🎯要点

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📜有限差分法 | 本文 - 用例

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🍇Python有限差分逼近余弦导数

函数$f(x)$在$x=a$点的导数$f^{\prime }(x)$定义为：
$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
$x=a$ 处的导数就是此时的斜率。在该斜率的有限差分近似中，我们可以使用点 $x=a$ 附近的函数值来实现目标。不同的应用中使用了多种有限差分公式，下面介绍其中的三种，其中导数是使用两点的值计算的。

前向差分是使用连接 $\left(x_j,f\left(x_j\right)\right)$ 和 $\left(x_{j+1},f\left(x_{j+1}\right)\right)$​的线来估计 $x_j$ 处函数的斜率：
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{x_{j+1}-x_j}$$
后向差分是使用连接 $\left(x_{j-1},f\left(x_{j-1}\right)\right)$ 和 $\left(x_j,f\left(x_j\right)\right)$ 的线来估计 $x_j$ 处函数的斜率：
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_j\right)-f\left(x_{j-1}\right)}{x_j-x_{j-1}}$$
中间差分是使用连接 $\left(x_{j-1},f\left(x_{j-1}\right)\right)$ 和 $\left(x_{j+1},f\left(x_{j+1}\right)\right)$ 的线来估计$x_j$ 处函数的斜率：
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_{j-1}\right)}{x_{j+1}-x_{j-1}}$$
为了导出 $f$ 导数的近似值 ，我们回到泰勒级数。对于任意函数 $f(x)$，对于任意函数 $f(x)$ ， $f$ 围绕 $a=x_j$ 的泰勒级数是 $f(x)=\frac{f\left(x_j\right){\left(x-x_j\right)}^0}{0!}+\frac{f^{\prime }\left(x_j\right){\left(x-x_j\right)}^1}{1!}+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right){\left(x-x_j\right)}^2}{2!}+\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right){\left(x-x_j\right)}^3}{3!}+\cdots$

如果 $x$ 位于间距为 $h$ 的点网格上，我们可以计算 $x=x_{j+1}$ 处的泰勒级数以获得
$$f\left(x_{j+1}\right)=\frac{f\left(x_j\right){\left(x_{j+1}-x_j\right)}^0}{0!}+\frac{f^{\prime }\left(x_j\right){\left(x_{j+1}-x_j\right)}^1}{1!}+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right){\left(x_{j+1}-x_j\right)}^2}{2!}+\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right){\left(x_{j+1}-x_j\right)}^3}{3!}+\cdots$$
代入 $h=x_{j+1}-x_j$ 并求解 $f^{\prime }\left(x_j\right)$ 得出方程
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{h}+\left(-\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right)h}{2!}-\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right)h^2}{3!}-\cdots \right)$$
括号中的项 $-\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right)h}{2!}-\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right)h^2}{3!}-\cdots$ 被称为 $h$ 的高阶项。高阶项可以重写为
$$-\frac{f^{\prime \prime }\left(x_j\right)h}{2!}-\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_j\right)h^2}{3!}-\cdots =h(\alpha +ϵ(h))$$
其中 $\alpha$ 是某个常数，$ϵ(h)$ 是 $h$ 的函数，当 $h$ 变为 0 时，该函数也变为 0。你可以用一些代数来验证这是真的。我们使用缩写“$O(h)$”来表示$h(\alpha +ϵ(h))$，并且一般来说，我们使用缩写“$O\left(h^p\right)$”来表示$h^p(\alpha +ϵ(h))$

将 $O(h)$ 代入前面的方程得出
$$f^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{h}+O(h)$$
这给出了近似导数的前向差分公式为
$$f^{\prime }\left(x_j\right)\approx \frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{h}$$
我们说这个公式是 $O(h)$。

💦示例：余弦函数 $f(x)=\cos (x)$。我们知道$\cos (x)$的导数是$-\sin (x)$​。尽管在实践中我们可能不知道我们求导的基础函数，但我们使用简单的例子来说明上述数值微分方法及其准确性。以下代码以数值方式计算导数。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('seaborn-poster')
%matplotlib inline

h = 0.1
x = np.arange(0, 2*np.pi, h) 
y = np.cos(x) forward_diff = np.diff(y)/h 
x_diff = x[:-1:] 
exact_solution = -np.sin(x_diff) plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.plot(x_diff, forward_diff, '--', \label = 'Finite difference approximation')
plt.plot(x_diff, exact_solution, \label = 'Exact solution')
plt.legend()
plt.show()max_error = max(abs(exact_solution - forward_diff))
print(max_error)

0.049984407218554114

如上图所示，两条曲线之间存在微小的偏移，这是由于数值导数求值时的数值误差造成的。两个数值结果之间的最大误差约为 0.05，并且预计会随着步长的增大而减小。

💦示例：以下代码使用递减步长 $h$ 的前向差分公式计算 $f(x)=\cos (x)$ 的数值导数。然后，它绘制近似导数和真实导数之间的最大误差与 $h$ 的关系，如生成的图形所示。

h = 1
iterations = 20 
step_size = [] 
max_error = [] for i in range(iterations):h /= 2 step_size.append(h) x = np.arange(0, 2 * np.pi, h) y = np.cos(x) forward_diff = np.diff(y)/h x_diff = x[:-1] exact_solution = -np.sin(x_diff) max_error.append(\max(abs(exact_solution - forward_diff)))
plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.loglog(step_size, max_error, 'v')
plt.show()

双对数空间中直线的斜率为 1 ；因此，误差与$h^1$成正比，这意味着，正如预期的那样，前向差分公式为$O(h)$。

👉参阅一：计算思维

👉参阅二：亚图跨际