数据的表示和运算

一.各进制间的相互转换

1.各进制转化为10进制

2.二进制和八进制，十六进制之间地相互转化

3.十进制转换为其他进制

二.BCD码（Binary-Coded Decimal，用二进制编码的十进制）

1.8421码

2.余3码

3.2421码

三.无符号整数

1.无符号整数在计算机内部的表示

2.无符号整数的加法/减法运算

四.带符号整数

1.带符号整数在计算机内部的表示

•原码

•反码

•补码

补码的加法运算：

补码的减法运算：

•原码，反码和补码的特性对比

•移码

五.定点小数

1.定点小数的原码表示

2.定点小数的反码/补码表示

3.定点小数的加/减运算

4.定点小数中的原码，反码和补码

5.定点小数的位置扩展

首先需要知道以下几个概念：

•位权：每一位所占权重。例如下图，K0的权重是10^0

•基数：每个数码位所用到的不同符号的个数，r进制的基数为r。例如10进制数的基数就是10（十进制使用的符号为0~9），二进制数的基数就是2（0~1）

计算机中能够处理的数是二进制数，原因如下：

① 只需要使用有两个稳定状态的物理器件就可以表示二进制0或1。

② 0，1刚好对应对应逻辑值假，真。方便实现逻辑运算。

③ 可很方便地使用逻辑门电路实现算术运算。

一.各进制间的相互转换

1.各进制转化为10进制

转换规则如下：

例如：

下面表格建议多熟悉熟悉，看到2^n就需要知道是多少

2.二进制和八进制，十六进制之间地相互转化

① 二进制转换为八进制：每3位为一组，每组转换为对应的八进制符号

注：从小数点开始，从前往后/从后往前每3位划分，如果不满三位就补0：

② 二进制转换为十六进制：每4位为一组，每组转换为对应的十六进制符号

③ 八进制转换为二进制：每位八进制对应3位二进制

④ 十六进制转换为二进制：每位十六进制对应4位二进制

$(1100 0011)_{2}$ 表示2进制数， $1100 0011B$ 也表示2进制数。

其余进制也有其他表示方法：

3.十进制转换为其他进制

① 十进制转换为二进制

对于整数部分，将十进制数，不断除以基数r，直到商为0为止。

对于小数部分，运算规则如下：小数部分*基数r得到的乘积结果的整数部分，对应 $K_{-1}$ 的值，将剩余的小数部分继续乘基数，得到 $K_{-2}$ 的值，依次类推：

具体以0.3为例，可以看到10进制表示的0.3没办法用2进制数精确的表示：

补充：可以使用更加快捷的方法---拼凑法

例如，对于十进制数260.75：

整数部分：260=256+4=2^8+2^2

小数部分：0.75=0.25+0.5=2^-2+2^-1

总结：

① 整数部分要用除基取余法，小数部分要用乘积取整法。

② 任何二进制小数都能用十进制表示。

十进制的小数不一定能通过二进制精确表示。

② 十进制转换为八进制/十六进制

当我们熟悉了上面快捷的方法，完全可以先将十进制转化为二进制，再将二进制转换为十六进制，例如下图：260.75转换为二进制为100000100.11

将他转换为8进制：

将他转换为16进制：

二.BCD码（Binary-Coded Decimal，用二进制编码的十进制）

我们可以用4bit的信息，表示1个十进制位，因为4个2进制位可以表示2^4=16种状态，而这16种状态就足够表示10进制中的0~9（10种状态）了。其余的6种状态是冗余的。

1.8421码

如下图所示，4种状态分别表示10进制的8，4，2，1。

如果表示5：4+1=5，所以8421码为0101。

依次类推，就可以得到0~9与8421码的映射关系：

十进制转换为8421码：

手算方法：先用十进制得到结果，再将结果转换为对应的8421码。

计算机中使用的方法：

① 计算机会把加数和被加数1000，0101送到算术逻辑单元（ALU），算术逻辑单元进行加法运算后，得到结果：1101，将二进制转化为10进制，得13。

可以观察到，8421码中合法的编码区间为0000~1001，1010~1111没有定义，1100已经超出合法范围，为了使运算结果满足8421码的定义：

当运算得到的结果落在了10~18:9+9(1010~10010)，也就是不合法的范围，可以在运算结果的基础上+6，使得结果向高位进一，如下图所示，高4位表示1，低4位表示3(0011)，就可以表示十进制数13。

同理，9（1001）+9（1001）=18（10010），超出了8421码能够表示的范围，+6修正：

得到：1 1000，1对应的8421码为1，1000对应的8421码为8，合起来结果也为18。

2.余3码

4个二进制数对应16种状态，将16种状态的其中10种分别映射到0~9这几个数字。像8421码，就是将10种状态映射到0000~1001:

如果换一种映射方式，肯定会得到不一样的结果，例如余3码的映射规则就是：8421码的基础上加3：8321码+0011B

在8421码中，每个二进制位都有固定的权值（8，4，2，1），但在余3码中，每个二进制位并没有固定的权值，所以8421码被称为有权码，而余3码被称为无权码。

3.2421码

2421码也是一种有权码，从高到低，每一位对应的权值为2，4，2，1。

2421码对应的映射关系如下：

注意：

2421码中0~4对应编码的第1位都是0，而5~9对应编码的第1位都是1。这是为了统一2421码的编码策略。例如，5可以表示为0101，1011，为了避免歧义的发生，2421码规定5~9首位必须为1。

三.无符号整数

无符号整数，即“自然数”，0，1，2，3.....，在C语言中，只要用“unsigned”就可以定义无符号整数：

1.无符号整数在计算机内部的表示

计算机内的机器字长限制了每次可以进行运算的bit位，也限制了通用寄存器的长度。例如，某计算机机器字长为8位，那么他最多能同时进行8位运算（现在个人计算机的机器字长通常是64位或32位）：

通用寄存器只能存8位2进制数：

对于无符号整数0，存入到寄存器需要扩充为8位：

依次类推，无符号整数256用2进制表示为1 0000 0000 ，超出了寄存器能存储的二进制数的长度，所以寄存器只能保存低8位。

总结：

① 全部二进制位都是数值位，没有符号位，第 i 位的位权是 $2^{i-1}$ 。

② n bit 无符号整数表示范围 0~ $2^{n}-1$ ，超出则溢出，意味着该计算机无法一次处理这么多③ 可以表示的最小的数全0，可以表示的最大的数全1。

2.无符号整数的加法/减法运算

无符号整数的加法：从最低位开始，按位相加，并往更高位进位。

无符号整数的减法：

① “被减数”不变，“减数”全部位 按位取反、末位+1，减法变加法
② 从最低位开始，按位相加，并往更高位进位

也就是要把减法操作化作等价的加法操作，原因在于，加法电路造价便宜，减法电路造价昂贵。

例如，对于99-9：

计算机内部进行的操作如下：

① “减数”全部位按位取反，末位+1。

② 将“A”与“变形得来的B”进行加法操作。

只保留低8位，但是不影响计算结果，0101 1010转化为10进制数为90

四.带符号整数

数学中的带符号整数，就是“整数”，-2，-1，0，1，2，3，4，在C语言中表示为：

以机器字长8bit为例：

1.带符号整数在计算机内部的表示

•原码

8位2进制数，将第1位作为符号位，将剩余位作为数值位，用于表示真值的绝对值。符号位为0，则为正数，符号位为1，则为负数。

① 若机器字长为n+1位，带符号整数的原码表示范围：

$-(2^n-1)\leq x\leq 2^n-1$

② 原码的真值0有两种形式：+0和-0：[+0]原=0，0000000 [-0]原=1，0000000

原码的缺点：

如下图所示，如果想实现+19+（-19），将两者的原码直接相加，得到的结果是错误的，正确的结果应该是19-19=0才对。

这是因为符号位参与了运算，对于原码的加减，符号位是不能参与运算的，需要设计更复杂的硬件电路才能处理。

怎么才能解决这个问题呢----补码表示法，如果用补码表示各个参与运算的数，符号位就能参与运算，并且得出正确的结果。

所以，计算机内部，所有带符号整数的加/减法都要先转换为补码。

•反码

反码是专门用于原码到补码的转换的：

若原码是一个正数：

原码，反码，补码的表示都是一样的，保持不变即可。

若原码是一个负数：

① 转换为反码：符号位不变，数值位取反

② 在得到的数末尾+1

-100同理：

注意：

① 原码，反码，补码的最高位都反映了符号。

② 原码转换为反码，反码转换为原码的操作都是相同的，即符号位保持不变，数值位按位取反。

③ 如果考试的时候，需要将补码转化为反码，不建议直接（补码-1），可以先将补码转换为原码，再将原码转换为反码。

④ 原码与补码之间快速转换的方法：

如果原码是正数：原码和补码相同。

如果原码是负数：原码转换为补码和补码转换为原码的方法相同，即：

从右往左找到第一个1，这个1左边的所有“数值位”按位取反。

例如，原码为1，1100100

从右往左第一个1：1，1100100，“1”左边的所有"数值位"全部按位取反：1，0011100，即得到补码。

补码转原码也是同样的操作，自己可以试试。

•补码

补码的加法运算：

从最低位开始，按位相加(符号位参与运算)并往更高位进位。

注：补码的数值位不能解读为“位权”。如下图所示，正数的补码可以解释为“位权”，但是"负数"则不行。

对于两个负数相加，用补码运算也能得到得到正确结果：

补码的减法运算：

由于减法电路制造成本较昂贵，所以可以用等价的加法电路替代减法电路，思路如下：

A-B=A+(-B)

[A]补-[B]补=[A]补+[-B]补

类比无符号整数的"减法"操作：

① "被减数"不变，"减数"全部位按位取反，末位+1，减法变加法。

② 从最低位开始，按位相加，并往更高位进位。

这里的"减数"对应的就是补码减法中的[B]补，两者的操作是一摸一样的。也就是说，无论是实现无符号整数的减法，还是有符号整数的补码减法，在计算机看来都是一样的，我们可以使用同一套电路就能实现这两种操作。

怎么实现[B]补和[-B]补的相互转换：将全部位按位取反，再在末位+1。

例如下图：

补充：更快的手算方法

与补码，原码之间的相互转换类似：从右往左找到第1个"1"，以这个"1"为界，将其左边部分（包括符号位）全部取反，右边部分保持不变。（注：原码与补码之间的相互转换是"1"的左边的全部"数值位"按位取反）

知道了[B]补--->[-B]补，那么就可以将补码减法转化为等价的加法操作了，举个例子：

•原码，反码和补码的特性对比

1.原码

合法表示范围：

若用n+1bit表示原码，原码的数值位由n个bit表示，那么n个比特能够表示的数值范围是0~ $2^n-1$ ，再加上1个bit的符号位，所以原码的表示范围：

$-(2^n-1)\leq x\leq 2^n-1$

最大的数：

0，111....111= $2^n-1$

最小的数：

1，111....111= $-(2^n-1)$

真值0的表示方式：

[+0]原=0，000....000 [-0]原=1，000....000

2.反码

合法表示范围：

$-(2^n-1)\leq x\leq 2^n-1$

最大的数：

0，111....111 = $2^n-1$

最小的数：

1，000....000 = $-(2^n-1)$

真值0的表示方式：

[+0]反=0，000....000 [-0]反=1，111....111

3.补码

合法表示范围：

补码的合法表示范围要比原码多一个负数，也就是说，如果使用8bit表示原，反，补码的话，原码的合法表示范围是-127~127，补码的合法表示范围是-128~127。

重要： $-2^n\leq x\leq 2^{n}-1$

最大的数：

0,111...111= $2^n-1$

最小的数：

重要：1，000....000= $-2^n$

这里是定义的，只需要记住这一特殊存在即可。用8bit表示补码，最小的数是-128；用8bit表示原码，最小的数是-127，也就是说-128没有与之对应的原码，原码没有办法表示这一特殊的值。

真值0的表示方式：

重要：真值0只有唯一的补码：[0]补=0，000...000

可以这样理解，另一个数1，000....000，被用作表示 $-2^n$ 了，即被用作表示最小值了。

4.无符号整数

合法表示范围：

$0\leq x\leq 2^{n+1}-1$

最大的数：

1111...111= $2^{n+1}-1$

最小的数：

0000...000=0

真值0的表示：

0000...000

总结：

•移码

补码的基础上将符号位取反。

注：移码只能用于表示整数，而原码，反码，补码可以用于表示小数。

① 移码和补码相同，只有1种真值0的表示方式，以8bit为例：[0]移=1，0000000

② 移码的合法表示范围也和补码相同，比原码多一位负数：

$-2^n\leq x\leq 2^{n}-1$

观察一下移码从-128到127的二进制表示，刚好是无符号整数0~255。利用这个特点，移码表示的整数可以很方便地用硬件电路对比大小。移码通常用于表示浮点数的阶码。

用几种码表示的机器数：

五.定点小数

定点数分为定点整数和定点小数，定点整数就是带符号整数。之前在学习定点整数时，我们默认了一点，就是小数点固定在最后一位。小数点前面一位是2^0，再往前为2^1，依次类推，所以“位权”是根据这一位与小数的相对位置决定的。

定点整数可以用原码，反码，补码，移码表示，而定点小数只能用原码，反码，补码表示：

定点小数中，小数点的位置隐含在符号位之后，同理，每一位数的“位权”也是根据这个数与小数点的相对位置决定的，例如小数点后第一位为2^-1，小数点后第二位为2^-2，依次类推：

1.定点小数的原码表示

注：定点整数的符号位后面通常由","隔开，而定点小数的符号位后面通常由“.”隔开。

2.定点小数的反码/补码表示

怎么用定点小数的原码得到定点小数的反码和补码呢，其实操作和定点整数一模一样。

3.定点小数的加/减运算

定点小数的加/减法运算也和定点整数的操作一模一样：

定点小数补码的加法：

从最低位开始，按位相加（符号位参与运算），并往更高位进位。

定点小数补码的减法：

① “被减数”不变，“减数”全部位按位取反、末位+1，减法变加法

② 从最低位开始，按位相加，并往更高位进位

举个例子：

和定点整数的处理逻辑是一样的

对比整数补码的加法操作和小数补码的加法操作。下面的例子中，寄存器里面的值是一模一样的，只是在定点整数和定点小数中，对应位置的“位权”不同而已。

也就是说，在计算机看来，不管是对于定点整数还是定点小数，都是用同一套逻辑来处理的，只是人为解读的对应位置的位权不同而已。

4.定点小数中的原码，反码和补码

•原码

定点小数的原码，数值部分能表示的最大值为全1 ，即2^-1+2^-2+2^-3....，利用等比数列求和公式，则数值部分最大为 $1-2^{-n}$

再结合前面的符号位，得到定点小数的表示范围：

$-(1-2^{-n})\leq x\leq 1-2^{-n}$

最大的数：

0，111....111= $1-2^{-n}$

最小的数：

1，111....111= $-(1-2^{-n})$

定点小数原码对真值0的表示同样有两种：

[+0]原 = 0，000...000

[-0]原 = 1，000...000

•反码

定点小数的表示范围：

$-(1-2^{-n})\leq x\leq 1-2^{-n}$

最大的数：

0，111....111= $1-2^{-n}$

最小的数：

1，000...000= $-(1-2^{-n})$

定点小数原码对真值0的表示同样有两种：

[+0]反 = 0，000...000

[-0]反 = 1，111...111

•补码

合法的表示范围：

重要： $-1\leq x\leq 1-2^{-n}$

最大的数：

0，111....111= $1-2^{-n}$

最小的数：

重要：1.000...000=-1，

和定点整数的补码相同，这个特殊的值无法用定点小数的原码表示出来。

真值0的表示：

[0]补 = 0，000...000，真值0只有一种补码。

对比定点整数和定点小数：

5.定点小数的位置扩展

定点整数和定点小数还有一个很重要的区别，就是位置扩展时，两者的拓展位置不同。来看下面的例子，由于定点小数的小数点在符号位的后面，所以当4bit要拓展为8bit时，是在二进制数的最后进行扩展：

对于定点整数，如果要将4bit拓展为8bit，则需要在符号位后面进行拓展：