文章目录
- 前言
- 二叉树
- 1.树
- 1.1树的定义
- 1.2 树的结构
- 2.特殊的树(二叉树)
- 2.1 二叉树的概念
- 2.2 特殊的二叉树
- 2.3 二叉树的储存
- 2.3.1 顺序储存二叉树
- 2.3.2 链表储存二叉树
- 2.4 二叉树的遍历
- 2.4.1 二叉树的中序遍历
- 2.4.2 二叉树的前序遍历
- 2.4.3 二叉树的后序遍历
- 2.5 二叉树的接口函数
- 2.5.1 二叉树的节点的创建
- 2.5.2 二叉树的节点的个数
- 2.5.3 二叉树的深度
- 2.5.4 二叉树的叶子节点的个数
- 2.5.5 二叉树第k层的节点个数
- 2.5.6 二叉树的销毁
前言
二叉树是一种基本且高效的数据结构,每个节点最多有两个子节点:左子节点和右子节点。由于其结构简洁和操作的便捷性,二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用。
二叉树
这是棵二叉树,”very标准"的一颗二叉树
1.树
树是一种非线性的数据结构,是由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把他叫做树,是因为他是一个倒挂的树,也就是根是朝上的,而叶子是朝下的。
根节点:这棵树的根。
1.1树的定义
- 结点的度:一个结点含有的子树的个数称为该结点的度;
- 叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶子结点;
- 非终端结点或分支结点:度不为0的结点;
- 双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点;
- 孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点;
- 兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点;
- 树的度:一棵树中,最大的结点的度称为树的度;
- 结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推;
- 树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4
- 堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点
- 结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖
- 子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙
- 森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;
1.2 树的结构
我们应该如何来定义这棵树,
struct Tree
{TDataType a;struct SeqList Sq; //这里需要定义一个顺序表来记载节点地址
};
是这样定义一个顺序表嘛,这样不会觉得很麻烦嘛。
于是就有一个人提出了“左孩子,右兄弟”的结构。
struct Tree
{TDataType a;struct Tree* leftchild;struct Tree* rightborther;
};
2.特殊的树(二叉树)
2.1 二叉树的概念
二叉树(Binary Tree)是一种特殊的树形数据结构,它的每个节点最多有两个子节点,通常被称为左子节点和右子节点。二叉树具有递归的性质,即一个二叉树由根节点、左子树和右子树组成,而左子树和右子树又分别可以是二叉树。
2.2 特殊的二叉树
- 满二叉树:每一层都是满的,节点个数等于2的层数-1次方。
- 完美二叉树:前n-1层都是满的,最后一层从左到右是不间断的,最少的完美二叉树,最下面一层只有一个节点。
2.3 二叉树的储存
二叉树的储存是有两种,一个是数组储存,一个是链表储存。
2.3.1 顺序储存二叉树
就是由数组来储存,物理是数组,逻辑上是二叉树,顺序二叉树,最好是完美二叉树,那样就可以符合孩子找得到“爹”,“爹”找的到孩子的情况:
- parent = (child-1) / 2;
- child = parent * 2 + 1;
这个主要是运用在堆中,可以使用数组来储存二叉树。
2.3.2 链表储存二叉树
在这里用链表来储存二叉树,是可以直接用“左孩子,右孩子”的思想
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTree
{BTDataType val;struct Tree* leftchild;struct Tree* rightborther;
}BTNode;
2.4 二叉树的遍历
二叉树的遍历是按照递归来进行的,主要是分为前序遍历,中序遍历和后序遍历来遍历二叉树的,前序是按照“根-左子树-右子树”的顺序遍历的,中序是按照“左子树-根-右子树”的顺序遍历的,后序是按照“左子树-右子树-根”的顺序遍历的。
2.4.1 二叉树的中序遍历
二叉树的中序遍历是按照“左孩子-根-右孩子” 的方式进行的。直到遇到空才开始返回。
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeOrder(BTNode* root)
{if(root == NULL)return;BinaryTreePrevOrder(root->left);printf("%d ",root->val);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
2.4.2 二叉树的前序遍历
二叉树的前序遍历是按照“根-左孩子-右孩子” 的方式进行的,只有当左孩子遇到空才开始返回,并输出值。
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeprevOrder(BTNode* root)
{if(root == NULL)return;printf("%d ",root->val);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
2.4.3 二叉树的后序遍历
二叉树的前序遍历是按照“左孩子-右孩子-根” 的方式进行的,只有当左孩子遇到空才开始返回,并输出值。
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if(root == NULL)return;BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);printf("%d ",root->val);
}
2.5 二叉树的接口函数
2.5.1 二叉树的节点的创建
创建一个节点,进行malloc(),然后给他的成员赋值,最后返回。
BTNode* BinaryTreeNode(BTDataType x)
{BTNode* tmp = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if(tmp == NULL){perror("malloc fail!");return;}tmp->left = NULL;tmp->right = NULL;tmp->val = x;return tmp;}
2.5.2 二叉树的节点的个数
判断当前root是否为NULL,为空则返回0,非空则进入左右子树,最后加上个一,是树的根节点。
int BinaryTreeleafSize(BTNode* root)
{return root == 0 ? 0 : BinaryTreeleafSize(root->left) + BinaryTreeleafSize(root->right) + 1;
}
2.5.3 二叉树的深度
如果不记载下来,这个是个形参,修改形参,对实参无影响,所以使用两个变量来记载深度。
int BinaryTreeHight(BTNode* root)
{if(root == NULL)return 0;leftheigth = BinaryTreeHight(root->left);rightheigth = BinaryTreeHight(root->right);return leftheigth > rightheigth ? leftheigth + 1 : rightheigth + 1;
}
2.5.4 二叉树的叶子节点的个数
叶子节点就是无左子树,无右子树的节点,所以只需要判断他不是NULL,且这个节点无左子树,无右子树即可。
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if(root == NULL)return 0;if(root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
2.5.5 二叉树第k层的节点个数
第k层是第一层的第k层,是第二层的k-1层,是第三层的k-2层。。。
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int* k)
{if(root == NULL)return 0;if(k == 1)return 1;return BinaryTreeLevelKSize(root->left) + BinaryTreeLevelKSize(root->right);
}
2.5.6 二叉树的销毁
这里有没有必要将root制空呢,没必要,因为修改完之后的形参改变,影响不了实参的改变
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if(root == NULL)return ;BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}