文章目录
- 第一节. 定积分
- 一. 定积分的概念
- 1. 定义
- 2. 定积分存在定理
- 3. 定积分的几何意义与求解
- 二. 定积分的性质
- 1. 不等式
- 2. 中值定理
- 三. 积分上限(为x)函数
- 1. 积分上限函数定义
- 2. 积分函数求导
- 3. 积分函数的奇偶性变化
- 四. 定积分的计算
- 第二节. 反常积分
- 一. 无穷区间上的积分:反常积分
- 1. 定义
- 2. 性质一:比较判别
- 3. 性质二:极限形式
- 二. 无界函数的反常积分
- 1. 反常积分之开区间:瑕积分
- 2. 性质:比较判别法
- 第三节:几何应用
第一节. 定积分
一. 定积分的概念
1. 定义
- 分割,无限分份
- 求和:取任意一点
- 取极限:极限存在则可积
- 定积分表示一个数值,只与积分区间与被积函数有关,
- 利用定积分定义求极限
2. 定积分存在定理
3. 定积分的几何意义与求解
二. 定积分的性质
1. 不等式
2. 中值定理
三. 积分上限(为x)函数
1. 积分上限函数定义
- fx在区间[a,b]的原函数
- 连续函数必有原函数
2. 积分函数求导
3. 积分函数的奇偶性变化
四. 定积分的计算
公式 | 说明 |
---|---|
直接找原函数 | |
x换元,积分上下限,以及dx都换元 | |
根据上节的方法 | |
利用奇偶性、周期性 | |
sinx、cosx的积分 |
第二节. 反常积分
一. 无穷区间上的积分:反常积分
1. 定义
- 反常积分:积分区间是无穷的。
- 反常积分的收敛或发散。
2. 性质一:比较判别
- 小的发散则大的一定发散
- 大的收敛则小的一定收敛
3. 性质二:极限形式
- 常数说明同敛散性
- =0,说明分母比分子敛散性差,但如果分母收敛则分子一定收敛
- 无穷则相反,敛散性都差,看敛散性好的,分母发散则分子一定发散。
二. 无界函数的反常积分
1. 反常积分之开区间:瑕积分
- 瑕点:开区间的边界
- 瑕积分的敛散性:积分+极限
2. 性质:比较判别法
与无穷区间是类似的
常用结论
第三节:几何应用
1. 平面图形的面积:
- 函数减函数
- 极坐标:角度
2. 旋转体体积
- 找到积分元素:都是面积
- 找到积分上下限。
3. 曲线弧长
- 常见函数
- 参数函数
- 极坐标函数
4. 旋转体侧面积
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