【高等数学】一元函数积分及其应用:定积分与反常积分

文章目录

  • 第一节. 定积分
    • 一. 定积分的概念
      • 1. 定义
      • 2. 定积分存在定理
      • 3. 定积分的几何意义与求解
    • 二. 定积分的性质
      • 1. 不等式
      • 2. 中值定理
    • 三. 积分上限(为x)函数
      • 1. 积分上限函数定义
      • 2. 积分函数求导
      • 3. 积分函数的奇偶性变化
    • 四. 定积分的计算
  • 第二节. 反常积分
    • 一. 无穷区间上的积分:反常积分
      • 1. 定义
      • 2. 性质一:比较判别
      • 3. 性质二:极限形式
    • 二. 无界函数的反常积分
      • 1. 反常积分之开区间:瑕积分
      • 2. 性质:比较判别法
  • 第三节:几何应用

第一节. 定积分

一. 定积分的概念

1. 定义

在这里插入图片描述

  1. 分割,无限分份
  2. 求和:取任意一点
  3. 取极限:极限存在则可积
  1. 定积分表示一个数值,只与积分区间与被积函数有关,
  2. 利用定积分定义求极限
    在这里插入图片描述

 

2. 定积分存在定理

在这里插入图片描述

 

3. 定积分的几何意义与求解

在这里插入图片描述

 

二. 定积分的性质

1. 不等式

在这里插入图片描述
 

2. 中值定理

在这里插入图片描述

 

三. 积分上限(为x)函数

1. 积分上限函数定义

在这里插入图片描述

  1. fx在区间[a,b]的原函数
  2. 连续函数必有原函数

 

2. 积分函数求导

在这里插入图片描述
 

3. 积分函数的奇偶性变化

在这里插入图片描述
 

四. 定积分的计算

公式说明
在这里插入图片描述直接找原函数
在这里插入图片描述x换元,积分上下限,以及dx都换元
在这里插入图片描述根据上节的方法
在这里插入图片描述利用奇偶性、周期性
在这里插入图片描述sinx、cosx的积分

 

第二节. 反常积分

一. 无穷区间上的积分:反常积分

1. 定义

在这里插入图片描述

  1. 反常积分:积分区间是无穷的。
  2. 反常积分的收敛或发散。

 

2. 性质一:比较判别

在这里插入图片描述

  1. 小的发散则大的一定发散
  2. 大的收敛则小的一定收敛

 

3. 性质二:极限形式

在这里插入图片描述

  1. 常数说明同敛散性
  2. =0,说明分母比分子敛散性差,但如果分母收敛则分子一定收敛
  3. 无穷则相反,敛散性都差,看敛散性好的,分母发散则分子一定发散。

 

二. 无界函数的反常积分

1. 反常积分之开区间:瑕积分

在这里插入图片描述

  1. 瑕点:开区间的边界
  2. 瑕积分的敛散性:积分+极限

 

2. 性质:比较判别法

与无穷区间是类似的
在这里插入图片描述
 
常用结论
在这里插入图片描述

 

第三节:几何应用

1. 平面图形的面积:

在这里插入图片描述

  1. 函数减函数
  2. 极坐标:角度

 

2. 旋转体体积

在这里插入图片描述

  1. 找到积分元素:都是面积
  2. 找到积分上下限。

 

3. 曲线弧长

在这里插入图片描述

  1. 常见函数
  2. 参数函数
  3. 极坐标函数

 

4. 旋转体侧面积
在这里插入图片描述

ing。

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