70pts

题目要求我们在给定的瓜中选择一些瓜，可以选择将瓜劈成两半，使得最后的总重量恰好等于 $m$。我们的目标是求出至少需要劈多少个瓜。

首先，我们注意到每个瓜的重量最多为 $10^9$，而求和的重量 $m$ 也最多为 $10^9$，每个瓜的重量最多只能被分为两份。同时，由于每个瓜可以选择劈或者不劈，所以我们可以使用深度优先搜索（DFS）来遍历所有可能的组合。

在深度优先搜索的过程中，我们需要记录当前考虑到的瓜的序号 u，当前已经选中瓜的总重量 s 以及已经劈开的瓜的数量 cnt。当满足以下条件之一时，当前搜索分支可以提前结束：

• 当前已选瓜的总重量 s 大于目标重量 m；
• 已经劈开的瓜的数量 cnt 大于等于目标重量 m，因为劈开的瓜越多，总重量越小，不可能达到 m。

当我们遍历到最后一个瓜时，检查当前选中瓜的总重量 s 是否等于目标重量 m，如果等于，则更新答案 res 为 cnt 和 res 中的较小值。

时间复杂度：

由于每个瓜都有三种选择，所以时间复杂度为 $O(3^n)$，其中 $n$ 是瓜的个数。

95pts

由于 70pts 速度过慢，故需要优化，用了两个 DFS 函数（折半搜索），dfs_1 和 dfs_2，先对前一半的瓜进行搜索，将搜索结果存储在哈希表 h 中，然后对后一半的瓜进行搜索，同时在搜索过程中与哈希表 h 中的结果进行匹配，以找到满足条件的组合。

时间复杂度：

由于每个瓜都有三种选择，所以时间复杂度为 $O(3^{\frac{n}{2}})$，其中 $n$ 是瓜的个数。同时，由于在搜索过程中进行了剪枝，实际运行时间会小于 $O(3^{\frac{n}{2}})$，又由于哈希表的常数过大，会导致程序缓慢，故无法通过所有数据。

100pts

本题要求从给定的瓜中选择一些瓜，可以对瓜进行劈开，使得最后选出的瓜的总重量恰好为 $m$，求最少需要劈开的瓜的个数。题目可以使用分治和二分查找的思路来解决。

首先，将所有的瓜按照重量进行排序。然后，将瓜分为两部分，前 $n/2$ 个瓜和后 $n/2$ 个瓜。对于每一部分，求出所有可能的瓜的重量组合以及对应的劈开的瓜的个数。接着，将前半部分的所有重量组合排序，方便后续使用二分查找。最后，遍历后半部分的所有重量组合，使用二分查找在前半部分寻找恰好使得总重量为 $m$ 的组合，并记录最少需要劈开的瓜的个数。

具体实现如下：

1. 读入瓜的个数 n 和目标重量 m，将目标重量 m 乘以 $2$，将题目转换成求瓜的重量恰好为 $2m$ 的组合。
2. 读入每个瓜的重量，将瓜的重量也乘以 $2$。
3. 对瓜的重量进行排序。
4. 计算分界点 tn，将瓜分为前后两部分，前半部分为 [0, tn)，后半部分为 [tn, n)。
5. 使用深度优先搜索遍历前半部分的所有组合，记录每种组合的总重量和需要劈开的瓜的个数，保存在数组 alls 中。
6. 对 alls 数组进行排序，然后去重。
7. 使用深度优先搜索遍历后半部分的所有组合，对于每种组合，使用二分查找在前半部分寻找恰好使得总重量为 $2m$ 的组合，并记录最少需要劈开的瓜的个数。
8. 输出最少需要劈开的瓜的个数，如果不存在这样的组合，则输出 -1。

时间复杂度：

本题的时间复杂度主要取决于深度优先搜索和二分查找的复杂度。在最坏情况下，深度优先搜索需要遍历所有可能的组合，因此时间复杂度为 $O(3^{\frac{n}{2}})$。二分查找的时间复杂度为 $O(\log n)$。所以总的时间复杂度为 $O(3^{\frac{n}{2}}\log 3^{\frac{n}{2}}+3^{\frac{n}{2}})$。

手写哈希表

由于部分平台数据较强，可能无法通过 $100\%$ 的数据，文末补充手写哈希表的做法，实测可通过 $100\%$ 数据。

AC_Code

• C++（70%）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 35;int n, m, tn;
int w[N];
int res = 50;void dfs(int u, LL s, int cnt)
{if (s > m || cnt >= m)return;if (s == m){res = cnt;return;}if (u == n)return;dfs(u + 1, s, cnt);dfs(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);dfs(u + 1, s + w[u], cnt);
}int main()
{cin >> n >> m, m *= 2;for (int i = 0; i < n; ++ i )cin >> w[i], w[i] *= 2;dfs(0, 0, 0);cout << (res == 50? -1: res) << endl;return 0;
}

• Java（70%）

import java.util.Scanner;
import java.util.Arrays;public class Main {private static final int N = 35;private static int n, m;private static int[] w = new int[N];private static int res = 50;public static void dfs(int u, long s, int cnt) {if (s > m || cnt >= m) {return;}if (s == m) {res = cnt;return;}if (u == n) {return;}dfs(u + 1, s, cnt);dfs(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);dfs(u + 1, s + w[u], cnt);}public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);n = in.nextInt();m = in.nextInt();m *= 2;for (int i = 0; i < n; ++i) {w[i] = in.nextInt();w[i] *= 2;}dfs(0, 0, 0);System.out.println((res == 50 ? -1 : res));}
}

• Python（65%）

from sys import stdinN = 35def dfs(u, s, cnt):if s > m or cnt >= m:returnif s == m:global resres = cntreturnif u == n:returndfs(u + 1, s, cnt)dfs(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)dfs(u + 1, s + w[u], cnt)n, m = map(int, stdin.readline().split())
m *= 2
w = [int(x) * 2 for x in stdin.readline().split()]res = 50dfs(0, 0, 0)print(-1 if res == 50 else res)

• C++（95%）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 35;int n, m, tn;
int w[N];
int res = 50;
unordered_map<int, int> h;void dfs_1(int u, LL s, int cnt)
{if (s > m)return;if (u == tn){if (h.count(s))h[s] = min(h[s], cnt);elseh[s] = cnt;return;}dfs_1(u + 1, s, cnt);dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);
}void dfs_2(int u, LL s, int cnt)
{if (s > m || cnt > res)return;if (u == n){   if (h.count(m - s))res = min(res, h[m - s] + cnt);return;}dfs_2(u + 1, s, cnt);dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> m, m *= 2;for (int i = 0; i < n; ++ i )cin >> w[i], w[i] *= 2;sort(w, w + n);tn = max(0, n / 2 - 2);dfs_1(0, 0, 0);dfs_2(tn, 0, 0);cout << (res == 50? -1: res) << endl;return 0;
}

• Java（95%）

import java.util.HashMap;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main {private static final int N = 35;private static int n, m, tn;private static int[] w = new int[N];private static int res = 50;private static HashMap<Integer, Integer> h = new HashMap<>();public static void dfs_1(int u, long s, int cnt) {if (s > m) {return;}if (u == tn) {h.put((int)s, h.getOrDefault((int)s, cnt));return;}dfs_1(u + 1, s, cnt);dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);}public static void dfs_2(int u, long s, int cnt) {if (s > m || cnt > res) {return;}if (u == n) {if (h.containsKey((int)(m - s))) {res = Math.min(res, h.get((int)(m - s)) + cnt);}return;}dfs_2(u + 1, s, cnt);dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);}public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);n = in.nextInt();m = in.nextInt();m *= 2;for (int i = 0; i < n; ++i) {w[i] = in.nextInt();w[i] *= 2;}Arrays.sort(w, 0, n);tn = Math.max(0, n / 2 - 2);dfs_1(0, 0, 0);dfs_2(tn, 0, 0);System.out.println((res == 50 ? -1 : res));}
}

• Python（80%）

from itertools import combinationsdef dfs_1(u, s, cnt):if s > m:returnif u == tn:if s in h:h[s] = min(h[s], cnt)else:h[s] = cntreturndfs_1(u + 1, s, cnt)dfs_1(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt)def dfs_2(u, s, cnt):global res  # 声明 res 为全局变量if s > m or cnt > res:returnif u == n:if m - s in h:res = min(res, h[m - s] + cnt)returndfs_2(u + 1, s, cnt)dfs_2(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt)n, m = map(int, input().split())
m *= 2
w = list(map(int, input().split()))
w = [x * 2 for x in w]w.sort()tn = max(0, n // 2 - 2)h = {}
res = 50dfs_1(0, 0, 0)
dfs_2(tn, 0, 0)print(-1 if res == 50 else res)

• C++（100%）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>#define x first
#define y secondusing namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;const int N = 35;int n, m, tn, t;
int w[N];
int res = 50;
PII alls[1 << 21];void dfs_1(int u, LL s, int cnt)
{if (s > m)return;if (u == tn){alls[t ++] = {s, cnt};return;}dfs_1(u + 1, s, cnt);dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
}void dfs_2(int u, LL s, int cnt)
{if (s > m || cnt >= res)return;if (u == n){   int l = 0, r = t - 1;while (l < r){int mid = l + r >> 1;if (alls[mid].x + s >= m)r = mid;elsel = mid + 1;}if (alls[l].x + s == m)res = min(res, alls[l].y + cnt);return;}dfs_2(u + 1, s, cnt);dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> m, m *= 2;for (int i = 0; i < n; ++ i )cin >> w[i], w[i] *= 2;sort(w, w + n);tn = max(0, n / 2 - 2);dfs_1(0, 0, 0);sort(alls, alls + t);int k = 1;for (int i = 1; i < t; ++ i )if (alls[i].x != alls[i - 1].x)alls[k ++] = alls[i];t = k;dfs_2(tn, 0, 0);cout << (res == 50? -1: res) << endl;return 0;
}

• Java（100%）

import java.io.*;
import java.util.*;public class Main {private static final int N = 35;private int n, m, tn, t;private int[] w = new int[N];private int res = 50;private Pair[] alls = new Pair[1 << 21];public static void main(String[] args) throws IOException {Main main = new Main();main.solve();}private void solve() throws IOException {BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));PrintWriter out = new PrintWriter(new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out)));String[] input = in.readLine().split(" ");n = Integer.parseInt(input[0]);m = Integer.parseInt(input[1]) * 2;input = in.readLine().split(" ");for (int i = 0; i < n; ++i) {w[i] = Integer.parseInt(input[i]) * 2;}Arrays.sort(w, 0, n);tn = Math.max(0, n / 2 - 2);dfs_1(0, 0, 0);Arrays.sort(alls, 0, t, Comparator.comparingInt(Pair::getX));int k = 1;for (int i = 1; i < t; ++i) {if (alls[i].x != alls[i - 1].x) {alls[k++] = alls[i];}}t = k;dfs_2(tn, 0, 0);out.println(res == 50 ? -1 : res);out.flush();}private void dfs_1(int u, long s, int cnt) {if (s > m)return;if (u == tn) {alls[t++] = new Pair((int) s, cnt);return;}dfs_1(u + 1, s, cnt);dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);}private void dfs_2(int u, long s, int cnt) {if (s > m || cnt >= res)return;if (u == n) {int l = 0, r = t - 1;while (l < r) {int mid = l + r >> 1;if (alls[mid].x + s >= m)r = mid;elsel = mid + 1;}if (alls[l].x + s == m)res = Math.min(res, alls[l].y + cnt);return;}dfs_2(u + 1, s, cnt);dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);}static class Pair {int x, y;Pair(int x, int y) {this.x = x;this.y = y;}int getX() {return x;}}
}

• Python（100%）

import sys
from typing import List, TupleN = 35n, m, tn, t = 0, 0, 0, 0
w = [0] * N
res = 50
alls: List[Tuple[int, int]] = [(0, 0)] * (1 << 21)def dfs_1(u: int, s: int, cnt: int):global t, allsif s > m:returnif u == tn:alls[t] = (s, cnt)t += 1returndfs_1(u + 1, s, cnt)dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt)dfs_1(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)def dfs_2(u: int, s: int, cnt: int):global res, allsif s > m or cnt >= res:returnif u == n:l, r = 0, t - 1while l < r:mid = (l + r) // 2if alls[mid][0] + s >= m:r = midelse:l = mid + 1if alls[l][0] + s == m:res = min(res, alls[l][1] + cnt)returndfs_2(u + 1, s, cnt)dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt)dfs_2(u + 1, s + w[u] // 2, cnt + 1)def main():global n, m, tn, t, w, alls, resn, m = map(int, sys.stdin.readline().strip().split())m *= 2w = list(map(int, sys.stdin.readline().strip().split()))w = [x * 2 for x in w]w.sort()tn = max(0, n // 2 - 2)dfs_1(0, 0, 0)alls = sorted(alls[:t], key=lambda x: x[0])k = 1for i in range(1, t):if alls[i][0] != alls[i - 1][0]:alls[k] = alls[i]k += 1t = kdfs_2(tn, 0, 0)print(-1 if res == 50 else res)if __name__ == "__main__":main()

• C++（手写哈希表 100%）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>#define x first
#define y secondusing namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;const int N = 35, M = 1e7 + 7, null = 2e9 + 7;int n, m, tn, t;
int w[N];
int res = N;
PII h[M];int find(int s)
{int k = s % M;while (h[k].x != s && h[k].x != null){k ++;if (k == M)k = 0;}return k;
}void dfs_1(int u, LL s, int cnt)
{if (s > m)return;if (u == tn){int k = find(s);h[k] = {s, min(h[k].y, cnt)};return;}dfs_1(u + 1, s, cnt);dfs_1(u + 1, s + w[u], cnt);dfs_1(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
}void dfs_2(int u, LL s, int cnt)
{if (s > m || cnt >= res)return;if (u == n){   int tar = m - s;int k = find(tar);if (h[k].x != null)res = min(res, cnt + h[k].y);return;}dfs_2(u + 1, s, cnt);dfs_2(u + 1, s + w[u], cnt);dfs_2(u + 1, s + w[u] / 2, cnt + 1);
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> m, m <<= 1;for (int i = 0; i < n; ++ i )cin >> w[i], w[i] <<= 1;for (int i = 1; i < M; ++ i )h[i] = {null, null};sort(w, w + n);tn = max(0, n / 2 - 1);dfs_1(0, 0, 0);dfs_2(tn, 0, 0);cout << (res == N? -1: res) << '\n';return 0;
}

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