LeetCode题练习与总结：杨辉三角--118

一、题目描述

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1:

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

示例 2:

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

提示:

1 <= numRows <= 30

二、解题思路

这个问题是要求生成杨辉三角的前 numRows 行。杨辉三角的特点是每行的第一个和最后一个元素都是1，其他元素是它正上方元素和左上方元素之和。

解题思路如下：

创建一个二维列表 result 用于存储杨辉三角的每一行。
对于每一行，首先添加一个1作为该行的第一个元素。
对于行号大于1的情况，需要计算中间的元素，每个元素都是它正上方元素和左上方元素之和。
在每行的最后添加一个1。
将每一行添加到 result 列表中。
返回 result 作为最终结果。

三、具体代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;class Solution {public List<List<Integer>> generate(int numRows) {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < numRows; i++) {List<Integer> row = new ArrayList<>();row.add(1); // 每行的第一个元素是1// 计算中间的元素for (int j = 1; j < i; j++) {row.add(result.get(i - 1).get(j - 1) + result.get(i - 1).get(j));}// 如果不是第一行，每行的最后一个元素也是1if (i > 0) {row.add(1);}result.add(row);}return result;}
}

四、时间复杂度和空间复杂度

1. 时间复杂度

外层循环执行了 numRows 次，这是生成杨辉三角行的次数。
内层循环的执行次数随着行数的增加而增加，第 i 行需要执行 i-1 次。
因此，内层循环的总执行次数是 1 + 2 + 3 + ... + (numRows - 1)，这是一个等差数列求和，其和为 (numRows - 1) * numRows / 2。
每次内层循环的操作是常数时间的，即 O(1)。
所以，总的时间复杂度是 O((numRows - 1) * numRows / 2)，这可以简化为 O(numRows^2)。

2. 空间复杂度

空间复杂度主要取决于存储杨辉三角所需的二维列表 result。
result 包含 numRows 行，每行的元素数量从 1 个递增到 numRows 个。
因此，result 中的总元素数量是 1 + 2 + 3 + ... + numRows，这也是一个等差数列求和，其和为 (numRows + 1) * numRows / 2。
每个元素的空间是常数大小的，所以总的空间复杂度是 O((numRows + 1) * numRows / 2)，这可以简化为 O(numRows^2)。

综上所述，给定代码的时间复杂度是 O(numRows^2)，空间复杂度也是 O(numRows^2)。

五、总结知识点

杨辉三角：杨辉三角是一个经典的数学问题，其中每个数是它左上方和右上方的数的和。这个问题在计算机科学中经常用来练习动态规划和递归算法。
二维列表（ArrayList 的嵌套）：代码中使用了一个 ArrayList 的嵌套来存储杨辉三角的每一行，每一行也是一个 ArrayList。
循环结构：代码使用了两个嵌套的 for 循环来生成杨辉三角。外层循环用于处理行，内层循环用于处理每行中的元素。
列表的添加操作：代码中使用了 ArrayList 的 add 方法来向列表中添加新的元素。
列表的访问操作：代码中使用了 get 方法来访问列表中的元素，以便计算当前行的中间元素。
边界条件处理：代码中对于每行的第一个和最后一个元素进行了特殊处理，确保每行都以1开始和结束。
动态规划的思想：虽然代码没有显式地使用动态规划，但它在计算每一行的元素时利用了上一行的结果，这是动态规划的一种应用。
数组索引：在计算中间元素时，代码使用了数组索引来访问上一行的相邻元素。
常数时间的操作：除了生成杨辉三角的结构之外，代码中的每次操作（如列表的添加和访问）都是常数时间的。
递推关系：杨辉三角的每一行都可以根据上一行来递推生成，这是解决这类问题的常见方法。