PINN解偏微分方程实例4

一、正问题
- 1. Diffusion equation
- 2. Burgers’ equation
- 3. Allen–Cahn equation
- 4. Wave equation
二、反问题
- 1. Burgers’ equation
- 3. 部分代码示例

本文使用 PINN解偏微分方程实例1中展示的代码求解了以四个具体的偏微分方程，包括Diffusion，Burgers, Allen–Cahn和Wave方程，另外重新写了一个求解反问题的代码，以burger方程为例。

一、正问题

1. Diffusion equation

一维扩散方程:
$\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+e^{-t}\left(-\sin (\pi x)+\pi^{2} \sin (\pi x)\right), \quad x \in[-1,1], t \in[0,1] \\ u(x, 0)=\sin (\pi x) \\ u(-1, t)=u(1, t)=0 \end{array}$
其中 $u$ 是扩散物质的浓度。精确解是 $u(x,t)=sin(\pi x)e^{-t}$ 表示。

请添加图片描述

2. Burgers’ equation

Burgers方程的定义为：
$\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=v \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad x \in[-1,1], t \in[0,1], \\ u(x, 0)=-\sin (\pi x), \\ u(-1, t)=u(1, t)=0, \end{array}$
其中， $u$ 为流速， $ν$ 为流体的粘度。在本文中， $ν$ 设为 $0.01/\pi$ 。
请添加图片描述

3. Allen–Cahn equation

Allen–Cahn方程的形式如下:
$\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=D \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+5\left(u-u^{3}\right), \quad x \in[-1,1], t \in[0,1], \\ u(x, 0)=x^{2} \cos (\pi x), \\ u(-1, t)=u(1, t)=-1, \end{array}$
其中，扩散系数 $D = 0.001$ .

请添加图片描述

4. Wave equation

一维波动方程如下：
$\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0, \quad x \in[0,1], t \in[0,1], \\ u(0, t)=u(1, t)=0, \quad t \in[0,1], \\ u(x, 0)=\sin (\pi x)+\frac{1}{2} \sin (4 \pi x), \quad x \in[0,1], \\ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=0, \quad x \in[0,1], \end{array}$
精确解为：
$t)=\sin (\pi x) \cos (2 \pi t)+\frac{1}{2} \sin (4 \pi x) \cos (8 \pi t) .$

二、反问题

1. Burgers’ equation

Burgers方程的定义为：
$\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=v \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad x \in[-1,1], t \in[0,1], \\ u(x, 0)=-\sin (\pi x), \\ u(-1, t)=u(1, t)=0, \end{array}$
其中， $u$ 为流速， $ν$ 为流体的粘度。
这里假设 $v$ 未知，我们同时求解方程的解和v的值。

在这里插入图片描述

3. 部分代码示例

import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltsin = torch.sin
cos = torch.cos
exp = torch.exp
pi = torch.piepochs = 50000    # 训练代数,要为1000的整数倍
h = 100    # 画图网格密度
N = 30    # 内点配置点数
N1 = 10    # 边界点配置点数
N2 = 5000    # 数据点# error
L2_error = []
L2_error_data = []
L2_error_eq = []
# Training
u = MLP()
opt = torch.optim.Adam(params=u.parameters())
xt, u_real = test_data(x_inf=-1, x_sup=1, t_inf=0, t_sup=1, h=h)
print("**************** equation+data ********************")
for i in range(epochs):opt.zero_grad()l = l_interior(u) \+ l_down(u) \+ l_left(u) \+ l_right(u) \+ l_data(u)l.backward()opt.step()if (i+1) % 1000 == 0 or i == 0:u_pred = u(xt)error = l2_relative_error(u_real, u_pred.detach().numpy())L2_error.append(error)print("L2相对误差: ", error)u1 = MLP()
opt = torch.optim.Adam(params=u1.parameters())
print("**************** data ********************")
for i in range(epochs):opt.zero_grad()l = l_data(u1)l.backward()opt.step()if (i+1) % 1000 == 0 or i == 0:u_pred = u1(xt)error = l2_relative_error(u_real, u_pred.detach().numpy())L2_error_data.append(error)print("L2相对误差: ", error)u2 = MLP()
opt = torch.optim.Adam(params=u2.parameters())
print("**************** equation ********************")
for i in range(epochs):opt.zero_grad()l = l_interior(u2) \+ l_down(u2) \+ l_left(u2) \+ l_right(u2)l.backward()opt.step()if (i+1) % 1000 == 0 or i == 0:u_pred = u2(xt)error = l2_relative_error(u_real, u_pred.detach().numpy())L2_error_eq.append(error)print("L2相对误差: ", error)print("********************************")
print("PINN相对误差为: ", L2_error[-1])
print("equation相对误差为: ", L2_error_eq[-1])
print("data相对误差为: ", L2_error_data[-1])
print("********************************")x = range(int(epochs / 1000 + 1))
plt.plot(x, L2_error, c='red', label='pinn')
plt.plot(x, L2_error_data, c='blue', label='only data')
plt.plot(x, L2_error_eq, c='yellow', label='only equation')
plt.scatter(x, L2_error, c='red')
plt.scatter(x, L2_error_data, c='blue')
plt.scatter(x, L2_error_eq, c='yellow')
plt.yscale('log')
plt.legend()
plt.show()