AVL树模拟

1.概念

虽然二叉搜索树可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序时二叉搜索树树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。AVL
树是具有一下性质的二叉搜索树：        

        1.它的左右子树都是AVL树

        2.左右子树的高度差的绝对值不超过1

如果一个二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个节点，其高度可保持在log N,搜索时间复杂度为O(log N)；

2.节点定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(T key):_bf(0), _key(key){}AVLTreeNode* _left = nullptr;AVLTreeNode* _right = nullptr;AVLTreeNode* _parent = nullptr;int _bf;					//平衡因子T _key;
};

3.AVL插入

AVL树的插入就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。

AVL树的插入过程可以分为两部分：

        1.按照二叉搜索树的方式插入新节点

        2.调整平衡因子

3.1 按照二叉搜索树的方式插入新的节点

 

bool Insert(T key)
{Node* newnode = new Node(key);if (_root == nullptr){_root = newnode;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//寻找插入位置while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else return false;}//插入新的节点newnode->_parent = parent;if (key < parent->_key) parent->_left = newnode;else parent->_right = newnode;
}

3.2调整平衡因子

新节点插入后，AVL树的平衡性可能遭到破坏，因此就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

当newnode插入后，parent的平衡因子一点需要调整，在插入之前parent的平衡因子分为三种情况：-1，0，1。

调整方式分为以下两种：

        当新节点插入到parent左侧时，parent平衡因子-1；

        当新节点插入到parent右侧时，parent平衡因子+1；

此时parent的平衡因子有以下三种情况：0，正负1，正负2

        1.如果此时的平衡因子为0，说明插入新的节点后parent平衡了，满足AVL树的性质，无需继续向上调整。

        2.如果此时平衡因子为正负1，说明插入新的节点后parent为根的树高度增加，需要继续向上调整。

        3.如果此时平衡因子为正负2，说明parent违反了AVL树的性质，需要对其经行旋转处理。

cur = newnode;
while (parent)
{//更新平衡因子if (cur == parent->_left) parent->_bf--;else parent->_bf++;//检查平衡因子状态if (parent->_bf == 0) break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}//不平衡，旋转else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == 2){//...}else{//...}break;}else{cout << "error: _bf";break;}
}

4. AVL树的旋转

 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左 子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡。

要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，  即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点 的平衡因子即可。

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：  1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在  2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

a.右单旋


void _RotateR(Node* pParent)
{// pSubL: pParent的左孩子// pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该PNode* pSubL = pParent->_pLeft;PNode* pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子pParent->_pLeft = pSubLR;// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲if (pSubLR) pSubLR->_pParent = pParent;// 60 作为 30的右孩子// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲PNode pPParent = pParent->_pParent;// 更新60的双亲pParent->_pParent = pSubL;// 更新30的双亲pSubL->_pParent = pPParent;// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针if (NULL == pPParent){_pRoot = pSubL;pSubL->_pParent = NULL;}else{// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树if (pPParent->_pLeft == pParent)pPParent->_pLeft = pSubL;elsepPParent->_pRight = pSubL;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}

b.左单旋 

 

具体细节与右单旋一致。

void _RotateL(Node* pParent)
{Node* RSub = pParent->_right;Node* RSubL = RSub->_left;Node* pPParent = pParent->_parent;if (RSubL) RSubL->_parent = pParent;pParent->_right = RSubL;RSub->_left = pParent;pParent->_parent = RSub;RSub->_parent = pPParent;if (pParent == _root) _root = RSub;else{if (pPParent->_left == pParent) pPParent->_left = RSub;else pPParent->_right = RSub;}//更新平衡因子RSub->_bf = pParent->_bf = 0;
}

c.先左旋在右旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再 考虑平衡因子的更新。

 

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
//行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{PNode pSubL = pParent->_pLeft;PNode pSubLR = pSubL->_pRight;// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节//点的平衡因子int bf = pSubLR->_bf;// 先对30进行左单旋_RotateL(pParent->_pLeft);// 再对90进行右单旋_RotateR(pParent);if (1 == bf)pSubL->_bf = -1;else if (-1 == bf)pParent->_bf = 1;
}

d. 先右旋在左旋

void _RotateRL(Node* pParent)
{Node* RSub = pParent->_right;Node* RSubL = RSub->_left;int bf = RSubL->_bf;_RotateR(RSub);_RotateL(pParent);RSub->_bf = 0;if (bf == 1){RSub->_bf = 0;pParent->_bf = -1;}else if (bf == -1){pParent->_bf = 0;RSub->_bf = 1;}else{RSub->_bf = pParent->_bf = 0;}
}

总结：

加入以parent为根的子树不平衡，即以parent的平衡因子为2或-2，分别考虑以下情况

        1.parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为RSub

                当RSub的平衡因子为1时，执行左单旋，

                当RSub的平衡因子为-1时，执行左右双旋。

        2.parent的平衡因子为-2 ，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为LSub

                当LSub的平衡因子为-1时，执行右单旋。

                当LSub的平衡因子为1时，执行做单旋。

当旋转接完成后，parent为根的子树高度已经降低，以及平衡，无需向上更新。

5.AVL树的验证

AVL树实在二叉搜索树的基础上加了平衡性的限制，因此要验证AVL树可以分为两步

        1.验证其为二叉搜索树

                如果中序遍历结果为有序，则为二叉搜索树

        2.验证其为平衡树

                1.每个子树高度差的绝对值不超过1

                2.节点平衡因子正确

void InOrder()
{_InOrder(_root);
}int GETHeight()
{return _GETHeight(_root);
}bool IsBalance()
{return _isBalance(_root);
}	bool _isBalance(Node* root)
{if (root->_bf >= 2 || root->_bf <= -1) return false;int HeightLeft = _GETHeight(root->_left);int HeightRight = _GETHeight(root->_right);if (abs(HeightRight - HeightLeft) > 1) return false;return _isBalance(root->_left) && _isBalance(root->_right);
}
int _GETHeight(Node* root)
{if (root == nullptr) return 0;return max(_GETHeight(root->_left), _GETHeight(root->_right)) + 1;
}
void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);
}

测试代码 

void test_AVL01()
{int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };AVLTree<int> t1;for (auto e : a){t1.Insert(e);//cout << "Insert:" << e << "->" << t1.IsBalance() << endl;}cout << t1.GETHeight() << endl;t1.InOrder();//cout << t1.IsBalance() << endl;
}

6.AVL树模拟代码

#pragma oncetemplate<class T>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(T key):_bf(0), _key(key){}AVLTreeNode* _left = nullptr;AVLTreeNode* _right = nullptr;AVLTreeNode* _parent = nullptr;int _bf;					//平衡因子T _key;
};template<class T>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:bool Insert(T key){Node* newnode = new Node(key);if (_root == nullptr){_root = newnode;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//寻找插入位置while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else return false;}//插入新的节点newnode->_parent = parent;if (key < parent->_key) parent->_left = newnode;else parent->_right = newnode;//更新平衡因子//插入后AVL树平衡，无需调整//插入后AVL树高度增加，继续向上调整cur = newnode;while (parent){if (cur == parent->_left) parent->_bf--;else parent->_bf++;//检查平衡因子状态if (parent->_bf == 0) break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}//不平衡，旋转else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == 2){//左单旋if (parent->_right->_bf == 1){_RotateL(parent);}else{_RotateRL(parent);}}else{//右单旋if (parent->_left->_bf == -1){_RotateR(parent);}else{_RotateLR(parent);}}break;}else{cout << "error: _bf";break;}}return true;}Node* Find(const T& key){Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key) cur = cur->_right;else if (key < cur->_key) cur = cur->_left;else return cur;}return nullptr;}size_t Size(){return _Size(_root);}void InOrder(){_InOrder(_root);}int GETHeight(){return _GETHeight(_root);}bool IsBalance(){return _isBalance(_root);}	
private:bool _isBalance(Node* root){if (root->_bf >= 2 || root->_bf <= -1) return false;int HeightLeft = _GETHeight(root->_left);int HeightRight = _GETHeight(root->_right);if (abs(HeightRight - HeightLeft) > 1) return false;return _isBalance(root->_left) && _isBalance(root->_right);}int _GETHeight(Node* root){if (root == nullptr) return 0;return max(_GETHeight(root->_left), _GETHeight(root->_right)) + 1;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}size_t _Size(Node* root){if (root == nullptr) return 0;size_t SizeLeft = _Size(root->_left);size_t SizeRight = _Size(root->_right);return SizeLeft + SizeRight + 1;}//右旋void _RotateR(Node* pParent){Node* LSub = pParent->_left;Node* LSubR = LSub->_right;Node* pPParent = pParent->_parent;if(LSubR)LSubR->_parent = pParent;pParent->_left = LSubR;LSub->_right = pParent;pParent->_parent = LSub;LSub->_parent = pPParent;if (pParent == _root) _root = LSub;else{if (pPParent->_left == pParent) pPParent->_left = LSub;else pPParent->_right = LSub;}//更新平衡因子LSub->_bf = pParent->_bf = 0;}//左旋void _RotateL(Node* pParent){Node* RSub = pParent->_right;Node* RSubL = RSub->_left;Node* pPParent = pParent->_parent;if (RSubL) RSubL->_parent = pParent;pParent->_right = RSubL;RSub->_left = pParent;pParent->_parent = RSub;RSub->_parent = pPParent;if (pParent == _root) _root = RSub;else{if (pPParent->_left == pParent) pPParent->_left = RSub;else pPParent->_right = RSub;}//更新平衡因子RSub->_bf = pParent->_bf = 0;}void _RotateRL(Node* pParent){Node* RSub = pParent->_right;Node* RSubL = RSub->_left;int bf = RSubL->_bf;_RotateR(RSub);_RotateL(pParent);RSub->_bf = 0;if (bf == 1){RSub->_bf = 0;pParent->_bf = -1;}else if (bf == -1){pParent->_bf = 0;RSub->_bf = 1;}else{RSub->_bf = pParent->_bf = 0;}}void _RotateLR(Node* pParent){Node* LSub = pParent->_left;Node* LSubR = LSub->_right;int bf = LSubR->_bf;_RotateL(LSub);_RotateR(pParent);LSub->_bf = 0;if (bf == 0){LSubR->_bf = LSubR->_bf = 0;}else if (bf == 1){LSub->_bf = -1;pParent->_bf = 0;}else if (bf == -1){LSub->_bf = 0;pParent->_bf = 1;}}private:Node* _root = nullptr;
};void test_AVL01()
{int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };AVLTree<int> t1;for (auto e : a){int i = 1;t1.Insert(e);//cout << "Insert:" << e << "->" << t1.IsBalance() << endl;}cout << t1.GETHeight() << endl;t1.InOrder();//cout << t1.IsBalance() << endl;
}void test_AVL02()
{const int N = 10000000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand() + i);//cout << v.back() << endl;}size_t begin2 = clock();AVLTree<int> t;for (auto e : v){t.Insert(e);//cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;}size_t end2 = clock();cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;//cout << t.IsBalance() << endl;cout << "Height:" << t.GETHeight() << endl;cout << "Size:" << t.Size() << endl;size_t begin1 = clock();// 确定在的值for (auto e : v){t.Find(e);}// 随机值/*for (size_t i = 0; i < N; i++){t.Find((rand() + i));}*/size_t end1 = clock();cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

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