第 8 周 13、 聚类(Clustering)

13.3 优化目标

K-均值最小化问题，是要最小化所有的数据点与其所关联的聚类中心点之间的距离之和，因此 K-均值的代价函数（又称畸变函数 Distortion function）为：
$$J(c^{(1)},...,c^{(m)},u_1,...,u_k)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m||X^{(i)}-u_c^{(i)}|{|}^2$$

其中$u_c^{(i)}$代表与$x^{(i)}$最近的聚类中心点。 我们的的优化目标便是找出使得代价函数最小的 $c^{(1)},c^{(2)},...,c^{(m)}$和$u_1,u_2,...,u_k$：

回顾刚才给出的: K-均值迭代算法，我们知道，第一个循环是用于减小$c^{(i)}$引起的代价，而第二个循环则是用于减小$u_i$引起的代价。迭代的过程一定会是每一次迭代都在减小代价函数，不然便是出现了错误。

13.4 随机初始化

在运行 K-均值算法的之前，我们首先要随机初始化所有的聚类中心点，下面介绍怎样做：

1. 我们应该选择𝐾 < 𝑚，即聚类中心点的个数要小于所有训练集实例的数量
2. 随机选择𝐾个训练实例，然后令𝐾个聚类中心分别与这𝐾个训练实例相等

K-均值的一个问题在于，它有可能会停留在一个局部最小值处，而这取决于初始化的情况。

为了解决这个问题，我们通常需要多次运行 K-均值算法，每一次都重新进行随机初始化，最后再比较多次运行 K-均值的结果，选择代价函数最小的结果。这种方法在𝐾较小的时候（2–10）还是可行的，但是如果𝐾较大，这么做也可能不会有明显地改善。

13.5 选择聚类数

没有所谓最好的选择聚类数的方法，通常是需要根据不同的问题，人工进行选择的。选择的时候思考我们运用 K-均值算法聚类的动机是什么，然后选择能最好服务于该目的标聚类数。

当人们在讨论，选择聚类数目的方法时，有一个可能会谈及的方法叫作“肘部法则”。关于“肘部法则”，我们所需要做的是改变𝐾值，也就是聚类类别数目的总数。我们用一个聚类来运行 K 均值聚类方法。这就意味着，所有的数据都会分到一个聚类里，然后计算成本函数或者计算畸变函数𝐽。𝐾代表聚类数字。

我们可能会得到一条类似于这样的曲线。像一个人的肘部。这就是“肘部法则”所做的，让我们来看这样一个图，看起来就好像有一个很清楚的肘在那儿。好像人的手臂，如果你伸出你的胳膊，那么这就是你的肩关节、肘关节、手。这就是“肘部法则”。你会发现这种模式，它的畸变值会迅速下降，从 1 到 2，从 2 到 3 之后，你会在 3 的时候达到一个肘点。在此之后，畸变值就下降的非常慢，看起来就像使用 3 个聚类来进行聚类是正确的，这是因为那个点是曲线的肘点，畸变值下降得很快，𝐾 = 3之后就下降得很慢，那么我们就选𝐾 = 3。当你应用“肘部法则”的时候，如果你得到了一个像上面这样的图，那么这将是一种用来选择聚类个数的合理方法。

例如，我们的 T-恤制造例子中，我们要将用户按照身材聚类，我们可以分成 3 个尺寸:𝑆, 𝑀, 𝐿，也可以分成 5 个尺寸𝑋𝑆, 𝑆, 𝑀, 𝐿,𝑋𝐿，这样的选择是建立在回答“聚类后我们制造的 T-恤是否能较好地适合我们的客户”这个问题的基础上作出的。