【C语言 || 数据结构】二叉树

文章目录

    • 前言
  • 二叉树
    • 1.树
      • 1.1树的定义
      • 1.2 树的结构
    • 2.特殊的树(二叉树)
      • 2.1 二叉树的概念
      • 2.2 特殊的二叉树
      • 2.3 二叉树的储存
        • 2.3.1 顺序储存二叉树
        • 2.3.2 链表储存二叉树
      • 2.4 二叉树的遍历
        • 2.4.1 二叉树的中序遍历
        • 2.4.2 二叉树的前序遍历
        • 2.4.3 二叉树的后序遍历
      • 2.5 二叉树的接口函数
        • 2.5.1 二叉树的节点的创建
        • 2.5.2 二叉树的节点的个数
        • 2.5.3 二叉树的深度
        • 2.5.4 二叉树的叶子节点的个数
        • 2.5.5 二叉树第k层的节点个数
        • 2.5.6 二叉树的销毁

前言

二叉树是一种基本且高效的数据结构,每个节点最多有两个子节点:左子节点和右子节点。由于其结构简洁和操作的便捷性,二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用。

二叉树

这是棵二叉树,”very标准"的一颗二叉树

在这里插入图片描述

1.树

树是一种非线性的数据结构,是由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把他叫做树,是因为他是一个倒挂的树,也就是根是朝上的,而叶子是朝下的。
根节点:这棵树的根。

在这里插入图片描述

1.1树的定义

  • 结点的:一个结点含有的子树的个数称为该结点的度;
  • 叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶子结点;
  • 非终端结点或分支结点:度不为0的结点;
  • 双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点;
  • 孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点;
  • 兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点;
  • 树的度:一棵树中,最大的结点的度称为树的度;
  • 结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推;
  • 树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4
  • 堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点
  • 结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖
  • 子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙
  • 森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

1.2 树的结构

我们应该如何来定义这棵树,

struct Tree
{TDataType a;struct SeqList Sq; //这里需要定义一个顺序表来记载节点地址
};

是这样定义一个顺序表嘛,这样不会觉得很麻烦嘛。
于是就有一个人提出了“左孩子,右兄弟”的结构。

struct Tree
{TDataType a;struct Tree* leftchild;struct Tree* rightborther;
};

在这里插入图片描述

2.特殊的树(二叉树)

2.1 二叉树的概念

二叉树(Binary Tree)是一种特殊的树形数据结构,它的每个节点最多有两个子节点,通常被称为左子节点和右子节点。二叉树具有递归的性质,即一个二叉树由根节点、左子树和右子树组成,而左子树和右子树又分别可以是二叉树。

2.2 特殊的二叉树

  • 满二叉树:每一层都是满的,节点个数等于2的层数-1次方。
  • 完美二叉树:前n-1层都是满的,最后一层从左到右是不间断的,最少的完美二叉树,最下面一层只有一个节点。

2.3 二叉树的储存

二叉树的储存是有两种,一个是数组储存,一个是链表储存。

2.3.1 顺序储存二叉树

就是由数组来储存,物理是数组,逻辑上是二叉树,顺序二叉树,最好是完美二叉树,那样就可以符合孩子找得到“爹”,“爹”找的到孩子的情况:

  • parent = (child-1) / 2;
  • child = parent * 2 + 1;

这个主要是运用在堆中,可以使用数组来储存二叉树。

在这里插入图片描述

2.3.2 链表储存二叉树

在这里用链表来储存二叉树,是可以直接用“左孩子,右孩子”的思想

在这里插入图片描述

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTree 
{BTDataType val;struct Tree* leftchild;struct Tree* rightborther;
}BTNode;

2.4 二叉树的遍历

二叉树的遍历是按照递归来进行的,主要是分为前序遍历,中序遍历和后序遍历来遍历二叉树的,前序是按照“根-左子树-右子树”的顺序遍历的,中序是按照“左子树-根-右子树”的顺序遍历的,后序是按照“左子树-右子树-根”的顺序遍历的。

在这里插入图片描述

2.4.1 二叉树的中序遍历

二叉树的中序遍历是按照“左孩子-根-右孩子” 的方式进行的。直到遇到空才开始返回。

// 二叉树中序遍历 
void BinaryTreeOrder(BTNode* root)
{if(root == NULL)return;BinaryTreePrevOrder(root->left);printf("%d ",root->val);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
2.4.2 二叉树的前序遍历

二叉树的前序遍历是按照“根-左孩子-右孩子” 的方式进行的,只有当左孩子遇到空才开始返回,并输出值。

// 二叉树中序遍历 
void BinaryTreeprevOrder(BTNode* root)
{if(root == NULL)return;printf("%d ",root->val);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
2.4.3 二叉树的后序遍历

二叉树的前序遍历是按照“左孩子-右孩子-根” 的方式进行的,只有当左孩子遇到空才开始返回,并输出值。

// 二叉树中序遍历 
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if(root == NULL)return;BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);printf("%d ",root->val);
}

2.5 二叉树的接口函数

2.5.1 二叉树的节点的创建

创建一个节点,进行malloc(),然后给他的成员赋值,最后返回。

BTNode* BinaryTreeNode(BTDataType x)
{BTNode* tmp = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if(tmp == NULL){perror("malloc fail!");return;}tmp->left = NULL;tmp->right = NULL;tmp->val = x;return tmp;}
2.5.2 二叉树的节点的个数

判断当前root是否为NULL,为空则返回0,非空则进入左右子树,最后加上个一,是树的根节点。

int BinaryTreeleafSize(BTNode* root)
{return root == 0 ? 0 : BinaryTreeleafSize(root->left) + BinaryTreeleafSize(root->right) + 1;
}
2.5.3 二叉树的深度

如果不记载下来,这个是个形参,修改形参,对实参无影响,所以使用两个变量来记载深度。

int BinaryTreeHight(BTNode* root)
{if(root == NULL)return 0;leftheigth = BinaryTreeHight(root->left);rightheigth = BinaryTreeHight(root->right);return leftheigth > rightheigth ? leftheigth + 1 : rightheigth + 1;
}
2.5.4 二叉树的叶子节点的个数

叶子节点就是无左子树,无右子树的节点,所以只需要判断他不是NULL,且这个节点无左子树,无右子树即可。

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if(root == NULL)return 0;if(root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
2.5.5 二叉树第k层的节点个数

第k层是第一层的第k层,是第二层的k-1层,是第三层的k-2层。。。

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int* k)
{if(root == NULL)return 0;if(k == 1)return 1;return BinaryTreeLevelKSize(root->left) + BinaryTreeLevelKSize(root->right);
}
2.5.6 二叉树的销毁

这里有没有必要将root制空呢,没必要,因为修改完之后的形参改变,影响不了实参的改变

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if(root == NULL)return ;BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}

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