day51 动态规划 121. 买卖股票的最佳时机 122.买卖股票的最佳时机II

121. 买卖股票的最佳时机

动态规划

1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ,这里可能有同学疑惑,本题中只能买卖一次,持有股票之后哪还有现金呢?

其实一开始现金是0,那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i], 这是一个负数。(只能买卖一次买之前现金一定为0)

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意这里说的是“持有”,“持有”不代表就是当天“买入”!也有可能是昨天就买入了,今天保持持有的状态

2.确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0], 那么可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即:dp[i - 1][0]
  • 第i天买入股票,所得现金就是买入今天的股票后所得现金即:-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的,所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1], 也可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就不持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即:dp[i - 1][1]
  • 第i天卖出股票,所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即:prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的,dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递推公式我们就分析完了

3.dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票,此时的持有股票就一定是买入股票了,因为不可能有前一天推出来,所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票,不持有股票那么现金就是0,所以dp[0][1] = 0;

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的,那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以示例1,输入:[7,1,5,3,6,4]为例,dp数组状态如下:

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢?

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多!

代码

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {if (prices == null || prices.length == 0) return 0;int length = prices.length;// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益int[][] dp = new int[length][2];int result = 0;dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < length; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);}return dp[length - 1][1];}
}

122.买卖股票的最佳时机II 

本题和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的唯一区别是本题股票可以买卖多次了(注意只有一只股票,所以再次购买前要出售掉之前的股票)

在动规五部曲中,这个区别主要是体现在递推公式上,其他都和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)一样、

dp数组的含义:

  • dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
  • dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0], 那么可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即:dp[i - 1][0]
  • 第i天买入股票,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即:dp[i - 1][1] - prices[i]

本题,因为一只股票可以买卖多次,所以当第i天买入股票的时候,所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0],如果是第i天买入股票,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即:dp[i - 1][1] - prices[i]。

再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况, 依然可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就不持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即:dp[i - 1][1]
  • 第i天卖出股票,所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即:prices[i] + dp[i - 1][0]

代码

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {if (prices == null || prices.length == 0) return 0;int length = prices.length;// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益int[][] dp = new int[length][2];int result = 0;dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < length; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i-1][1]-prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);}return dp[length - 1][1];}
}

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