克鲁斯卡尔算法最小生成树--C语言

同样是最小生成树，普利姆算法是从一个起始顶点开始，逐步扩展生成树，每次选择连接生成树和未包含顶点的最小边。而克鲁斯卡尔算法是按权值排序的方式，从最小的边开始逐步添加到生成树中，确保不会形成环，直到生成树包含所有顶点。

假设我有下面的一个图，克鲁斯卡尔算法就是把这些带权值的边进行排序，然后添加到树中并确保不会成环。

第一步：首先遍历所有边，记录边的前驱和后继（判断是否有环会使用到），并进行排序，这里只列举了全三个边。

第二步：将边添加到树（直接打印前驱后继顶点和权值即可），检查是否有环，这一步该如何实现？

有环的情况如下，假设 0->2 是最先加入到树的边，其次是 2->1 ，最后是 1->0 ，因为 0 是 2 的前驱，2 是 1 的前驱，那么我们可以让 0 是 1 的前驱，这样我们只需要检查 1 的后继是不是等于前驱即可，结果是等于，所以不能纳入。

可以这样理解：0->2 是链表，2->1 增加了链表的长度，但是1，2都属于 0 这个头节点的集合，所以当新链加入时要判断新练的尾节点是否是头节点，如果是，就说明链表有环。

以上可以用结构体来实现。

第三步：遍历第二步，遍历一共图的边数次。

接下来是代码部分：

首先是结构体边(Edge) 的构建：然后创建一个数组用于存放这些边，并且对边进行初始化。

我们可以观察到边的二维数组是关于正对角线对称的，这是因为无向图权值会出现两次，例如：0->1 和1->0 都是 6，所以我们只需要在正对角线的一侧来寻找边即可，如果在整个图中寻找边最后会找到两组相同的边。这也是为什么 for 循环的条件一个是 i 一个是 i+1。

typedef struct Edge {int start;int end;int weight;
}Edge;Edge* EdgeInit(Graph* G) {int index = 0;Edge* E = (Edge*)malloc(sizeof(Edge) * G->arcsNum);for (int i = 0; i < G->vexsNum; i++) {for (int j = i + 1; j < G->vexsNum; j++) {if (G->arcs[i][j] != Max) {E[index].start = i;E[index].end = j;E[index].weight = G->arcs[i][j];index++;}}}return E;
}

接着是边的排序：这里是简单的冒泡排序，让边数组的顺序根据权值大小从小到大排序。

void Edgesort(Edge* E,Graph* G) {for (int i = 0; i < G->arcsNum; i++) {for (int j = i + 1; j < G->arcsNum; j++) {if (E[j].weight < E[i].weight) {Edge tmp ;tmp = E[i];E[i] = E[j];E[j] = tmp;}}}
}

最后是函数主体：

1.connected数组是存顶点的前驱节点，用来表示该顶点在哪个顶点的集合内（相当于链表的头节点）。第一个for循环初始化该数组，因为初始前驱节点都是本身。
2.第二个for循环是为了遍历每条边，如果边的前驱和后继相等，那么不打印也即是不纳入树。
3.第三个for循环是更新connected数组，更新顶点的前驱节点。

void Kurskal(Edge* E, Graph* G) {Edgesort(E,G);int* connected = (int*)malloc(sizeof(int) * G->vexsNum);for (int i = 0; i < G->vexsNum; i++) {connected[i] = i;}for (int j = 0; j < G->arcsNum; j++) {int start = connected[E[j].start];int end = connected[E[j].end];if (start != end) {printf(" %c -> %c ,weight = %d", G->vexs[start], G->vexs[end], E[j].weight);printf("\n");for (int a = 0; a < G->arcsNum; a++) {if (connected[a] == end ) {connected[a] = start;}}}}
}

下面看一个例子用来理解最后一个for循环：

首先最小的是 0->2 边，权值为1。那么就会打印 0->2，然后更新connected数组：由左图变成右图，把connected[2]更新为connected[0]，也就是说 2 的前驱是 0 ，那么它就在 0 的集合内（链表内）。