绘制一维正态分布代码

% 给定的均值和标准差  
mu = 0; % 例如，你可以改变这个值  
sigma = 1; % 例如，你可以改变这个值  % 定义x的范围（例如，从mu-3*sigma到mu+3*sigma，步长为0.1）  
x = mu - 3*sigma:0.1:mu + 3*sigma;  % 计算正态分布的PDF值  
y = normpdf(x, mu, sigma);  % 绘制图形  
figure; % 创建一个新的图形窗口  
plot(x, y, 'LineWidth', 2); % 绘制PDF图像  
grid on; % 添加网格线  
xlabel('x'); % x轴标签  
ylabel('f(x)'); % y轴标签  
title(['服从X~N(', num2str(mu), ',', num2str(sigma), ')的正态分布']); % 标题，包含mu和sigma值  % 如果需要，可以添加正态分布曲线下的阴影部分来表示概率  
hold on; % 保持当前图形  
fill([x(1), x, x(end)], [0, y, 0], 'r'); % 填充阴影部分  
hold off; % 释放图形

计算二维正态分布联合概率密度

二维正态分布的概率密度函数（PDF）可以用两个一维正态分布的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的均值 ${\mu }_X,{\mu }_Y$，标准差 ${\sigma }_X,{\sigma }_Y$，以及它们之间的相关系数 $\rho$ 来表示。相关系数 $\rho$ 是协方差 $\text{Cov}(X,Y)$ 和两个随机变量标准差的乘积的比值，即 $\rho =\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$，其值范围在 $[-1,1]$ 之间。

对于二维正态分布，其联合概率密度函数 $f(x,y)$ 可以写作：

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_X{\sigma }_Y\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left(-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_X}\right)}^2-2\rho \left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_X}\right)\left(\frac{y-{\mu }_Y}{{\sigma }_Y}\right)+{\left(\frac{y-{\mu }_Y}{{\sigma }_Y}\right)}^2\right]\right)$$

这里，$\exp$ 表示自然指数函数。这个公式体现了 $X$ 和 $Y$ 之间的线性关系强度和方向，由相关系数 $\rho$ 控制。当 $\rho =0$ 时，$X$ 和 $Y$ 是独立的，其联合分布可以分解为各自边际分布的乘积；当 $\rho =1$ 或 $\rho =-1$ 时，表明 $X$ 和 $Y$ 完全正相关或完全负相关，即一个变量的增加（减少）总是伴随着另一个变量按确定比例的增加（减少）。通过调整 $\rho$，可以在保持各自分布形态不变的情况下，描述两个随机变量之间不同的依赖关系。
绘制二维正态分布代码如下

% 定义二维正态分布的均值向量和协方差矩阵  
mu = [0 0]; % 均值向量  
Sigma = [1 0.5; 0.5 2]; % 协方差矩阵  % 定义x和y的范围和步长  
[x, y] = meshgrid(-5:0.1:5, -5:0.1:5); % 创建一个网格  % 使用mvnpdf函数计算二维正态分布的PDF值  
z = mvnpdf([x(:) y(:)], mu, Sigma);  % 将z重新塑形为与x和y相同的维度  
z = reshape(z, size(x));  % 使用surf函数绘制三维图像  
figure;  
surf(x, y, z);  
xlabel('X');  
ylabel('Y');  
zlabel('Probability Density');  
title('Two-dimensional Normal Distribution');  % 使用contour函数绘制等高线图  
figure;  
contour(x, y, z);  
xlabel('X');  
ylabel('Y');  
title('Contour Plot of Two-dimensional Normal Distribution');

这里的协方差矩阵为
$$\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_X^2& \rho {\sigma }_X{\sigma }_Y\\ \rho {\sigma }_X{\sigma }_Y& {\sigma }_Y^2\end{array}\right)$$
效果如下

若要算某一点的概率密度，代码如下

% 给定参数
mu_X = 0; mu_Y = 0; sigma_X = 1; sigma_Y = 1; rho = 0.5;
x = 1; y = 1;% 计算概率密度
pdf_value = bivariateNormalPDF(x, y, mu_X, mu_Y, sigma_X, sigma_Y, rho);fprintf('在点 (%.2f, %.2f) 处的概率密度为: %.4f\n', x, y, pdf_value);
function pdf_val = bivariateNormalPDF(x, y, mu_X, mu_Y, sigma_X, sigma_Y, rho)% 计算标准化变量z_X = (x - mu_X) / sigma_X;z_Y = (y - mu_Y) / sigma_Y;% 计算概率密度函数的值exponent = -(1/(2*(1-rho^2))) * (z_X^2 - 2*rho*z_X*z_Y + z_Y^2);normalization_constant = 1 / (2*pi*sigma_X*sigma_Y*sqrt(1-rho^2));pdf_val = normalization_constant * exp(exponent);
end

本文采用AI辅助创作