[国家集训队] 聪聪可可 解题记录

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前言

看到题解区全是用容斥做的，但是我太蒻了不会，所以来水一发不用容斥的题解。

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题意简述

给定一棵树，边有边权，任意选择一条路径，求这条路径的长度是 $3$ 的倍数的概率。

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题目分析

易知，概率即为 $\frac{合法的路径}{所有路径}$。
关键在于合法路径怎么去求。
使用点分治算法，我们枚举重心 $rt$，对于它的每个儿子，用 $dis{t}_i$ 表示结点 $i$ 在模 $3$ 意义下距离根的长度；用 $cn{t}_{0/1/2}$ 表示在遍历当前结点之前，距离根的长度为 $0/1/2$ 的链的数量。
接下来分类讨论：

• 如果 $dis{t}_i=0$，那么它一定能与之前所有距离根长度为 $0$ 的链组合成一条合法路径，合法数量加上 $cn{t}_0\times 2+2$，$+2$ 是因为它本身到根也可以组成两个数对。
• 如果 $dis{t}_i=1$，那么它一定能与之前所有距离根长度为 $2$ 的链组合成一条合法路径，合法数量加上 $cn{t}_2\times 2$ 。
• 如果 $dis{t}_i=2$，那么它一定能与之前所有距离根长度为 $2$ 的链组合成一条合法路径，合法数量加上 $cn{t}_1\times 2$ 。
  在 dfs 函数内部，我们枚举当前结点 $x$ 的儿子，先更新 $dist$ 数组，然后更新答案，最后才更新 $cnt$，因为 $cnt$ 保存的是当前儿子之前的数据。

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AC Code

// Problem: P2634 [国家集训队] 聪聪可可
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2634
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Author: Li_Feiy
#include<bits/stdc++.h>
#define arrout(a,n) rep(i,1,n)std::cout<<a[i]<<" "
#define arrin(a,n) rep(i,1,n)a[i]=read()
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define dep(i,x,n) for(int i=x;i>=n;i--)
#define erg(i,x) for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
#define dbg(x) std::cout<<#x<<":"<<x<<" "
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define arrall(a,n) a+1,a+1+n
#define PII std::pair<int,int>
#define m_p std::make_pair
#define u_b upper_bound
#define l_b lower_bound
#define p_b push_back
#define CD const double
#define CI const int
#define int long long
#define il inline
#define ss second
#define ff first
#define itn int
int read() {char ch=getchar();int r=0,w=1;while(ch<'0'||ch>'9') w=ch=='-'?-1:w,ch=getchar();while(ch>='0'&&ch<='9') r=r*10+ch-'0',ch=getchar();return r*w;
}
CI N=2e4+5,INF=1e8+5;
int n,fz,fm,rt,tot,sum,cnt[N],max[N],dis[N],dist[N],size[N],head[N];
bool tf[INF],vis[N];
std::queue<int> t;
struct edge {int to,nex,data;
}e[N<<1];
void add(int x,int y,int z) {e[++tot].to=y;e[tot].data=z;e[tot].nex=head[x];head[x]=tot;
}
void update_size(int x,int fa) {size[x]=1;max[x]=0;erg(i,x) {int y=e[i].to;if(y==fa||vis[y]) continue;update_size(y,x);size[x]+=size[y];max[x]=std::max(max[x],size[y]);}max[x]=std::max(max[x],sum-size[x]);if(max[x]<max[rt]) rt=x;
}
void update_dist(int x,int fa) {dis[++dis[0]]=dist[x]%3;erg(i,x) {int y=e[i].to,z=e[i].data;if(y==fa||vis[y]) continue;dist[y]=(dist[x]+z)%3;update_dist(y,x);}
}
void update_cnt(int x,int fa) {cnt[dist[x]%3]++;erg(i,x) {int y=e[i].to;if(y==fa||vis[y]) continue;update_cnt(y,x);}
}
void dfs(int x,int fa) {vis[x]=1;erg(i,x) {int y=e[i].to,z=e[i].data;if(y==fa||vis[y]) continue;dist[y]=z%3;update_dist(y,x);rep(i,1,dis[0]) {switch(dis[i]) {case 0:fz+=cnt[0]*2+2;break;case 1:fz+=cnt[2]*2;break;case 2:fz+=cnt[1]*2;break;}}dis[0]=0;update_cnt(y,x);}cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0;erg(i,x) {int y=e[i].to,z=e[i].data;if(y==fa||vis[y]) continue;sum=size[y];rt=0;max[rt]=INF;update_size(y,x);update_size(rt,-1);dfs(rt,x);}
}
signed main() {n=read();rep(i,1,n-1) {int x=read(),y=read(),z=read();add(x,y,z);add(y,x,z);}sum=fz=n;rt=0;max[rt]=INF;update_size(1,-1);update_size(rt,-1);dfs(rt,-1);fm=n*n;while(std::__gcd(fz,fm)!=1) {int gcd=std::__gcd(fz,fm);fz/=gcd,fm/=gcd;}printf("%lld/%lld",fz,fm);return 0;
}