接：P3865 【模板】ST 表

题目背景

这是一道 ST 表经典题——静态区间最大值

题目描述

给定一个长度为 N 的数列，和 M 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入格式

第一行包含两个整数 N,M，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 N 个整数（记为 ai），依次表示数列的第 i 项。

接下来 M 行，每行包含两个整数 𝑙𝑖,𝑟𝑖，表示查询的区间为 [𝑙𝑖,𝑟𝑖]。

输出格式

输出包含 M 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

输入输出样例

输入 #1

8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
1 5
2 7
2 6
1 8
4 8
3 7
1 8

输出 #1

说明/提示

对于 30%30% 的数据，满足 1≤𝑁,𝑀≤101≤N,M≤10。

对于 70%70% 的数据，满足 1≤𝑁,𝑀≤1051≤N,M≤105。

对于 100%100% 的数据，满足 1≤𝑁≤1051≤N≤105，1≤𝑀≤2×1061≤M≤2×106，𝑎𝑖∈[0,109]ai∈[0,109]，1≤𝑙𝑖≤𝑟𝑖≤𝑁1≤li≤ri≤N。

AC代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;const int M = 20;int f[N][M];int main()
{//预处理ST表int n = 0;int m = 0;scanf("%d %d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &f[i][0]);for (int j = 1; j <= M; j++)  //枚举区间长度for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)  //枚举起点f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);int l = 0;int r = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){scanf("%d %d", &l, &r);int k = log2(r - l + 1);  //区间长度指数printf("%d\n", max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]));}return 0;
}

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