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1 超图

在数学中，超图（Hypergraph）是一种广义上的图，是有限集合中最一般的离散结构，在信息科学、生命科学等领域有着广泛的应用。（如果有疑问，可以参看我写的另外一篇超图基础知识的博客。）
图 由 边（edge） 和 顶点（vertex 或 node） 组成。
超图 由 超边（hyperedge） 和 顶点（vertex） 组成。

类型	元素
图	顶点 + 边
超图	顶点 + 超边

普通图，一条边只能连接两个顶点，而超图的一条边可以连接任意数量的顶点。
记超图为 $G$，顶点集合为 $\mathcal{V}$，超边集合为 $\mathcal{E}$，则有
$$G=(\mathcal{V},\mathcal{E})$$
如果是加权超图，则：
$$G=(\mathcal{V},\mathcal{E},W)$$
其中 $W$ 表示权重。

对于顶点集合 $\mathcal{V}$ 中的任意顶点 $v$，可以表示为 $v\in \mathcal{V}$；
对于超边集合 $\mathcal{E}$ 中的任意超边 $e$，可以表示为 $e\in \mathcal{E}$，且 $e\subset V$。

2 代码

顶点 $v$ 应该包含一些属性：

• 名称 —— 顶点得有一个专属编码吧，不与其他顶点重复，用于区分不同的顶点；
• 权重 —— 顶点的权重，这个可有可无，看你的实际需求。

变量：类型	含义	符号
Vertex: class	顶点	$v$
name: str (int)	顶点名称
weight: float	顶点权重	$w(v)$

那么确定好顶点的属性之后，就可以定义顶点类了。

class Vertex:def __init__(self, name: str = None, weight: float = None):self.name = nameself.weight = weight

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超边 $e$ 应该包含一些属性：

• 名称 —— 超边得有一个专属编码吧，不与其他超边重复，用于区分不同的超边；
• 顶点集 —— 超边是由特定的顶点集组成的，那么得保存该超边包含的顶点集；
• 权重 —— 超边的权重，这个可有可无，看你的实际需求。

变量：类型	含义	符号
Edge: class	超边	$e$
name: str (int)	超边名称
vertices: List [Vertex]	超边包含的顶点集	${\bigcup }_{v\in e}v$
weight: float	超边权重	$w(e)$

那么确定好超边的属性之后，就可以定义超边类了。

from typing import List
import Vertexclass Edge:def __init__(self, name: str = None, weight: float = None, vertices: List[Vertex] = None):self.name = nameself.weight = weightself.vertices = vertices

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超图 $G$ 是由顶点集 $V$ 和超边集 $E$ 组成的。那么定义 $G$ 只需要将 $V$ 和 $E$ 的定义组装起来就可以啦。

超图 $G$ 应该包含一些属性：

• 顶点集 —— 对应 $V$；
• 超边集 —— 对应 $E$；
• 关联矩阵 —— 这个可有可无，看你的实际需求；
• 顶点度 —— 这个可有可无，看你的实际需求；
• 超边度 —— 这个可有可无，看你的实际需求；
• 顶点度矩阵 —— 这个可有可无，看你的实际需求；
• 超边度矩阵 —— 这个可有可无，看你的实际需求；

变量：类型	含义	符号
Hypergraph: class	超图	$G$
vertices: List [Vertex]	顶点集	$V$
edges: List [Edge]	超边集	$E$
num_vertices: int	顶点的数量	$|V|$
num_edges: int	超边的数量	$|E|$
incident_matrix: np.ndarray	关联矩阵	$H$
vertices_degree: np.ndarray	所有顶点的度	$d$
edges_degree: np.ndarray	所有超边的度	$\delta$
vertex_degree_diagonal_matrix: np.ndarray	顶点度组成的对角矩阵	$D_v$
edge_degree_diagonal_matrix: np.ndarray	超边度组成的对角矩阵	$D_e$

超图类定义：

from typing import List
import numpy as npimport Edge
import Vertexclass Hypergraph(object):def __init__(self, vertices: List[Vertex] = None, edges: List[Edge] = None):self.vertices = verticesself.edges = edgesif vertices is None or edges is None:self.num_vertices = 0self.num_edges = 0self.incident_matrix = Noneself.vertices_degree = Noneself.edges_degree = Noneself.vertex_degree_diagonal_matrix = Noneself.edge_degree_diagonal_matrix = Noneelse:self.num_vertices = len(vertices)self.num_edges = len(edges)self.incident_matrix = self.calculate_incident_matrix()self.vertices_degree = self.calculate_vertex_degree()self.edges_degree = self.calculate_edge_degree()self.vertex_degree_diagonal_matrix = self.calculate_diagonal_matrix_of_vertex_degree()self.edge_degree_diagonal_matrix = self.calculate_diagonal_matrix_of_edge_degree()def init_hypergraph_from_files(self, dataset_dir: str):self.vertices, self.edges = hypergraph_construction(dataset_dir)self.num_vertices = len(self.vertices)self.num_edges = len(self.edges)self.incident_matrix = self.calculate_incident_matrix()self.vertices_degree = self.calculate_vertex_degree()self.edges_degree = self.calculate_edge_degree()self.vertex_degree_diagonal_matrix = self.calculate_diagonal_matrix_of_vertex_degree()self.edge_degree_diagonal_matrix = self.calculate_diagonal_matrix_of_edge_degree()def calculate_incident_matrix(self):"""Calculate the incident matrix of the hypergraph.:return: The incident matrix of the hypergraph."""incident_matrix = np.zeros(shape=(self.num_vertices, self.num_edges), dtype=int)for i in range(self.num_vertices):vertex = self.vertices[i]for j in range(self.num_edges):edge = self.edges[j]if vertex in edge.vertices:incident_matrix[i, j] = 1return incident_matrixdef calculate_vertex_degree(self):"""Calculate the degree of vertices in the hypergraph.:return: The degree of vertices in the hypergraph."""edge_weights = np.zeros(shape=(self.num_edges,), dtype=np.float64)for i in range(self.num_edges):edge = self.edges[i]edge_weights[i] = edge.weightedge_weights = edge_weights.reshape(-1, 1)vertex_degree_array = np.dot(self.incident_matrix, edge_weights)return vertex_degree_array.reshape(vertex_degree_array.size, )def calculate_edge_degree(self):"""Calculate the degree of edges in the hypergraph.:return: The degree of edges in the hypergraph."""edges_degree = self.incident_matrix.sum(axis=0)return edges_degreedef calculate_diagonal_matrix_of_vertex_degree(self):"""Create a diagonal matrix with the degrees of vertex as the diagonal elements.:return: The diagonal matrix."""return np.diag(self.vertices_degree)def calculate_diagonal_matrix_of_edge_degree(self):"""Create a diagonal matrix with the degrees of edge as the diagonal elements.:return: The diagonal matrix."""return np.diag(self.edges_degree)

3 说明

以上代码注重 “低耦合、高内聚” 的设计理念。在实际中，为了简略和便捷，往往会简化以上代码。请根据需要设计代码。

4 参考

1. 超图（Hypergraph）基础——论文细品——《Learning with hypergraphs: Clustering, classification, and embedding》
2. 集智百科