5月20日分割等和子集+最后一块石头的重量Ⅱ

416.分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

示例 1:

输入:nums = [1,5,11,5]
输出:true
解释:数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2:

输入:nums = [1,2,3,5]
输出:false
解释:数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示:

  • 1 <= nums.length <= 200
  • 1 <= nums[i] <= 100

思路

首先我们先判断如果数组长度小于2,则一定无法将数组分割为两个子集,然后统计数组中元素总和,若总和sum为奇数,则也无法分割为两个子集,因为所有元素均为正整数。然后再来思考整个问题:我们想要把整个数组分为两个子集,并且两个子集的元素和相等,那么我们只要确定整个数组中存在元素和等于sum/2的子集即可,我们可以从数组下标[0,i]开始,判断该段元素能否组成和为[1,sum/2]的子集即可,可以使用动态规划法。

记数组长度为n,sum/2为target,定义一个dp数组dp[n][target+1],初始化为false,dp[i][j]表示数组下标从0到i能否组成总和为j的子集。

首先初始化dp数组,如果j==0,那么不选择元素即可,所以我们记为true,如果i为0,此时只有nums[0]可以选择,所以我们记dp[0][nums[0]]=true.

接着是递推公式,我们对dp数组按行进行遍历,如果j>=nums[i],那么需要考虑元素i选择或者不选择的情况,那么dp[i][j]等于dp[i-1][j]与dp[i-1][j-nums[i]]做或运算的结果,前者表示不选择元素i,后者表示选择元素i。如果j<nums[i],那么一定不会选择元素i,因为放入就会导致总和大于目标值j,所以dp[i][j]=dp[i-1][j].

还有一个要注意的点是,如果数组中有元素大于target,即大于总和的一般,那么一定不能分割为两个等和子集,因为数组只包含正整数。

代码

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int n=nums.length;if(n<2){return false;}int sum=0,max=0;for(int i:nums){sum+=i;max=Math.max(max,i);}if(sum%2==1){return false;}int target=sum/2;if(max>target){return false;}boolean[][] dp=new boolean[n][target+1];for(int i=0;i<n;i++){dp[i][0]=true;}dp[0][nums[0]]=true;for(int i=1;i<n;i++){int num=nums[i];for(int j=1;j<target+1;j++){if(j>=nums[i]){dp[i][j]=dp[i-1][j]|dp[i-1][j-num];}else {dp[i][j]=dp[i-1][j];}}}return dp[n-1][target];}}

1049.最后一块石头的重量Ⅱ

有一堆石头,用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:

  • 如果 x == y,那么两块石头都会被完全粉碎;
  • 如果 x != y,那么重量为 x 的石头将会完全粉碎,而重量为 y 的石头新重量为 y-x

最后,最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下,就返回 0

示例 1:

输入:stones = [2,7,4,1,8,1]
输出:1
解释:
组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1],
组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1],
组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1],
组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。

示例 2:

输入:stones = [31,26,33,21,40]
输出:5

提示:

  • 1 <= stones.length <= 30
  • 1 <= stones[i] <= 100

思路

用归纳法证明,无论按照任何顺序粉碎石头,最后一块石头的重量总是可以表示成:

\sum_{i=0}^{n-1}k_{i}*sones_{i},k_{i}\in \{-1,1\}

记石头的总重量为sum,ki=-1的石头的重量之和为neg,其余的为sum-leg,则\sum_{i=0}^{n-1}k_{i}*sones_{i}=(sum-neg)-neg=sum-2*neg

要使最后一块石头尽可能小,则要使neg不超过sum/2的情况下尽可能大,因此本问题可以看作背包容量为sum/2,物品重量和价值均为stonesi的01背包问题。

dp数组和递推公式与上题一样,不同之处是仅需初始化dp[0][0]为真。

在递推结束后,找到所有为真的dp[n][j]中,最大的j即为neg能取到的最大值,带入sum-2*neg即可得到最后一块石头的最小重量。

代码

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int n=stones.length;int sum=0;for(int i:stones){sum+=i;}int target=sum/2;boolean[][] dp=new boolean[n+1][target+1];dp[0][0]=true;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<target+1;j++){if(j>=stones[i]){dp[i+1][j]=dp[i][j]|dp[i][j-stones[i]];}else {dp[i+1][j]=dp[i][j];}}}for(int j=target;;j--){if(dp[n][j]){return sum-2*j;}}}}

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