文章目录
- 332.重新安排行程
- 思路
- 死循环的问题
- 记录映射关系解决死循环并解决字母序问题
- 伪代码实现
- CPP代码
- 51.N皇后
- 思路
- 伪代码实现
- CPP代码
- 31.解数独
- 伪代码实现
- CPP代码
332.重新安排行程
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文章讲解：332.重新安排行程
状态：题目要求所有机票都必须用一次且只能用一次
其实，深搜和回溯本来就是相关联的，他们经常被放到一起来讨论。
深度优先搜索是一种遍历或搜索算法，它从一个节点开始，尽可能深地搜索树或图的分支。在每个节点上，DFS会选择一个未被访问过的邻接节点继续搜索，直到到达一个没有未被访问过的邻接节点的节点，然后回溯到上一个节点继续搜索。这个过程会一直进行，直到所有节点都被访问过。
那么现在我们来讨论本题的五个难点，做完题目之后应当回答：
- 一个行程中，如果航班处理不好容易变成一个圈，成为死循环
- 有多种解法，字母序靠前排在前面，应该如何记录映射关系呢？
- 使用回溯法的话，终止条件是什么呢？
- 搜索的过程中，如何遍历一个机场所对应的所有机场。
思路
首先一个基本的思路应该是什么样的呢？也就是如何绘制树形结构图：
死循环的问题
记录映射关系解决死循环并解决字母序问题
我们在本题中，首先就涉及到映射关系的选型，这里先给出答案：
unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets
一个机场要映射多个机场，机场之间要靠字母序排列。
所以一个机场映射多个机场我们使用unordered_map；
机场之间靠字母序map\multimap\multiset
所以映射关系有
unordered_map<string, multiset<string>> targets;
unordered_map<string, map<string, int>> targets
本题中，为了防止搜索过程没有及时删除目的机场陷入死循环，同时，遍历multiset的时候如果删除元素会导致迭代器失效，为了使思路更加简单我们使用第二个。
再遍历 unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets的过程中，可以使用"航班次数"这个字段的数字做相应的增减，来标记到达机场是否使用过了。
如果“航班次数”大于零，说明目的地还可以飞，如果“航班次数”等于零说明目的地不能飞了，而不用对集合做删除元素或者增加元素的操作。
伪代码实现
- 初始化结果集和映射关系
for (const vector<string>& vec : tickets) {target[vec[0]][vec[1]]++; //记录映射关系
}
result.push_back("JFK"); //起始机场
-
递归函数参数：
- 使用
unordered_map<string, map<string, int>> targets;来记录航班的映射关系，定义为全局变量。 - 参数里还需要ticketNum，表示有多少个航班（终止条件会用上）。
- 返回值用bool，因为我们只需要找到一个行程，也就是说找到在树形结构中唯一的一条通向叶子结点的路线就返回！
// unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets unordered_map<string, map<string, int>> targets; bool backtracking(int ticketNum, vector<string>& result) { } - 使用
-
递归终止条件：输入: [[“MUC”, “LHR”], [“JFK”, “MUC”], [“SFO”, “SJC”], [“LHR”, “SFO”]] ，这是有4个航班，那么只要找出一种行程，行程里的机场个数是5就可以了。
所以终止条件是：我们回溯遍历的过程中，遇到的机场个数，如果达到了（航班数量+1），那么我们就找到了一个行程，把所有航班串在一起了。
if (result.size() == ticketNum + 1){return true; } -
单层搜索的逻辑：
for (pair<const string, int>& target: targets[result[result.size() - 1]]){if (target.second > 0){ //记录到达飞机是否飞过result.push_back(target.first);target.second--;if (backtracking(ticketNum, result)) return true;result.pop_back();target.second++;}
}
CPP代码
class Solution {
private:
// unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets
unordered_map<string, map<string, int>> targets;
bool backtracking(int ticketNum, vector<string>& result) {if (result.size() == ticketNum + 1) {return true;}for (pair<const string, int>& target : targets[result[result.size() - 1]]) {if (target.second > 0 ) { // 记录到达机场是否飞过了result.push_back(target.first);target.second--;if (backtracking(ticketNum, result)) return true;result.pop_back();target.second++;}}return false;
}
public:vector<string> findItinerary(vector<vector<string>>& tickets) {targets.clear();vector<string> result;for (const vector<string>& vec : tickets) {targets[vec[0]][vec[1]]++; // 记录映射关系}result.push_back("JFK"); // 起始机场backtracking(tickets.size(), result);return result;}
};
51.N皇后
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文章讲解：51.N皇后
视频讲解：这就是传说中的N皇后？ 回溯算法安排！| LeetCode：51.N皇后
状态：题目要求每行和没列都不允许有两个皇后，然后两个四十五度角也不能出现两个皇后。
本题首先第一个难点就是：
- 一个棋盘，我们要搜索的是一个二维数组，这应该怎么弄？
- 树形结构咋画？
看完全部解答后，再回答这两个问题。
思路
以3X3为例：
从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这棵树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。
所以到这里就可以确定，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。
伪代码实现
- 递归函数参数：用全局变量result来记录最终结果，参数n是棋盘的大小，然后用row来记录当前遍历到棋盘的第几层了。
vector<vector<string>> result;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {
- 递归终止条件：前文说过只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。
if (row == n) {result.push_back(chessboard);return ;
}
-
单层搜索逻辑
- 递归深度就是row控制棋盘的行，每一层里for循环的col控制棋盘的列，一行一列，确定了放置皇后的位置。
- 每次都是要从新的一行的起始位置开始搜，所以都是从0开始。
for (int col = 0; col < n; col++){if (Valid(row, col, chessboard, n)){//验证合法chessboard[row][col] = 'Q'; //放置皇后backtracking(n, row + 1, chessboard);chessboard[row][col] = '.'; //回溯，撤销皇后} } -
验证棋盘是否合法：不能同行；不能同列；不能同斜线（45度和135度）
- 在单层搜索的过程中，每一层递归，只会选for循环（也就是同一行）里的一个元素，所以行不用检查
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {// 检查列for (int i = 0; i < row; i++) { if (chessboard[i][col] == 'Q') {return false;}}// 检查 45度for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}// 检查 135度for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}return true;
}
CPP代码
class Solution {
private:vector<vector<string>> result;// n 为输入的棋盘大小// row 是当前递归到棋盘的第几行了void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {if (row == n) {result.push_back(chessboard);return;}for (int col = 0; col < n; col++) {if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后backtracking(n, row + 1, chessboard);chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后}}}bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {// 检查列for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝if (chessboard[i][col] == 'Q') {return false;}}// 检查 45度角是否有皇后for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}// 检查 135度角是否有皇后for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}return true;}
public:vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {result.clear();std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));backtracking(n, 0, chessboard);return result;}
};
31.解数独
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文章讲解：31.解数独
视频讲解：回溯算法二维递归？解数独不过如此！| LeetCode：37. 解数独
状态：仅做记录
数独是一个典型的递归、回溯游戏
这里与N皇后不同的就是，棋盘的每一个位置都要放一个数字（而N皇后是一行只放一个皇后），并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。
树形结构如图
伪代码实现
- 递归函数以及参数：
因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值
bool backtracking(vector<vector<char>>& board)
- 递归终止条件:本题不需要终止条件，解数独是要遍历整个树形结构寻找可能的叶子节点就立刻返回。
本题中的终止条件全部放到单层递归的逻辑里面，因为递归的下一层的棋盘一定比上一层的棋盘多一个数，等数填满了棋盘自然就终止（填满当然好了，说明找到结果了），所以不需要终止条件！
在一个棋盘中如果出现了永远填不满的情况，我们也会在单层递归里面去return false
- 单层递归逻辑
我们需要一个二维递归，一个遍历行，一个遍历列。如果一行一列确定下来了，在某个格子常识了9个数都不行，就说明该数独问题无解，可以直接return false
bool backtracking(vector<vector<char>>& board) {for (int i = 0; i < board.size(); i++) { // 遍历行for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列if (board[i][j] != '.') continue;for (char k = '1'; k <= '9'; k++) { // (i, j) 这个位置放k是否合适if (isValid(i, j, k, board)) {board[i][j] = k; // 放置kif (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回board[i][j] = '.'; // 回溯，撤销k}}return false; // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false}}return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}
- 判断合法性：同行是否重复，同列是否重复，9宫格里是否重复
bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board) {for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复if (board[row][i] == val) {return false;}}for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复if (board[j][col] == val) {return false;}}int startRow = (row / 3) * 3;int startCol = (col / 3) * 3;for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {if (board[i][j] == val ) {return false;}}}return true;
}
CPP代码
class Solution {
private:
bool backtracking(vector<vector<char>>& board) {for (int i = 0; i < board.size(); i++) { // 遍历行for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列if (board[i][j] == '.') {for (char k = '1'; k <= '9'; k++) { // (i, j) 这个位置放k是否合适if (isValid(i, j, k, board)) {board[i][j] = k; // 放置kif (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回board[i][j] = '.'; // 回溯，撤销k}}return false; // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false}}}return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}
bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board) {for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复if (board[row][i] == val) {return false;}}for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复if (board[j][col] == val) {return false;}}int startRow = (row / 3) * 3;int startCol = (col / 3) * 3;for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {if (board[i][j] == val ) {return false;}}}return true;
}
public:void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {backtracking(board);}
};
![[lesson45]不同的继承方式](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/eff12d1d0cbd4de28f0462fa6281a384.png#pic_center)
