自动驾驶---Control之LQR控制

1 前言

        在前面的系列博客文章中为读者阐述了很多规划相关的知识(可参考下面专栏),本篇博客带领读者朋友们了解控制相关的知识,后续仍会撰写规控相关文档。

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        在控制理论的发展过程中,人们逐渐认识到对于线性动态系统的控制,可以通过优化某种性能指标来达到更好的控制效果。而LQR控制就是基于这种思想发展而来的。它通过将系统状态与控制信号之间的关系表示成一种二次型,然后通过最小化这个二次型来求解最优的控制策略。       

        目前的工业领域三大控制器占据着主要位置:PID,LQR以及MPC,本篇博客为读者介绍LQR控制器。

2 LQR建模求解

        LQR(Linear quadratic regulator,线性二次型调节器)是一种基于状态反馈的最优控制策略,其核心在于设计一个状态反馈控制器,使得系统的性能指标达到最优。下面将对LQR控制器进行详细介绍:

2.1 原理与步骤

  1. 确定状态方程模型:首先需要确定一个描述系统状态的动力学模型,该模型通常以状态空间的形式给出,用于描述系统在不同状态下的动态行为。
  2. 线性化处理:对状态方程进行线性化处理,将其转化为线性系统模型。这是为了简化问题,使得控制器设计更加便捷。
  3. 定义目标函数:目标函数通常是系统状态和控制输入的二次型函数,用于评估控制性能的好坏。这个函数的选择会直接影响到控制器的设计效果。
  4. 优化目标函数:通过设计状态反馈控制器,使得目标函数取最小值。这个过程中,需要求解一个最优控制问题,通常涉及到Riccati方程的求解。

2.2 详细内容

2.2.1 一般推导

        对于一个闭环系统,状态方程为:

eq?%5Cdot%7Bx%7D%3DAx+Bu

        其中eq?x 为状态量,eq?u 为控制量,eq?A%2CB 分别为状态矩阵,控制矩阵。假设eq?u%3D-Kx,那么上式可以整理为一个新的状态方程:

eq?%5Cdot%7Bx%7D%3D%28A-BK%29x%3DA_cx

        为了能够选出最优化的特征值,引入了一个代价函数,考虑两个方面的内容:

  • 希望系统达到稳定状态使得偏差最小:惩罚状态量
  • 希望控制量较小的情况下也能达到稳定状态:惩罚控制量

        因此代价函数可以写成如下形式:

eq?J%3D0.5*%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28x%5ETQx+u%5ETRu%29dt

        其中,eq?x 为状态量,eq?u 为控制量,eq?Q%2CR 分别为状态权重矩阵,控制权重矩阵。在量产中的调参也主要集中在eq?Q%2CR矩阵上。

        基于上面两个方面的考虑,这里希望 eq?Q 为半正定矩阵来保证eq?x%5ETQx%5Cgeq%200;希望eq?R 为正定矩阵来保证eq?u%5ETRu%3E%200,该项表示控制所付出的代价。

        将eq?u%3D-Kx 代入到代价函数种可得,

eq?J%3D0.5*%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28x%5ETQx+u%5ETRu%29dt%3D%5C%5C0.5*%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28x%5ETQx+%28-Kx%29%5ETR%28-Kx%29%29dt%3D%5C%5C0.5*%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28x%5ETQx+x%5ETK%5ETRKx%29dt%3D%5C%5C0.5*%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5ET%28Q+K%5ETRK%29xdt

        为了得到 eq?K 矩阵,假设存在一个常量矩阵 eq?P 使得,

eq?%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20t%7D%28x%5ETPx%29%3D-x%5ET%28Q+K%5ETRK%29x

        将上式左边微分展开得到,并代入 eq?%5Cdot%7Bx%7D%3DA_cx

eq?%5Cdot%7Bx%7D%5ETPx+x%5ETP%5Cdot%7Bx%7D%3D-x%5ET%28Q+K%5ETRK%29x%5C%5C%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D%5ETPx+x%5ETP%5Cdot%7Bx%7D+x%5ET%28Q+K%5ETRK%29x%3D0%5C%5C%5C%5C%20%28A_cx%29%5ETPx+x%5ETP%28A_cx%29+x%5ET%28Q+K%5ETRK%29x%3D0%5C%5C%5C%5C%20x%5ET%28A%5ET_cP+PA_c+Q+K%5ETRK%29x%3D0

        由二次型的性质可得,如果保证上式为0,则括号内的值必须为0,即:

eq?A%5ET_cP+PA_c+Q+K%5ETRK%3D0%5C%5C%5C%5C%20%28A-BK%29%5ETP+P%28A-BK%29+Q+K%5ETRK%3D0

        上式中含有eq?K矩阵的二次型,不利于计算,因此取eq?K%3DR%5E%7B-1%7DB%5ETP 消掉二次项得,

eq?%28A-BK%29%5ETP+P%28A-BK%29+Q+K%5ETRK%3D0%5C%5C%5C%5C%20A%5ETP+PA+Q-K%5ETB%5ETP-PBK+K%5ETRK%3D0%5C%5C%5C%5C%20A%5ETP+PA+Q-%28R%5E%7B-1%7DB%5ETP%29%5ETB%5ETP-PB%28R%5E%7B-1%7DB%5ETP%29+%28R%5E%7B-1%7DB%5ETP%29%5ETR%28R%5E%7B-1%7DB%5ETP%29%3D0%5C%5C%5C%5CA%5ETP+PA+Q-PBR%5E%7B-1%7DB%5ETP%3D0

        从上面的公式中,可以看到形式正好是控制理论中的Riccati方程。

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2.2.2 离散域推导

        网上看到很多文章的推导结果不太一致,在此处说明,另一种形式的Riccati方程是基于离散时域的推导结果:

eq?P%20%3D%20A%5ETPA%20-%20A%5ETPB%28R%20+%20B%5ETPB%29%5E%7B-1%7DB%5ETPA%20+%20Q

        记 eq?t 时刻代价函数为 eq?V_t,价值函数为 eq?Q_t,其中 eq?%5Bt%3DN%2CN-1...1%2C0%5D

eq?V_t%28x_t%29%3Dmin_%7Bu_t%7Dx%5ET_tQx_t+u%5ET_tRu_t+V_%7Bt+1%7D%28x_%7Bt+1%7D%29%2C%20t%3C%3DN-1%5C%5C%5C%5C%20V_N%28x_N%29%3Dx%5ET_NQ_fx_N%2C%20t%3DN%5C%5C%5C%5C%20Q_t%28x_t%2Cu_t%29%3Dx%5ET_tQx_t+u%5ET_tRu_t+V_%7Bt+1%7D%28x_%7Bt+1%7D%29

        这里同样假设存在一个矩阵eq?P_t (eq?P_t%3DP%5ET_t)使得下式成立,

eq?V_t%28x_t%29%3Dx%5ET_tP_tx_t

        那么基于离散状态方程 eq?x_%7Bk+1%7D%3DAx_k+Bu_keq?Q_t 可以写为:

eq?Q_t%28x_t%2Cu_t%29%3Dx%5ET_tQx_t+u%5ET_tRu_t+%28Ax_t+Bu_t%29%5ETP_%7Bt+1%7D%28Ax_t+Bu_t%29

        对于价值函数 eq?Q_t 取极小值,即

eq?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q_t%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%3D0

       这里插一个矩阵求导的知识(注意区分:分子布局还是分母布局)

eq?y%3Dx%5ETAx%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3Dx%5ET%28A+A%5ET%29                  

eq?y%3DMx%5C%5C%5C%5CJ%3Dy%5ETSy%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20J%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%28x%5ETM%5ETSMx%29%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5C%5C%5C%5C%3Dx%5ET%28M%5ETSM+M%5ETS%5ETM%29

        整理可得,

eq?u%5ET_t%28R+R%5ET%29+%28Ax_t+Bu_t%29%5ET%28P_%7Bt+1%7D+P%5ET_%7Bt+1%7D%29B%3D0

        由于eq?R%2C%20P 都是对称矩阵,可得,

eq?2u%5ET_tR+2%28Ax_t+Bu_t%29%5ETP_%7Bt+1%7DB%3D0

eq?u_t%3D-%28R%20+%20B%5ETP_%7Bt+1%7DB%29%5E%7B-1%7DB%5ETP_%7Bt+1%7DAx_t

        由 eq?u%3D-Kx 可得,

eq?K_t%3D%28R%20+%20B%5ETP_%7Bt+1%7DB%29%5E%7B-1%7DB%5ETP_%7Bt+1%7DA

        将 eq?u_t 代入到 eq?Q_t 中可得,

eq?x%5ET_tP_tx_t%20%3D%20x%5ET_t%28Q+A%5ETP_%7Bt+1%7DA%20-%20A%5ETP_%7Bt+1%7DB%28R%20+%20B%5ETP_%7Bt+1%7DB%29%5E%7B-1%7DB%5ETP_%7Bt+1%7DA%29x_t

        最后得到的离散Riccati方程如下:

eq?P_t%20%3D%20Q+A%5ETP_%7Bt+1%7DA%20-%20A%5ETP_%7Bt+1%7DB%28R%20+%20B%5ETP_%7Bt+1%7DB%29%5E%7B-1%7DB%5ETP_%7Bt+1%7DA

        在控制理论中,Riccati方程扮演着至关重要的角色,它通常用于描述线性时不变系统的最优控制问题。通过求解Riccati方程,可以找到使得系统状态达到最优的反馈控制律。对于离散时间系统和连续时间系统,Riccati方程的形式和求解方法会有所不同。

        求解连续时间Riccati方程通常涉及数值方法,因为解析解可能不存在或难以找到。常用的数值方法包括迭代法和直接法。迭代法如牛顿法或不动点迭代法,通过迭代更新矩阵 P的值,直到满足收敛条件。直接法则试图通过矩阵分解或变换直接求解方程。

        此部分的代码主要如下:

#include <eigen3/Eigen/Core>
#include <eigen3/Eigen/LU>
#include <iostream>using Eigen::Matrix;
using Eigen::Dynamic;typedef Matrix<double, Dynamic, Dynamic> Mtx;/** @brief Computes the LQR gain matrix (usually denoted K) for a discrete time* infinite horizon problem.** @param A State matrix of the underlying system* @param B Input matrix of the underlying system* @param Q Weight matrix penalizing the state* @param R Weight matrix penalizing the controls* @param N Weight matrix penalizing state / control pairs* @param K Pointer to the generated matrix (has to be a double/dynamic size* matrix!)* @param eps Delta between iterations that determines when convergence is* reached*/
bool SolveLQRMatrix(const Mtx &A, const Mtx &B, const Mtx &Q, const Mtx &R,const Mtx &N, Mtx *K, double eps = 1e-15) {// check if dimensions are compatibleif (A.rows() != A.cols() || B.rows() != A.rows() || Q.rows() != Q.cols() ||Q.rows() != A.rows() || R.rows() != R.cols() || R.rows() != B.cols() ||N.rows() != A.rows() || N.cols() != B.cols()) {std::cout << "One or more matrices have incompatible dimensions. Aborting."<< std::endl;return false;}// precompute as much as possibleMtx B_T = B.transpose();Mtx Acal = A - B * R.inverse() * N.transpose();Mtx Acal_T = Acal.transpose();Mtx Qcal = Q - N * R.inverse() * N.transpose();// initialize P with QMtx P = Q;// iterate until P convergesunsigned int numIterations = 0;Mtx Pold = P;while (true) {numIterations++;// compute new PP = Acal_T * P * Acal -Acal_T * P * B * (R + B_T * P * B).inverse() * B_T * P * Acal + Qcal;// update deltaMtx delta = P - Pold;if (fabs(delta.maxCoeff()) < eps) {std::cout << "Number of iterations until convergence: " << numIterations<< std::endl;break;}Pold = P;}// compute K from P*K = (R + B_T * P * B).inverse() * (B_T * P * A + N.transpose());return true;
}

3 车辆LQR控制

        本小节以汽车运动学模型为例,车辆的运动模型如下图所示,本小节理论部分主要参考龚建伟老师著作《无人驾驶车辆模型预测控制》,基于汽车动力学模型的推导可参考Rajamani的著作《Vehicle Dynamics And Control》。

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3.1 运动学模型        

        可得车辆的运动学模型为:

L%20%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D*v_req?

        可将整个系统看作一个输入为eq?u%28v%2C%5Cdelta%20%29 和 eq?%5Cchi%20%28x%2Cy%2C%5Cvarphi%20%29 的控制系统。其一般形式为:

eq?%5Cdot%7B%5Cchi%7D%3Df%28%5Cchi%2Cu%29

        在自动驾驶轨迹跟踪中,通常以跟踪偏差作为输入,因此可得,

eq?%5Cdot%7B%5Cchi%7D%3Df%28%5Cchi_r%2Cu_r%29&plus;%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Cchi%2Cu%29%20%7D%7B%5Cpartial%20%5Cchi%7D%7C_%7B%5Cchi%3D%5Cchi_r%2Cu%3Du_r%7D%28%5Cchi-%5Cchi_r%29&plus;%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Cchi%2Cu%29%20%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%7C_%7B%5Cchi%3D%5Cchi_r%2Cu%3Du_r%7D%28u-u_r%29

%28lcos%5E2%5Cdelta_r%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20v-v_r%5C%5C%20%5Cdelta-%5Cdelta_r%20%5Cend%7Bbmatrix%7D

  为了能够将该模型应用于控制器的设计,最终进行离散化处理,最终可以写成如下形式: eq?%5Ctilde%7B%5Cchi%7D%28k&plus;1%29%3D%20A%5Ctilde%7B%5Cchi%7D%7Bk%7D&plus;B%5Ctilde%7Bu%7D%28k%29

%28lcos%5E2%5Cdelta_r%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D

         建立运动学模型的代码如下(只保留重要部分):

void Model::GetModel(float curvature, Eigen::Matrix<double, 3, 1> state_actual){//target delta is variable because of curve path.float target_delta = atan(wheel_base*curvature); //dphi/dt = V*tan(delta)/L;  w = V*tan(delta)/L/*****************************************************/// AMatrix_->A(0, 0) = 1;Matri>A(1, 0) = 0;Matrix_->A(1, 1) = 1;Matrix_->Ax_->A(0, 1) = 0;Matrix_->A(0, 2) = -target_velocity*sin(state_actual(2,0))*dt_;Matrix_-(1, 2) = target_velocity*cos(state_actual(2,0))*dt_;Matrix_->A(2, 0) = 0;Matrix_->A(2, 1) = 0;Matrix_->A(2, 2) = 1;/*****************************************************/// BMatrix_->B(0, 0) = cos(state_actual(2,0))*dt_;Matrix_->B(0, 1) = 0;Matrix_->B(1, 0) = sin(state_actual(2,0))*dt_;Matrix_->B(1, 1) = 0;Matrix_->B(2, 0) = tan(target_delta)*dt_/wheel_base;Matrix_->B(2, 1) = target_velocity*dt_/(wheel_base*(cos(target_delta)*cos(target_delta)));
}

3.2 求解

        再结合上面一节LQR求解代码如下(非完整):

void LQRControl::LQRController(){//near pointint index = FindMatchedPoint(actual_pos.x, actual_pos.y);x_ref_(0, 0) = planning_path[index].position.x;x_ref_(1, 0) = planning_path[index].position.y;x_ref_(2, 0) = planning_path[index].position.yaw;x_act_(0, 0) = actual_pos.x;x_act_(1, 0) = actual_pos.y;x_act_(2, 0) = actual_pos.yaw;/***********compute curvature of target point********************************/curvature = ComputeCurvature(index);// get model matrix A and Bmodel_.GetModel(curvature, x_act_);matrix_c.A = model_.Matrix_->A;matrix_c.B = model_.Matrix_->B;// Q(3x3): positive semi-definite matrix, penalizing the statematrix_c.Q(0, 0) = 1;matrix_c.Q(0, 0) = 10;matrix_c.Q(0, 0) = 1;// R(2x2): positive definite matrix,  penalizing the controlsmatrix_c.R(0, 0) = 100;matrix_c.R(1, 1) = 100;// N(3x2):  penalizing the state/control pairsmatrix_c.N = Eigen::Matrix<double, 3, 2>::Zero();/****************************************************************************/// Solve the Riccati Equationif (!SolveLQRMatrix(matrix_c.A, matrix_c.B, matrix_c.Q, matrix_c.R, matrix_c.N, &matrix_k)){std::cout << "Compute matrix K failed!" << std::endl;}else{std::cout << matrix_k << std::endl;}
}

4 特点与应用

(1) 特点

  1. 最优性:LQR控制器通过最小化目标函数,使得系统性能达到最优。这种最优性是基于给定的性能指标进行衡量的,因此可以根据实际需求进行灵活调整。
  2. 适应性:LQR控制器可以适应不同的系统模型和性能指标,通过调整目标函数和控制器参数,可以实现对不同系统的有效控制。
  3. 稳定性:通过设计合适的控制器参数,LQR控制器可以保证系统的稳定性,避免出现过大的状态波动或控制误差。

(2)应用领域

        LQR控制器广泛应用于控制工程、机器人学、飞行器控制以及其他控制领域。在这些领域中,LQR控制器能够有效地处理线性系统的控制问题,实现精确、稳定的控制效果。

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5 总结

        综上所述,LQR控制器是一种基于状态反馈的最优控制策略,具有最优性、适应性和稳定性等特点。它在多个领域都有广泛的应用,并且与其他控制器相比具有优势。在实际应用中,可以根据具体需求选择和设计合适的LQR控制器,以实现精确、稳定的控制效果。

 

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最近再做一个新能源回收项目&#xff0c;项目中有个根据回收点坐标数据显示区域内回收点位置&#xff0c;点击图标直接导航到该位置&#xff0c;及分布的需求&#xff0c;研究了一下&#xff0c;实现效果如下&#xff0c;实现起来很简单&#xff0c;代码及效果 回收点位置及分…

防范AI诈骗:技术、教育与法律的共同防线

防范AI诈骗&#xff1a;技术、教育与法律的共同防线 引言 随着人工智能技术的飞速发展&#xff0c;AI在各个领域展现出巨大潜力的同时&#xff0c;也带来了一些新的挑战。其中&#xff0c;利用AI技术进行的诈骗行为&#xff0c;如AI换脸、AI换声等&#xff0c;给人们的财产安…