AVL树的概念

• AVL树（英语：AVL tree）是计算机科学中最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是 𝑂(log𝑛)。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转，以实现树的重新平衡。AVL树得名于它的发明者格奥尔吉·阿杰尔松-韦利斯基和叶夫根尼·兰迪斯，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中公开了这一数据结构。

• 节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度（有时相反）。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树

• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
  如：

• 平衡因子 = 右子树-左子树

非AVL树：

• 在平衡之后：

• 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
  $O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

AVL树节点的定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parnet;pair<K, V> _kv;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V> kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parnet(nullptr), kv(kv)_bf(0){}
};

AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
   • 插入到父亲的左边，父亲平衡因子--
   • 插入到父亲的右边，父亲平衡因子++
   • 父亲 bf 平衡因子 == 0，父亲所在子树高度不变，不用继续往上更新，插入结束
   • 父亲 bf 平衡因子 == 1 或者 -1，父亲所在子树高度变了，必须往上更新
   • 父亲 bf 更新后 == 2 或者 -2 ，父亲所在的子树已经不平衡，需要旋转处理

• 更新后不可能出现其他值，插入之前树是AVL树，平衡因子要么是1，-1，0，++，--，

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}// 插入节点cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_parnet = parent;// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0) // 更新结束break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续更新cur = parent;parent = parent->_parnet;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){// 需要旋转// ...break;}else{assert(false);}}return true;
}

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
   • 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
   • 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
   • 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
   • 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

• 旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

左单旋的步骤如下：

1. 让subR的左子树作为parent的右子树。
2. 让parent作为subR的左子树。
3. 让subR作为整个子树的根。
4. 更新平衡因子。

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* parentParent = parent->_parent;//1、建立subR和parent之间的关系parent->_parent = subR;subR->_left = parent;//2、建立parent和subRL之间的关系parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;//3、建立parentParent和subR之间的关系if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr; //subR的_parent指向需改变}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else //parent == parentParent->_right{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}//4、更新平衡因子subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

• 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
  子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树

• 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
• 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
  

---

右单旋的步骤如下：

1. 让subL的右子树作为parent的左子树。
2. 让parent作为subL的右子树。
3. 让subL作为整个子树的根。
4. 更新平衡因子。

// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* parentParent = parent->_parent;//1、建立subL和parent之间的关系subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//2、建立parent和subLR之间的关系parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;//3、建立parentParent和subL之间的关系if (parentParent == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else //parent == parentParent->_right{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}//4、更新平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

• 将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

---

左右双旋的步骤如下：

1. 以subL为旋转点进行左单旋。
2. 以parent为旋转点进行右单旋。
3. 更新平衡因子。

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf; //subLR不可能为nullptr，因为subL的平衡因子是1//1、以subL为旋转点进行左单旋RotateL(subL);//2、以parent为旋转点进行右单旋RotateR(parent);//3、更新平衡因子if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题}
}

新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

右左双旋的步骤如下：

1. 以subR为旋转点进行右单旋。
2. 以parent为旋转点进行左单旋。
3. 更新平衡因子。

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//1、以subR为轴进行右单旋RotateR(subR);//2、以parent为轴进行左单旋RotateL(parent);//3、更新平衡因子if (bf == 1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题}
}

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。
2. 验证其为平衡树每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确。

//判断是否为AVL树
bool IsAVLTree()
{int hight = 0; //输出型参数return _IsBalanced(_root, hight);
}
//检测二叉树是否平衡
bool _IsBalanced(Node* root, int& hight)
{if (root == nullptr) //空树是平衡二叉树{hight = 0; //空树的高度为0return true;}//先判断左子树int leftHight = 0;if (_IsBalanced(root->_left, leftHight) == false)return false;//再判断右子树int rightHight = 0;if (_IsBalanced(root->_right, rightHight) == false)return false;//检查该结点的平衡因子if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子设置异常：" << root->_kv.first << endl;}//把左右子树的高度中的较大值+1作为当前树的高度返回给上一层hight = max(leftHight, rightHight) + 1;return abs(rightHight - leftHight) < 2; //平衡二叉树的条件
}

AVL树的查找

AVL树的查找函数与二叉搜索树的查找方式一模一样，逻辑如下：

1. 若树为空树，则查找失败，返回nullptr。
2. 若key值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
3. 若key值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
4. 若key值等于当前结点的值，则查找成功，返回对应结点。

//查找函数
Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_kv.first) //key值小于该结点的值{cur = cur->_left; //在该结点的左子树当中查找}else if (key > cur->_kv.first) //key值大于该结点的值{cur = cur->_right; //在该结点的右子树当中查找}else //找到了目标结点{return cur; //返回该结点}}return nullptr; //查找失败
}

AVL树的修改

修改函数一

//修改函数
bool Modify(const K& key, const V& value)
{Node* ret = Find(key);if (ret == nullptr) //未找到指定key值的结点{return false;}ret->_kv.second = value; //修改结点的valuereturn true;
}

修改函数二

• 若待插入结点的键值key在map当中不存在，则结点插入成功，并返回插入后结点的指针和true。
• 若待插入结点的键值key在map当中已经存在，则结点插入失败，并返回map当中键值为key的结点的指针和false。

//插入函数
pair<Node*, bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr) //若AVL树为空树，则插入结点直接作为根结点{_root = new Node(kv);return make_pair(_root, true); //插入成功，返回新插入结点和true}//1、按照二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first) //待插入结点的key值小于当前结点的key值{//往该结点的左子树走parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first) //待插入结点的key值大于当前结点的key值{//往该结点的右子树走parent = cur;cur = cur->_right;}else //待插入结点的key值等于当前结点的key值{//插入失败（不允许key值冗余）return make_pair(cur, false); //插入失败，返回已经存在的结点和false}}//2、将待插入结点插入到树中cur = new Node(kv); //根据所给值构造一个新结点Node* newnode = cur; //记录新插入的结点if (kv.first < parent->_kv.first) //新结点的key值小于parent的key值{//插入到parent的左边parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else //新结点的key值大于parent的key值{//插入到parent的右边parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//3、更新平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转while (cur != _root) //最坏一路更新到根结点{if (cur == parent->_left) //parent的左子树增高{parent->_bf--; //parent的平衡因子--}else if (cur == parent->_right) //parent的右子树增高{parent->_bf++; //parent的平衡因子++}//判断是否更新结束或需要进行旋转if (parent->_bf == 0) //更新结束（新增结点把parent左右子树矮的那一边增高了，此时左右高度一致）{break; //parent树的高度没有发生变化，不会影响其父结点及以上结点的平衡因子}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) //需要继续往上更新平衡因子{//parent树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) //需要进行旋转（此时parent树已经不平衡了）{if (parent->_bf == -2){if (cur->_bf == -1){RotateR(parent); //右单旋}else //cur->_bf == 1{RotateLR(parent); //左右双旋}}else //parent->_bf == 2{if (cur->_bf == -1){RotateRL(parent); //右左双旋}else //cur->_bf == 1{RotateL(parent); //左单旋}}break; //旋转后就一定平衡了，无需继续往上更新平衡因子(旋转后树高度变为插入之前了)}else{assert(false); //在插入前树的平衡因子就有问题}}return make_pair(newnode, true); //插入成功，返回新插入结点和true
}

重载[ ]

1. 调用插入函数插入键值对。
2. 拿出从插入函数获取到的结点。
3. 返回该结点value的引用。

• 如果key不在树中，则先插入键值对<key, V()>，然后返回该键值对中value的引用。
• 如果key已经在树中，则返回键值为key结点value的引用。

//operator[]重载
V& operator[](const K& key)
{//调用插入函数插入键值对pair<Node*, bool> ret = Insert(make_pair(key, V()));//拿出从插入函数获取到的结点Node* node = ret.first;//返回该结点value的引用return node->_kv.second;
}

AVL树的删除

• 删除方法和二叉搜索树相同

1. 先找到待删除的结点。
2. 若找到的待删除结点的左右子树均不为空，则需要使用替换法进行删除。

//删除函数
bool Erase(const K& key)
{//用于遍历二叉树Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//用于标记实际的删除结点及其父结点Node* delParentPos = nullptr;Node* delPos = nullptr;while (cur){if (key < cur->_kv.first) //所给key值小于当前结点的key值{//往该结点的左子树走parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_kv.first) //所给key值大于当前结点的key值{//往该结点的右子树走parent = cur;cur = cur->_right;}else //找到了待删除结点{if (cur->_left == nullptr) //待删除结点的左子树为空{if (cur == _root) //待删除结点是根结点{_root = _root->_right; //让根结点的右子树作为新的根结点if (_root)_root->_parent = nullptr;delete cur; //删除原根结点return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作}else{delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点delPos = cur; //标记实际删除的结点}break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子}else if (cur->_right == nullptr) //待删除结点的右子树为空{if (cur == _root) //待删除结点是根结点{_root = _root->_left; //让根结点的左子树作为新的根结点if (_root)_root->_parent = nullptr;delete cur; //删除原根结点return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作}else{delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点delPos = cur; //标记实际删除的结点}break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子}else //待删除结点的左右子树均不为空{//替换法删除//寻找待删除结点右子树当中key值最小的结点作为实际删除结点Node* minParent = cur;Node* minRight = cur->_right;while (minRight->_left){minParent = minRight;minRight = minRight->_left;}cur->_kv.first = minRight->_kv.first; //将待删除结点的key改为minRight的keycur->_kv.second = minRight->_kv.second; //将待删除结点的value改为minRight的valuedelParentPos = minParent; //标记实际删除结点的父结点delPos = minRight; //标记实际删除的结点break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子}}}if (delParentPos == nullptr) //delParentPos没有被修改过，说明没有找到待删除结点{return false;}//记录待删除结点及其父结点（用于后续实际删除）Node* del = delPos;Node* delP = delParentPos;//更新平衡因子while (delPos != _root) //最坏一路更新到根结点{if (delPos == delParentPos->_left) //delParentPos的左子树高度降低{delParentPos->_bf++; //delParentPos的平衡因子++}else if (delPos == delParentPos->_right) //delParentPos的右子树高度降低{delParentPos->_bf--; //delParentPos的平衡因子--}//判断是否更新结束或需要进行旋转if (delParentPos->_bf == 0)//需要继续往上更新平衡因子{//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子delPos = delParentPos;delParentPos = delParentPos->_parent;}else if (delParentPos->_bf == -1 || delParentPos->_bf == 1) //更新结束{break; //delParent树的高度没有发生变化，不会影响其父结点及以上结点的平衡因子}else if (delParentPos->_bf == -2 || delParentPos->_bf == 2) //需要进行旋转（此时delParentPos树已经不平衡了）{if (delParentPos->_bf == -2){if (delParentPos->_left->_bf == -1){Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点RotateR(delParentPos); //右单旋delParentPos = tmp; //更新根结点}else if(delParentPos->_left->_bf == 1){Node* tmp = delParentPos->_left->_right; //记录delParentPos左右旋转后新的根结点RotateLR(delParentPos); //左右双旋delParentPos = tmp; //更新根结点}else //delParentPos->_left->_bf == 0{Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点RotateR(delParentPos); //右单旋delParentPos = tmp; //更新根结点//平衡因子调整delParentPos->_bf = 1;delParentPos->_right->_bf = -1;break; //更正}}else //delParentPos->_bf == 2{if (delParentPos->_right->_bf == -1){Node* tmp = delParentPos->_right->_left; //记录delParentPos右左旋转后新的根结点RotateRL(delParentPos); //右左双旋delParentPos = tmp; //更新根结点}else if(delParentPos->_right->_bf == 1){Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点RotateL(delParentPos); //左单旋delParentPos = tmp; //更新根结点}else //delParentPos->_right->_bf == 0{Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点RotateL(delParentPos); //左单旋delParentPos = tmp; //更新根结点//平衡因子调整delParentPos->_bf = -1;delParentPos->_left->_bf = 1;break; //更正}}//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子delPos = delParentPos;delParentPos = delParentPos->_parent;//break; //error}else{assert(false); //在删除前树的平衡因子就有问题}}//进行实际删除if (del->_left == nullptr) //实际删除结点的左子树为空{if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子{delP->_left = del->_right;if (del->_right)del->_right->_parent = delP;}else //实际删除结点是其父结点的右孩子{delP->_right = del->_right;if (del->_right)del->_right->_parent = delP;}}else //实际删除结点的右子树为空{if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子{delP->_left = del->_left;if (del->_left)del->_left->_parent = delP;}else //实际删除结点是其父结点的右孩子{delP->_right = del->_left;if (del->_left)del->_left->_parent = delP;}}delete del; //实际删除结点return true;
}

AVL树的性能

• AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。