标准正交基下的坐标向量

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标准正交基是指在二维或更高维空间中，由单位向量构成的一组基底向量，这些向量彼此正交且模长为1。在二维空间中，标准正交基通常由以下两个向量组成：
$${\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$
这两个向量分别沿着 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向。

标准正交基下的坐标向量

任何一个二维向量都可以用这组标准正交基表示。例如，一个向量 $$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$ 可以表示为：$$\mathbf{x}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2$$
在标准正交基下，坐标向量 $\mathbf{x}$ 的分量 $x$ 和 $y$ 直接代表了向量在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的投影长度。

标准正交基的性质

1. 正交性 ：两个基向量彼此正交，即内积为零。$${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=0$$

2. 单位长度 ：每个基向量的长度为1。$$\Vert {\mathbf{e}}_1\Vert =1,\Vert {\mathbf{e}}_2\Vert =1$$

几何意义

在标准正交基下，椭圆的方程 $${\mathbf{z}}^T\mathbf{z}=1$$ 描述了一个单位圆，其中心在原点，半径为1。变换矩阵 $$L$$ 将这个单位圆拉伸并旋转，形成一个椭圆。

椭圆方程的推导

在标准正交基下，一个单位圆的方程为：
$${\mathbf{z}}^T\mathbf{z}=z_1^2+z_2^2=1$$
通过线性变换 $\mathbf{x}=L\mathbf{z}$，其中 $L$ 是由协方差矩阵的特征值和特征向量构成的变换矩阵，可以将单位圆变换成椭圆。此时，新的坐标向量 $\mathbf{x}$ 在标准正交基下的表示形式变为：$${\mathbf{x}}^T{\Sigma }^{-1}\mathbf{x}=1$$

特征值和特征向量的几何意义

• 特征向量 ：表示椭圆的主要轴方向。

• 特征值 ：表示椭圆沿特征向量方向的伸缩因子。