半导体光电子学最后总结(3)光子晶体

Matrix theory

波传输矩阵 (Wave-Transfer Matrix)

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散射矩阵 (Scattering Matrix)

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光在均匀介质中的传播公式矩阵化

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Relation between Scattering Matrix and Wave-Transfer Matrix

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级联系统的投射/反射系数:艾里公式 (Airy Formulas)

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无损对称系统

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斜入射波的传输特性 Off-Axis Waves

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Fabry–Perot Etalon

法布里–珀罗腔由两块平行的部分反射镜构成,光在这两块反射镜之间多次反射,形成多重干涉。这种多重反射和干涉的结果是,只有满足一定条件的光波才能强烈透过,而其他光波被强烈反射。

干涉条件和相位关系

对于波长为 λ \lambda λ 的光波,经过一轮往返传播(从一个反射镜到另一个反射镜再返回)的相位变化为:

Δ ϕ = 2 π d λ \Delta \phi = \frac{2 \pi d}{\lambda} Δϕ=λ2πd
当光波经过多次反射和透射后,只有那些其相位差为整数倍 ( 2 π ) (2 \pi) (2π) 的光波才能产生相长干涉,从而强烈透过,这就是法布里–珀罗干涉的基本原理。

振幅透射率和强度透射率

振幅透射率(Amplitude Transmittance)描述光波通过Fabry-Perot腔的振幅变化。其公式为:
t = t 1 t 2 exp ⁡ ( − j φ ) 1 − r 1 r 2 exp ⁡ ( − j 2 φ ) t = \frac{t_1 t_2 \exp(-j\varphi)}{1 - r_1 r_2 \exp(-j2\varphi)} t=1r1r2exp(j2φ)t1t2exp(jφ)

假设入射光振幅为 E 0 E_0 E0,通过腔后的透射光振幅为 E t E_t Et,则:
E t = t E 0 = t 1 t 2 exp ⁡ ( − j φ ) 1 − r 1 r 2 exp ⁡ ( − j 2 φ ) E 0 E_t = tE_0 = \frac{t_1 t_2 \exp(-j\varphi)}{1 - r_1 r_2 \exp(-j2\varphi)} E_0 Et=tE0=1r1r2exp(j2φ)t1t2exp(jφ)E0

强度透射率(Intensity Transmittance)则描述光波通过腔后的强度变化。其公式为:
T = ∣ t ∣ 2 = ∣ t 1 t 2 ∣ 2 ∣ 1 − r 1 r 2 exp ⁡ ( − j 2 φ ) ∣ 2 \mathcal{T} = |t|^2 = \frac{|t_1 t_2|^2}{|1 - r_1 r_2 \exp(-j2\varphi)|^2} T=t2=∣1r1r2exp(j2φ)2t1t22

最大强度透射率 T max \mathcal{T}_{\text{max}} Tmax的公式如下:
T max = ∣ t 1 t 2 ∣ 2 ( 1 − ∣ r 1 r 2 ∣ ) 2 = ( 1 − ∣ r 1 ∣ 2 ) ( 1 − ∣ r 2 ∣ 2 ) ( 1 − ∣ r 1 r 2 ∣ ) 2 \mathcal{T}_{\text{max}} = \frac{|t_1 t_2|^2}{(1 - |r_1 r_2|)^2} = \frac{(1 - |r_1|^2)(1 - |r_2|^2)}{(1 - |r_1 r_2|)^2} Tmax=(1r1r2)2t1t22=(1r1r2)2(1r12)(1r22)

该公式表示当光的相位条件完全共振时,腔的最大透射率。

腔的品质因数(Finesse)

品质因数 F \mathcal{F} F是衡量Fabry-Perot腔质量的一个重要参数。它表示腔的共振峰的锐利程度。品质因数的公式为:
F = π ∣ r 1 r 2 ∣ 1 − ∣ r 1 r 2 ∣ \mathcal{F} = \frac{\pi \sqrt{|r_1 r_2|}}{1 - |r_1 r_2|} F=1r1r2πr1r2

这个公式表明品质因数与两个反射镜的反射系数有关。当反射系数越高(即反射镜越好),品质因数越大,表明腔的共振峰越尖锐。

假设反射系数的乘积的相位为零,即:
arg ( r 1 r 2 ) = 0 \text{arg}(r_1 r_2) = 0 arg(r1r2)=0

在这种情况下,可以简化强度透射率的表达式。假设满足这一条件后,强度透射率 T \mathcal{T} T可以进一步简化为:
T = T max 1 + ( 2 F π ) 2 sin ⁡ 2 φ \mathcal{T} = \frac{\mathcal{T}_{\text{max}}}{1 + \left(\frac{2\mathcal{F}}{\pi}\right)^2 \sin^2 \varphi} T=1+(π2F)2sin2φTmax

自由光谱范围(Free Spectral Range, FSR)

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调节两个镜子之间距离d的影响

谐振频率变化量:
Δ ν q = − ( q c 2 d 2 ) Δ d = − ν q Δ d d \Delta ν_q = -\left(\frac{qc}{2d^2}\right) \Delta d = -ν_q \frac{\Delta d}{d} Δνq=(2d2qc)Δd=νqdΔd
q q q 是谐振模数,谐振频率的公式为: ν q = q c 2 d ν_q = \frac{qc}{2d} νq=2dqc

自由光谱范围变化量:

Δ ν F = − ν F Δ d d \Delta ν_F = -ν_F \frac{\Delta d}{d} ΔνF=νFdΔd
已知 ν F = c 2 d ν_F = \frac{c}{2d} νF=2dc

Off-Axis

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布拉格光栅 (Bragg Grating)

布拉格光栅的工作原理基于布拉格反射(Bragg Reflection)。当光波在具有周期性折射率变化的介质中传播时,当满足Bragg条件时,光在特定角度和波长下会产生强反射。

Bragg条件

cos ⁡ θ = q λ 2 Λ = q ω B ω = q ν B ν \cos \theta = q \frac{\lambda}{2\Lambda} = q \frac{\omega_B}{\omega} = q \frac{\nu_B}{\nu} cosθ=qλ=qωωB=qννB

其中:

  • θ \theta θ:入射角度。
  • q q q:谐振模数。
  • λ \lambda λ:波长。
  • Λ \Lambda Λ:光栅周期。
  • ω \omega ω:角频率。
  • ω B = π c Λ \omega_B = \frac{\pi c}{\Lambda} ωB=Λπc:Bragg角频率。
  • ν \nu ν:频率。
  • ν B = c 2 Λ \nu_B = \frac{c}{2\Lambda} νB=c:Bragg频率。

该公式表明,入射角度 θ \theta θ、波长 λ \lambda λ 和光栅周期 Λ \Lambda Λ 的特定组合会满足Bragg条件,从而导致强反射。
也可以用Bragg角形式代替bragg频率形式表现:
θ B = sin ⁡ − 1 ( λ / 2 Λ ) \theta_B = \sin^{-1}(\lambda/2\Lambda) θB=sin1(λ/2Λ)

  • θ = 0 ∘ \theta = 0^\circ θ=0 时:在Bragg频率的整数倍处,反射率达到峰值。这种情况下,入射光垂直于光栅表面。
  • ν < ν B \nu < \nu_B ν<νB 时:没有Bragg反射条件,即此时不会发生强反射。
  • ν B < ν < 2 ν B \nu_B < \nu < 2\nu_B νB<ν<2νB 时:在特定角度 θ = cos ⁡ − 1 ( λ / 2 Λ ) = cos ⁡ − 1 ( ν B / ν ) \theta = \cos^{-1}(\lambda/2\Lambda) = \cos^{-1}(\nu_B/\nu) θ=cos1(λ/2Λ)=cos1(νB/ν) 处满足Bragg条件。此时的Bragg角为 θ B = π / 2 − θ \theta_B = \pi/2 - \theta θB=π/2θ
  • ν ≥ 2 ν B \nu \ge 2\nu_B ν2νB 时:在多个角度下满足Bragg条件,这意味着可以在不同角度实现强反射。

系统的干涉因子和反射率

在多层系统中,传输矩阵的计算可以进一步简化。假设每一层的传输矩阵是相同的,可以使用以下公式:

M 0 N = Ψ N M 0 − Ψ N − 1 I M_0^N = \Psi_N M_0 - \Psi_{N-1} I M0N=ΨNM0ΨN1I

干涉因子 Ψ N \Psi_N ΨN定义为:

Ψ N = sin ⁡ N Φ sin ⁡ Φ \Psi_N = \frac{\sin N\Phi}{\sin \Phi} ΨN=sinΦsinNΦ

干涉因子 Ψ N \Psi_N ΨN取决于 Φ \Phi Φ,其中 Φ = cos ⁡ − 1 ( Re { 1 / t } ) \Phi = \cos^{-1}(\text{Re}\{1/t\}) Φ=cos1(Re{1/t})。这里 Φ \Phi Φ可以是实数也可以是复数,这使得系统具有两种不同的行为模式:

  1. 部分反射/零反射模式 Φ \Phi Φ为实数,此时光栅表现出部分反射和透射。
  2. 全反射模式 Φ \Phi Φ为复数, Ψ N \Psi_N ΨN可能非常大,对应于全反射情况。

对于多层结构,总反射率 R N R_N RN 的计算公式为:

R N = Ψ N 2 R 1 − R + Ψ N 2 R R_N = \frac{\Psi_N^2 R}{1 - R + \Psi_N^2 R} RN=1R+ΨN2RΨN2R

R R R 是单层的反射率。

部分反射/零反射,全反射

部分反射/零反射

满足 ∣ Re { 1 / t } ∣ ≤ 1 |\text{Re}\{1/t\}| \leq 1 Re{1/t}1,干涉因子是实数。
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全反射

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特性部分反射(Partial Reflection)全反射(Total Reflection)零反射(Zero Reflection)
干涉因子 Ψ N \Psi_N ΨN Ψ N \Psi_N ΨN 的值介于 0 和 N 之间 Ψ N \Psi_N ΨN 非常大 Ψ N = 0 \Psi_N = 0 ΨN=0
反射率 R N R_N RN R N = Ψ N 2 R 1 − R + Ψ N 2 R R_N = \frac{\Psi_N^2 R}{1 - R + \Psi_N^2 R} RN=1R+ΨN2RΨN2R R N ≈ 1 R_N \approx 1 RN1 R N ≈ 0 R_N \approx 0 RN0
透射率 T T T部分透射, T < 1 T < 1 T<1透射率接近 0完全透射, T ≈ 1 T \approx 1 T1
相位 Φ \Phi Φ Φ \Phi Φ 为实数 Φ \Phi Φ 为复数 Φ = q π N \Phi = \frac{q\pi}{N} Φ=Nqπ q = 0 , 1 , … , N − 1 q = 0, 1, \ldots, N-1 q=0,1,,N1
干涉条件光波相长或相消干涉不完全光波完全相长干涉满足条件 sin ⁡ ( N Φ ) = 0 \sin(N\Phi) = 0 sin(NΦ)=0
反射效果部分光波被反射,部分被透射大部分光波被反射,透射很少光波几乎完全透射,没有反射
物理意义反射和透射之间的平衡反射达到最大光波主要透射,通过布拉格光栅

One-Dimensional Photonic Crystals (1D PhC)

Bloch 模式

根据 Bloch 定理,在周期性结构中,波函数 U ( z ) U(z) U(z) 可以表示为一个平面波和一个周期函数的乘积:
U ( z ) = p K ( z ) exp ⁡ ( − j K z ) U(z) = p_K(z) \exp(-jKz) U(z)=pK(z)exp(jKz)

其中:

  • p K ( z ) p_K(z) pK(z) 是周期函数,其周期与介质的周期相同。
  • exp ⁡ ( − j K z ) \exp(-jKz) exp(jKz) 是平面波成分。
  • K K K 是 Bloch 波数,描述了波在周期性介质中的传播特性。

本征值

考虑一个沿 z z z 轴传播的平面波 exp ⁡ ( − j k z ) \exp(-jkz) exp(jkz),当这个波经过一个周期 d d d 的平移后,其表达式变为:
exp ⁡ [ − j k ( z + d ) ] = exp ⁡ ( − j k d ) exp ⁡ ( − j k z ) \exp[-jk(z + d)] = \exp(-jkd) \exp(-jkz) exp[jk(z+d)]=exp(jkd)exp(jkz)

这个表达式表明,**平面波在经过一个周期的平移后,只是多了一个相位因子 exp ⁡ ( − j k d ) \exp(-jkd) exp(jkd)。**这个相位因子 exp ⁡ ( − j k d ) \exp(-jkd) exp(jkd) 就是平移操作的本征值。

Band Structure

带结构图是 Bloch 波数 ( K ) 和角频率 ( \omega ) 的关系图。带结构中可以观察到光子带隙,即在某些 ( K ) 值范围内没有相应的 ( \omega ) 值,这意味着这些频率的光无法在晶体中传播。

带结构不仅显示了允许传播的频率范围,还揭示了不同频率下的传播性质。对于一维光子晶体,其带结构通常在第一布里渊区(Brillouin Zone)内绘制,即 ( K ) 在 ( [-\pi/\Lambda, \pi/\Lambda] ) 范围内。

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例 7.2.1 反射镜的周期堆栈

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在该示例中,我们考虑一列沿z轴方向周期性排列的、具有相同反射率和透射率的部分反射无损镜。镜面之间的距离为Λ。光波在这种周期结构中的传播受到镜面反射和透射的共同作用,其色散关系可以用如下公式来描述:
cos ⁡ ( 2 π K g ) = 1 ∣ t ∣ cos ⁡ ( π ω ω B ) \cos \left( 2\pi \frac{K}{g} \right) = \frac{1}{|t|} \cos \left( \pi \frac{\omega}{\omega_B} \right) cos(2πgK)=t1cos(πωBω)
其中, K K K 是波矢量, g = 2 π Λ g = \frac{2\pi}{\Lambda} g=Λ2π 是周期结构的空间频率, ω B = c π Λ \omega_B = \frac{c\pi}{\Lambda} ωB=Λcπ 是布拉格频率, ∣ t ∣ |t| t 是透射系数的模。
描述了光波在周期性部分反射镜堆栈中的色散关系。这个关系式表明,对于特定的 ω \omega ω K K K ,光波在该周期性结构中的传播受到周期性反射镜的强烈调制,形成带隙结构。

该示例中的图示提供了色散关系的可视化。右侧的色散图中,横轴为波矢量 K K K,纵轴为角频率 ω \omega ω。粉色区域表示光子带隙(Photonic Bandgap),其中光波无法传播。红色虚线表示传播在均匀介质中的情况,即 ω / K = ω B ( g / 2 ) = c \omega/K = \omega_B (g/2) = c ω/K=ωB(g/2)=c

例 7.2.2

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Two & three dimensional PhCs

二维周期结构 (2D Periodic Structures)

基本定义与相关概念

基本定义

在二维光子晶体中,一组相同的平行杆、管或脉状结构被嵌入在均匀的主介质中。这些结构在横向方向(x和y方向)上是周期性的,在轴向方向(z方向)上是均匀的。数学上,这种周期性通过折射率的周期性变化来表示:

η ( x , y ) = ϵ 0 ϵ ( x , y ) \eta(x, y) = \frac{\epsilon_0}{\epsilon(x, y)} η(x,y)=ϵ(x,y)ϵ0

其中, ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0 是主介质的介电常数, ϵ ( x , y ) \epsilon(x, y) ϵ(x,y) 是在横向方向(x和y方向)上周期性变化的介电常数。

对于二维周期性介质,有以下关系:

η ( x + m 1 a 1 , y + m 2 a 2 ) = η ( x , y ) \eta(x + m_1a_1, y + m_2a_2) = \eta(x, y) η(x+m1a1,y+m2a2)=η(x,y)

这意味着折射率函数 η ( x , y ) \eta(x, y) η(x,y) 在每个周期 a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 上重复。进一步,可以将 η ( x , y ) \eta(x, y) η(x,y) 展开为傅里叶级数:

η ( x , y ) = ∑ ℓ 1 = − ∞ ∞ ∑ ℓ 2 = − ∞ ∞ η ℓ 1 , ℓ 2 exp ⁡ ( − j ℓ 1 g 1 x ) exp ⁡ ( − j ℓ 2 g 2 x ) \eta(x, y) = \sum_{\ell_1=-\infty}^{\infty} \sum_{\ell_2=-\infty}^{\infty} \eta_{\ell_1,\ell_2} \exp(-j \ell_1 g_1 x) \exp(-j \ell_2 g_2 x) η(x,y)=1=2=η1,2exp(j1g1x)exp(j2g2x)

其中, ℓ 1 \ell_1 1 ℓ 2 \ell_2 2 是傅里叶系数的索引, g 1 = 2 π a 1 g_1 = \frac{2\pi}{a_1} g1=a12π g 2 = 2 π a 2 g_2 = \frac{2\pi}{a_2} g2=a22π 是倒晶格矢量。

相关概念
  • 倒晶格 (Reciprocal Lattice):
    倒晶格是实际晶格在傅里叶空间中的表示。在倒晶格中,基本矢量 g 1 g_1 g1 g 2 g_2 g2 与实际晶格的基本矢量 a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 正交。这意味着倒晶格中的点代表了实际晶格中周期性结构的频率分量。

  • 光学模式 (Optical Modes):
    光学模式是电磁波在光子晶体中的传播形式。对于二维光子晶体,其模式是通过对一维情况的推广来定义的。一个典型的光学模式可以表示为:

    U ( x , y ) = p K x , K y ( x , y ) exp ⁡ ( − j K x x ) exp ⁡ ( − j K y y ) U(x, y) = p_{K_x, K_y}(x, y) \exp(-j K_x x) \exp(-j K_y y) U(x,y)=pKx,Ky(x,y)exp(jKxx)exp(jKyy)

    其中, p K x , K y ( x , y ) p_{K_x, K_y}(x, y) pKx,Ky(x,y) 是一个周期函数,表示在 Bloch 波矢量 K x K_x Kx K y K_y Ky 下的模式分布,而 exp ⁡ ( − j K x x ) exp ⁡ ( − j K y y ) \exp(-j K_x x) \exp(-j K_y y) exp(jKxx)exp(jKyy) 是平面波的相位因子。

  • 第一布里渊区 (First Brillouin Zone):
    第一布里渊区是倒晶格中的一个特殊区域,包含了所有唯一的 Bloch 波矢量。具体来说,第一布里渊区定义为:

    − g 1 2 < K x ≤ g 1 2 和 − g 2 2 < K y ≤ g 2 2 -\frac{g_1}{2} < K_x \leq \frac{g_1}{2} \quad \text{和} \quad -\frac{g_2}{2} < K_y \leq \frac{g_2}{2} 2g1<Kx2g12g2<Ky2g2

    这意味着布里渊区的范围在 − g 1 2 -\frac{g_1}{2} 2g1 g 1 2 \frac{g_1}{2} 2g1 − g 2 2 -\frac{g_2}{2} 2g2 g 2 2 \frac{g_2}{2} 2g2 之间。这个区域包含了所有 Bloch 波矢量的基本集合,其他的波矢量可以通过平移这个基本区域得到。

  • 不可约布里渊区 (Irreducible Brillouin Zone):
    不可约布里渊区是通过利用所有对称性,将第一布里渊区中的独立 Bloch 波矢量减少到最小的区域。这个区域通过利用晶格的对称性简化了计算,从而减少了需要考虑的 Bloch 波矢量的数量。

二维斜周期结构

二维斜周期结构的特征是将一组平行的圆柱形孔放置在三角形晶格的各个点上。这种结构在x和y方向上具有特定的周期性排列,使得其在这两个方向上具有特定的周期性。

晶格和倒晶格的表示
  • 三角形晶格:
    在三角形晶格中,晶格矢量 a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 形成了一个三角形晶格, a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 之间的夹角为 θ \theta θ。晶格矢量 R \mathbf{R} R 由两个基本矢量 a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 的线性组合给出:

    R = m 1 a 1 + m 2 a 2 \mathbf{R} = m_1 a_1 + m_2 a_2 R=m1a1+m2a2

    其中 m 1 m_1 m1 m 2 m_2 m2 是整数。位置向量 r T = ( x , y ) \mathbf{r_T} = (x, y) rT=(x,y) 的介电常数满足:

    ϵ ( r T + R ) = ϵ ( r T ) \epsilon(\mathbf{r_T} + \mathbf{R}) = \epsilon(\mathbf{r_T}) ϵ(rT+R)=ϵ(rT)

  • 倒晶格:
    倒晶格矢量 g 1 g_1 g1 g 2 g_2 g2 与实际晶格矢量正交,其大小由以下公式确定:

    g 1 = 2 π a 1 sin ⁡ θ g_1 = \frac{2\pi}{a_1 \sin \theta} g1=a1sinθ2π
    g 2 = 2 π a 2 sin ⁡ θ g_2 = \frac{2\pi}{a_2 \sin \theta} g2=a2sinθ2π

    倒晶格中的任意矢量 G \mathbf{G} G 可以表示为:

    G = ℓ 1 g 1 + ℓ 2 g 2 \mathbf{G} = \ell_1 g_1 + \ell_2 g_2 G=1g1+2g2

    其中 ℓ 1 \ell_1 1 ℓ 2 \ell_2 2 是整数。

二维周期结构中的电磁波Bloch模式及其对应的光子带隙(Photonic Bandgaps)

Bloch模式

对于在x-y平面内传播的波,Bloch模式可以表示为:

U ( r T ) = p K T ( r T ) exp ⁡ ( − j K T ⋅ r T ) U(\mathbf{r_T}) = p_{\mathbf{K_T}}(\mathbf{r_T}) \exp(-j \mathbf{K_T} \cdot \mathbf{r_T}) U(rT)=pKT(rT)exp(jKTrT)

其中, K T = ( K x , K y ) \mathbf{K_T} = (K_x, K_y) KT=(Kx,Ky) 是Bloch波矢量, r T = ( x , y ) \mathbf{r_T} = (x, y) rT=(x,y) 是位置矢量, p K T ( r T ) p_{\mathbf{K_T}}(\mathbf{r_T}) pKT(rT) 是周期函数,描述了模式的空间分布。

对于相对于x-y平面传播的斜波,Bloch波可以表示为:

U ( r T ) = p K T ( r T ) exp ⁡ ( − j K T ⋅ r T ) exp ⁡ ( − j k z z ) U(\mathbf{r_T}) = p_{\mathbf{K_T}}(\mathbf{r_T}) \exp(-j \mathbf{K_T} \cdot \mathbf{r_T}) \exp(-j k_z z) U(rT)=pKT(rT)exp(jKTrT)exp(jkzz)

这里,除了横向的Bloch波矢量 K T \mathbf{K_T} KT 之外,还引入了垂直方向的波矢量 k z k_z kz

光子带隙(Photonic Bandgaps)

光子带隙图显示了频率( ω \omega ω)与波矢量( K T \mathbf{K_T} KT)之间的关系,分别对于TE(横电模)和TM(横磁模)极化情况下的光子带隙。

  • 允许带隙(绿色区域): 表示光子可以在这些频率范围内传播。
  • 完全光子带隙(红色区域): 表示在这些频率范围内,光子无法传播。

布里渊区内的Bloch波矢量沿着 Γ \Gamma Γ、M 和 K 路径变化,展示了不同对称点之间的频率变化。

通过点缺陷(Point Defects)在光子晶体中实现光的局域化(Localization)

通过在光子晶体中引入扰动,可以在带隙中创建局域化模式。这种扰动通常通过以下方式实现:

  • 移除一根柱子
  • 替换为不同大小、形状或折射率的柱子

这种扰动会导致局部区域的电磁场分布发生变化,从而形成局域化的光模式。

局域模式 (Localized Modes)

通过在光子晶体中引入点缺陷,可以创建局域模式,这些模式在特定区域内局域化。常见的局域模式包括:

  • 单极模式 (Monopole Pattern): 通过减小折射率(Reducing Index)形成的单极模式,通常在中心点形成强烈的局域化电场。

  • 四极模式 (Quadrupole Pattern): 通过增加折射率(Increasing Index)形成的四极模式,在四个对称点形成电场分布。

不同折射率变化下的电场分布展示了如何通过调整材料的物理特性来实现光的局域化。

频带结构 (Band Structure)

频带结构图展示了在不同缺陷柱半径( r / a r/a r/a)下的频率( ω a / 2 π c \omega a / 2\pi c ωa/2πc)与缺陷柱半径之间的关系。横坐标是缺陷柱半径 r / a r/a r/a,纵坐标是归一化频率 ω a / 2 π c \omega a / 2\pi c ωa/2πc

  • 空位 (Vacancy): 当缺陷柱的半径接近0时,表示柱子被完全移除,这种情况被称为“空位”。
  • 完美晶体 (Perfect Crystal): 当缺陷柱的半径接近0.2时,表示光子晶体处于完美晶体状态,没有明显的缺陷。

不同的曲线表示不同的局域模式,例如:

  • 单极模式 (Monopole): 当半径接近0.1时,单极模式的频率降低。
  • 双极模式 (Dipole): 在0.3到0.5之间有明显变化。
  • 四极模式-xy (Quadrupole-xy): 在0.4到0.6之间的频率变化。
  • 六极模式 (Hexapole): 在半径为0.6到0.7之间有显著的频率变化。

这些模式展示了如何通过调节缺陷柱的半径来实现对光子晶体中光学模式的精细控制。

线性缺陷和波导(Linear Defects and Waveguides)

在光子晶体中引入线性缺陷,可以形成波导模式,这些模式沿缺陷带传播。频带结构图显示了这些模式在不同波矢量下的频率分布。

表面波(Surface Waves)

表面波模式展示了在空气和光子晶体交界处的不同状态(ED、DE、EE)的分布,这些状态表示了不同极化和排除效应下的传播模式。

频带结构图中显示了表面波在不同波矢量下的频率变化,特别是表面模式在交界处的传播特性。电场分布展示了表面波在交界处的电场分布,表明了光的局域化效应。

三维周期结构 (3D Periodic Structures)

基础知识

三维光子晶体在三个方向上(x, y, z)都具有周期性,这使得光在这种介质中传播时会表现出特殊的光学性质,如光子带隙。

在三维光子晶体中,介电常数 η ( r ) \eta(r) η(r) 满足以下周期性关系:

η ( r + R ) = η ( r ) \eta(\mathbf{r} + \mathbf{R}) = \eta(\mathbf{r}) η(r+R)=η(r)

这意味着介电常数在晶格矢量 R \mathbf{R} R 处是周期性的。

R = m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a 3 \mathbf{R} = m_1 a_1 + m_2 a_2 + m_3 a_3 R=m1a1+m2a2+m3a3

倒晶格矢量 g \mathbf{g} g 与基本矢量 a \mathbf{a} a 的关系如下:

g 1 = 2 π a 2 × a 3 a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) \mathbf{g}_1 = \frac{2\pi \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} g1=a1(a2×a3)2πa2×a3
g 2 = 2 π a 3 × a 1 a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) \mathbf{g}_2 = \frac{2\pi \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} g2=a1(a2×a3)2πa3×a1
g 3 = 2 π a 1 × a 2 a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) \mathbf{g}_3 = \frac{2\pi \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} g3=a1(a2×a3)2πa1×a2

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